Dự báo và hiệu chỉnh với cặp phương pháp nystrom và milne simpson để giải số phương trình vi phân thường

Lời nói đầuGiải tích số là một bộ môn toán học chuyên nghiên cứu các phép giảigần đúng bằng số của các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm.. Việctìm nghiệm đúng hay nghiệm giải tích củ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

Chuyên ngành: Sư phạm Toán.

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Người hướng dẫn:

Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng, 5/2012

Mục lục

Lời nói đầu

Giải tích số là một bộ môn toán học chuyên nghiên cứu các phép giảigần đúng bằng số của các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm Việctìm nghiệm đúng hay nghiệm giải tích của một số phương trình vi phân làrất khó khăn và lớp các phương trình vi phân tìm được nghiệm giải tích

là rất hẹp Giải tích số có thể cung cấp các phương pháp giải cho nhữngbài toán mà không có lời giải giải tích

Mặc dù có lịch sử phát triển đã hàng trăm năm nhưng phương pháp sốgiải phương trình vi phân vẫn thu hút sự quan tâm mạnh mẽ của các nhàtoán học và các nhà nghiên cứu toán học ứng dụng Cho đến nay phươngpháp số giải phương trình vi phân đã có được những thành tựu lớn như

là một khối lượng kiến thức đồ sộ được in trong nhiều tài liệu sách, báo,

và có khá nhiều tên tuổi trong lĩnh vực này như: Euler, Milne - Simpson,Nystro¨m, J.D.Lambert, Arieh Iserles, Butcher,

Trong giải tích số, người ta thường cố gắng tìm ra những phương pháphữu hiệu bảo đảm sự hội tụ và có cấp chính xác cao Đề tài này nghiêncứu phương pháp dự báo – hiệu chỉnh với cặp phương pháp Nystro¨m vàMilne – Simpson với hi vọng làm tăng độ chính xác của nghiệm xấp xỉ củabài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường

Khóa luận gồm 3 chương:

1 Chương 1: Trình bày một số khái niệm cơ sở giải số phương trình viphân

2 Chương 2: Trình bày các phương pháp số Nystro¨m và Milne – Simpson

để giải số phương trình vi phân thường

3 Chương 3: Sử dụng các phương pháp số Nystro¨m và Milne – Simpson

để giải số phương trình vi phân thường

Ở đây em đã lập trình và tính toán trên Maple vào một số ví dụ cụ thể

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn Th.S NguyễnHoàng Thành, đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn emtrong suốt quá trình thực hiện đề tài của mình, hướng dẫn cho em cài đặt

và sử dụng Latex và đã giúp em thu được rất nhiều kiến thức bổ ích trongquá trình hoàn thành luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn thầy Tôn Thất Tú đã hướng dẫn, giúp em cóthể sử dụng phần mềm Maple Đồng thời em cũng xin gửi lời cảm ơn đếnthầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tạo mọi điềukiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn

Đà Nẵng, ngày 20 tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Thảo Nguyên

1.2 Bài toán Cauchy và cách tiếp cận lời giải số

Trong luận văn này, ta chỉ đề cập đến phương pháp số để giải các bàitoán tìm giá trị ban đầu Bài toán tìm giá trị ban đầu còn gọi là bài toánCauchy là bài toán tìm y(x) sao cho







y0 = f (x, y)y(a) = η

(1.1)

với f : [a, b] ×Rn → Rn,y : [a, b] ×Rn → Rn, η = (y1(a), y2(a), , yn(a))

1.2.1 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm

Định lý 1.1 (Xem [10]) Cho f : [a, b] ×Rn → Rn là ánh xạ liên tục trên

D = [a, b] ×Rn và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y, nghĩa là tồntại L ≥ 0 sao cho

kf (x, y) − f (x, y1)k ≤ L ky − y1k , ∀(x, y), (x, y1) ∈ D (1.2)Khi đó bài toán Cauchy (??) tồn tại duy nhất nghiệm y(x) liên tục và khả

vