Nghiệm chính xác của một số lớp phương trình vi phân thường

Các khái niệm chung

Định nghĩa 1.1: Phương trình vi phân cấp 1 là một hệ thức

Trong đó: 𝑥 là biến độc lập

𝑦 ′ − 2𝑥𝑦 = 0 Định nghĩa 1.2 : Hàm 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trìnhvp (1.1) trên 𝐷 nếu nó thõa mãn :

- Hàm 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶) là nghiêm của phương trình (1.1) ∀𝐶 ∈ 𝑅

- Với mỗi điều kiện ban đầu 𝑦(𝑥𝑜) = 𝑦𝑜 sao cho (𝑥𝑜, 𝑦𝑜) ∈ 𝐷 thì

∃! 𝐶 = 𝐶𝑜 sao cho 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶) là nghiêm của phương trình (1.1) thõa điều kiện ban đầu Định nghĩa 1.3 :

- Nếu 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶) là nghiêm tổng quát của phương trình (1.1) thì

𝑦 ∗ = 𝜑(𝑥, 𝐶𝑜) được gọi là nghiệm riêng của phương trìnhvp (1.1)

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 4

- Nếu 𝑦 = 𝜑(𝑥) là nghiệm của phương trìnhvp (1.1) nhưng không phải nghiệm riêng thì được gọi là nghiệm kì dị.

Các phương trình vi phân cấp 1 đã học

 Phương pháp giải: Lấy tích phân 2 vế của phương trình (2.1)

 Ví dụ: Giải phương trình:

Vậy nghiệm của phương trình là:

1.2.2 Phương trình qui về tách biến :

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 5 Đặt 𝑧(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 => 𝑧 ′ = 𝑎 + 𝑏𝑦′ thay vào phương trình (2.2) ta đưa được về dưới dạng phương trình tách biến

 Ví dụ: Giải phương trình:

Thay vào phương trình ta được:

Giải phương trình tách biến trên ta được nghiệm:

Ngoài ra, 𝑧 = 9 → 𝑦 = 3𝑥 − 4 là nghiệm kì dị của phương trình

Vậy nghiệm của phương trình trên là:

 Phương pháp giải: Đặt 𝑧(𝑥) = 𝑦 𝑥 => 𝑦 = 𝑥𝑧 => 𝑦 ′ = 𝑧 + 𝑥𝑧′ thay vào phương trình (2.3) ta đưa được về dưới dạng phương trình tách biến

 Ví dụ: Giải phương trình:

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 6

Thay vào phương trình trên ta được :

Giải phương trình tách biến ta được nghiệm :

2 + 𝑘𝜋𝑥 là nghiệm của phương trình Trong đó 𝑦 = −𝜋𝑥 2 + 𝑘2𝜋𝑥 là nghiệm riêng ứng với C=0,

1.2.4 Phương trình qui về đẳng cấp:

 Phương pháp giải: Đặt 𝑋 = 𝑥 − 𝑥𝑜, 𝑌 = 𝑦 − 𝑦𝑜 với 𝑥𝑜, 𝑦𝑜 là nghiệm của hệ phương trình { 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

𝑋 )𝑎′+𝑏 ′ ( 𝑌 𝑋 ) ) = 𝑔( 𝑋 𝑌 ) (phương trình đẳng cấp Y theo X)

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 7

 Ví dụ: Giải phương trình:

Phương trình được viết dưới dạng: 𝑦 ′ = (𝑥−1)−(𝑦−2)

(𝑥−1)+(𝑦−2) Đặt 𝑋 = 𝑥 − 1, 𝑌 = 𝑦 − 2 thay vào phương trình ta được:

1 +𝑌 𝑋 Đặt 𝑍 = 𝑌 𝑋 → 𝑌 ′ = 𝑍 + 𝑋𝑍′ thay vào phương trình ta có:

𝑋 Giải phương trình tách biến trên ta được:

→ 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 − 𝒚 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝒄 là nghiệm của phương trình

Ngoài ra 1 − 2𝑍 − 𝑍 2 = 0cũng là nghiệm nhưng là nghiệm riêng ứng với C=0

1.2.5 Phương trình tuyến tính cấp 1 :

Khi 𝑞(𝑥) = 0 thì được gọi là phương trìnhvp tuyến tính cấp 1 thuần nhất

Khi 𝑞(𝑥) ≠ 0 thì được goi là phương trìnhvp tuyến tính cấp không thuần nhất

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 8

Phương trìnhvp tuyến tính cấp 1 thuần nhất có nghiệm tổng quát là: 𝒚 = 𝑪 𝒆 − ∫(𝒑(𝒙)𝒅𝒙

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất có thể được giải bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange, từ đó ta thu được nghiệm cho phương trình này.

 Ví dụ: Giải phương trình:

∫ sin 𝑥 cos 𝑥 𝑒 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 sin 𝑥 (−1 + sin 𝑥) + 𝐶

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

Giả sử 𝑦′ ≠ 0 nhân 2 về phương trình (2.6) cho 𝑦 −𝛼 ta được phương trình:

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 9 Đặt 𝑧 = 𝑧(𝑥) = 𝑦 1−𝛼 => 𝑧 ′ = (1 − 𝛼)𝑦 −𝛼 𝑦′ thay vào phương trình trên thì ta được phương trình vi phân tuyến tính theo z

 Ví dụ:Giải phương trình:

2𝑦 Nhân 2 vế phương trình cho y ta thu được:

2 Đặt 𝑧(𝑥) = 𝑦 2 → 𝑧 ′ = 2𝑦𝑦 ′ Thế vào phương trình ta được :

𝑥 = 𝑥 2 Giải phương trình tuyến tính thu được :

2 Vậy nghiệm của phương trình là :

1.2.7 Phương trình vp toàn phần:

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 10

𝜕𝑦 = 𝜕𝑄 𝜕𝑥 nên tồn tại một hàm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) sao cho

Thay vào (3) thu được hàm 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑑𝑥(𝑥 − 3𝑦 2 + 2𝑦 + 5) nên tồn tại hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) sao cho

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 11

Vậy nghiệm của phương trình là:

Trong một số trường hợp, phương trình (2.7) chưa phải là phương trình vi phân toàn phần Tuy nhiên, có thể tìm được hàm số à(x, y) để biến phương trình này thành phương trình vi phân toàn phần.

Hàm à(x, y) như thế được gọi là thừa số tớch phõn của phương trỡnh (2.7) Điều kiện để à là thừa số tớch phõn là à phải thoả món phương trình:

Không có phương pháp tổng quát để giải phương trình đạo hàm riêng này Tuy nhiên trong một vài trường hợp đặc biệt ta có thể tỡm được à

Trường hợp I: à chỉ phụ thuộc vào x

Giả sử à > 0, khi đú chia hai vế của (2.8) cho à, ta được:

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 12

𝑄 = 𝜑 Vậy trường hợp này chỉ thoả mãn khi vế phải của đẳng thức trên không phụ thuộc vào y Với điều kiện này, thừa số tích phân cho bởi:

Trường hợp II: à chỉ phụ thuộc vào y

Làm tương tự như trên, thừa số tích phân cho bởi:

𝑃 được giả thiết không phụ thuộc x

 Ví dụ: Tìm thừa số tích phân rồi giải phương trình

Do đó có thể chọn 𝜇(𝑥) = exp (∫ 𝑑𝑥) = 𝑒 𝑥 để cho phương trình 𝑒 𝑥 [(2𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3

3 ) 𝑑𝑥 + (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑦] = 0 là phương trình vi phần toàn phần Tích phân phương trình này ta được nghiệm tổng quát:

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 13

 Phương pháp giải: Đặt 𝑧 = 𝑦 𝑥 → 𝑦 = 𝑥𝑧 → 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑧 + 𝑧𝑑𝑥 Thay vào phương trình (2.8) ta được phương trình Bernoulli

 Ví dụ:Giải phương trình:

𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦+𝑥 2 (𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥) = 0 Đặt 𝑧 = 𝑦 𝑥 → 𝑦 = 𝑥𝑧, 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑧 + 𝑧𝑑𝑥 Thay vào phương trình ta có :

1 + 𝑧 2 𝑥 3 Giải phương trình Bernoulli trên ta thu được :

𝑥 2 = 𝐶(1 + 𝑧 2 ) + (1 + 𝑧 2 ) arctan 𝑧 + 𝑧 Suy ra được nghiệm của phương trình Darboux ban đầu là :

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 14

Phương trình Ricati giải được khi biết một nghiệm của nó Giả sử 𝑦̂ là một nghiệm của phương trình thì:

𝑦̂ ′ = 𝑝(𝑥)𝑦̂ 2 + 𝑞(𝑥)𝑦̂ + 𝑟(𝑥) Đăt 𝑦 = 𝑦̂ + 𝑧 Thay vào phương trình ta được:

 Ví dụ: Giải phương trình:

Dễ thấy 𝑦 = 𝑥 là một nghiệm của phương trình trên Đặt 𝑦 = 𝑥 + 𝑧 Thay vào phương trình ta thu được:

𝑧 ′ + 2𝑥𝑧 + 2𝑧 2 = 0 (phương trình Bernoulli) Giải phương trình Bernoulli trên ta được nghiệm TQ của phương trình đã cho là:

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 15

Phương trình dạng tổng quát

Từ đó ta có : 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐹(𝑦)𝑑𝑦 + 𝐹(𝑡)𝑑𝑡 = 0 vào ta được :

Ta suy ra được nghiệm tổng quát của phương trình dưới dạng tham số :

Phương trình khuyết x và y

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 16

Giả sử có một nghiệm thực 𝑦 ′ = 𝑘 thì khi tích phân phương trình ta được 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝐶 → 𝑘 = 𝑦−𝐶

Nhưng 𝑘 là một nghiệm đại số nên 𝐹 ( 𝑦−𝐶 𝑥 ) = 0 là tích phân tổng quát của phương trình (2)

 Ví dụ : Giải phương trình:

Vì đây là phương trình đại số bậc lẻ đối với 𝑦′ nên chắc chắn có một nghiệm thực vậy tích phân tổng quát của phương trình là :

Phương trình khuyết x

Sử dụng phương pháp tham số hóa

Tìm một tham số t thích hợp sao cho 𝑦 = 𝜑(𝑡), 𝑦 ′ = 𝛾(𝑡) và

Ta được nghiệm tổng quát của phương trình(3) dưới dạng tham số :

 Ví dụ : Giải phương trình :

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 17

𝑦 ′ + ln 𝑦 ′ − 𝑦 = 0 Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta được :𝑦 = 𝑡 + ln 𝑡

Nghiệm tổng quát của phương trình dưới dạng tham số :

Phương trình khuyết y

 Phương pháp giải : Sử dụng phương pháp tham số hóa

Tìm một tham số t thích hợp sao cho 𝑥 = 𝜑(𝑡), 𝑦 ′ = 𝛾(𝑡) và 𝑑𝑦 𝑦 ′ 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = 𝛾(𝑡)𝑑𝑥 = 𝛾(𝑡)𝜑 ′ (𝑡)𝑑 → 𝑦 = ∫ 𝛾(𝑡)𝜑 ′ (𝑡)𝑑𝑡 + 𝐶

Ta được nghiệm của phương trình (4) dưới dạng tham số là :

 Ví dụ: Giải phương trình:

𝑥 = 𝑒 𝑦 ′ + 𝑦 ′ + 1 Đặt tham số 𝑡 = 𝑦 ′ ta được: 𝑥 = 𝑒 𝑡 + 𝑡 + 1

Vậy nghiệm của phương trình viết dưới dạng tham số là:

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 18

 Ví dụ 2 : Giải phương trình: x√1 + 𝑦 ′2 = 𝑦′ Đặt 𝑦 ′ = tan 𝑡 với – 𝜋

Khi đó cos 𝑡 > 0 và √1 + 𝑦 ′2 = √1 + tan 2 𝑡 = cos 𝑡 1

Phương trình trở thành 𝑥 = sin 𝑡

Mặt khác: 𝑑𝑦 = 𝑦 ′ 𝑑𝑥 = tan 𝑡 cos 𝑡𝑑𝑡 = sin 𝑡𝑑𝑡

Nghiệm phương trình dưới dạng tham số là:

Phương trình đưa được về dạng 𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒚′)

 Phương pháp giải : Đặt 𝑡 = 𝑦 ′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 và xem 𝑡 như một tham số ta được :

Vi phân hai vế của của đẳng thức này ta được :

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 19

Thay 𝑑𝑦 = 𝑡𝑑𝑥 ta được phương trìnhvp dạng :

𝑀(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡 = 0 Xem 𝑥 là hàm của 𝑡 và giả sử phương trình này có nghiệm là

𝑥 = 𝑔(𝑡, 𝐶) Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (5) là :

 Ví dụ : Giải phương trình :

𝑦 = 𝑥(𝑦 ′ ) 2 Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta có 𝑦 = 𝑥𝑡 2 Vi phân 2 vế của đẳng thức này ta được :

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình viết dưới dạng tham số :

Phương trình đưa đươc về dạng 𝒙 = 𝒇(𝒚, 𝒚′)

 Phương pháp giải : Đặt 𝑡 = 𝑦 ′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 và xem 𝑡 như một tham số ta được :

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 20

Vi phân hai vế của của đẳng thức này ta được :

Thay 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑡 ta được phương trìnhvp dạng :

𝑀(𝑦, 𝑡)𝑑𝑦 + 𝑁(𝑦, 𝑡)𝑑𝑡 = 0 Xem 𝑦 là hàm của 𝑡 và giả sử phương trình này có nghiệm là

𝑦 = 𝑔(𝑡, 𝐶) Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (5) là :

Phương trình Clairaut

 Phương pháp giải : Đặt 𝑡 = 𝑦′ Khi đó :𝑦 = 𝑡𝑥 + 𝑓(𝑡)

Vi phân 2 vế đẳng thức này :

𝑥 = −𝑓 ′ (𝑡) → 𝑦 = −𝑡 𝑓 ′ (𝑡) + 𝑓(𝑡) Vậy phương trình có nghiệm tổng quát viết dưới dạng tham số là :{𝑥 = −𝑓 ′ (𝑡)

 Ví dụ : Giải phương trình:

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 21

Ta có nghiệm tỏng quát 𝑦 = 𝐶𝑥 − 𝐶 2

Ngoài ra còn có nghiệm bất thường :

Phương trình Lagrang

𝑦 = 𝜑(𝑦 ′ )𝑥 + 𝛾(𝑦 ′ ) (8) Giả sử 𝜑(𝑦 ′ ) ≠ 𝑦′ để không trở thành phương trình Clairaus

 Phương pháp giải : Đặt 𝑡 = 𝑦′ thì phương trình (8) trở thành :𝑦 = 𝜑(𝑡)𝑥 + 𝛾(𝑡)

Vi phân 2 về theo 𝑥 ta được :

𝑑𝑥 Xem 𝑡 là biến số độc lập ta có phương trình tuyến tính mà ẩn 𝑥 = 𝑥(𝑡) như sau :

𝑡 − 𝜑(𝑡) Tích phân phương trình trên ta thu được nghiệm 𝑥 = 𝑔(𝑡, 𝐶)

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (8) dưới dạng tổng quát là :

 Ví dụ : Giải phương trình :

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 22 Đạo hàm theo x :

𝑑𝑡 + 2𝑥 = −2𝑡 Giải phương trình tuyến tính này ta được( khi 𝑡 ≠ 0) :

3 Kết hợp với biểu thức của y ta được nghiệm tổng quát của phương trình dưới dạng tham số là :

3 + 𝑡 2 Ngoài ra phương trình còn có nghiệm khi 𝑡 = 0 → 𝑦 = 0

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 23

Khái niệm

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ sô đa thức có dạng :

𝑝 0 (𝑥)𝑦 (𝑛) + ⋯ + 𝑝 𝑛 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) (3.2) Trong đó các 𝑝 𝑗 là các đa thức, 𝑔(𝑥) là một hàm tùy ý

Nếu 𝑔(𝑥) = 0 thì phương trình (3.2) được gọi là phương trinh vi phân tuyến tính thuần nhất

Nếu 𝑔(𝑥) ≠ 0 thì phương trình (3.2) được gọi là phương trinh vi phân tuyến tính không thuần nhất.

Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n không thuần nhất hệ số là đa thức

thuần nhất hệ số là đa thức

Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n thuần nhất hệ số là đa thức :

Để giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n thuần nhất với hệ số là đa thức, ta tìm ra n nghiệm 𝑦̅ 1 , 𝑦̅ 2 , … , 𝑦̅ 𝑛 Sau đó, áp dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange để xác định nghiệm riêng 𝑦 ∗.

Nghiệm tổng quát của phương trình (3.1) 𝑦 = 𝑦̅ + 𝑦 ∗ (đã được học)

Để giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n không thuần nhất với hệ số là đa thức, trước tiên cần giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n thuần nhất với hệ số là đa thức.

Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n thuần nhất hệ số là đa thức

hệ số là đa thức

3.3.1 Phương pháp đổi biến số

𝑛 𝑑𝑥 với C là số thực tùy ý

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 25

Thay vào phương trình (3.3) ta được phương trình vi phân tuyến tính cấp n thuần nhất hệ số hằng

Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n thuần nhất hệ số hằng ta thu được nghiệm

 Ví dụ 1(phương tình Euler) : 𝑥 2 𝑦 ′′ + 13𝑥𝑦 ′ − 13𝑦 = 0 Đặt 𝑡 = 𝐶 ∫ √ −13 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝐶√−13 ln|𝑥| + 𝐶 1

Thay vào phương trình ta được :

Giải phương trình hệ số hằng ta được

𝑦(𝑡) = 𝐶 1 𝑒 𝑡 + 𝐶 2 𝑒 −13𝑡 Suy ra được nghiệm tổng quát của phương trình trên là :

 Ví dụ 2 : (phương trình Tshebyshev’s)

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 26

→ 𝑦 ′′ (𝑥) = 𝑦 ′′ (𝑡).cos 𝑡−𝑦 ′ (𝑡).sin 𝑡 cos 3 𝑡 Thay vào phương trình ta được :

Giải phương trình trên thu được : 𝑦(𝑡) = 𝐶 1 𝑒 2𝑡 + 𝐶 2 𝑒 −2𝑡 Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình là : 𝑦(𝑥) = 𝐶 1 exp (2 arcsin 𝑥) + 𝐶 2 exp (−2 arcsin 𝑥)

 Phương pháp giải : Đặt 𝑦(𝑥) = 𝑧(𝑥)𝑔(𝑥) với

𝑦 ′′′ − 2(3𝑥 + 1)𝑦 ′′ + (12𝑥 2 + 8𝑥 − 7)𝑦 ′ − 2(4𝑥 3 + 4𝑥 2 − 7𝑥 − 3)𝑦 = 0 Đặt 𝑦(𝑥) = 𝑧(𝑥)𝑔(𝑥) Với 𝑔(𝑥) = exp ( 𝐶 3 𝑥 + 2 3 ∫(3𝑥 + 1) = 𝑒 𝑥 2 Suy ra 𝑦(𝑥) = 𝑧(𝑥) 𝑒 𝑥 2 → 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑧 ′ (𝑥) 𝑒 𝑥 2 + 𝑧(𝑥) 2𝑥𝑒 𝑥 2

Thay vào phương trình ta được :

𝑧 ′′′ − 2𝑧 ′′ − 𝑧 ′ + 2𝑧 = 0 Giải phương trình thu được nghiệm :

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 27

𝑧 1 = 𝑒 𝑥 , 𝑧 2 = 𝑒 −𝑥 , 𝑧 3 = 𝑒 2𝑥 Suy ra được nghiệm tổng quát của phương trình :

3.3.3 Phương pháp thay thế và đổi biến

𝑜(𝑥) 𝑑𝑥)) Để đưa về phương Euler hoặc Tshebyshev’s rồi giải các phương trình đó tìm được nghiệm tổng quát

→ 𝑦 ′′′ (𝑥) Thay vào phương trình ta được :

𝑥 3 𝑦 ′′′ + 2𝑥 2 𝑧 ′′ − 4𝑥𝑧 ′ + 4𝑧 = 0 Đây là phương trình Euler, giải phương ta thu được nghiệm tổng quát của phương trình là :

Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 28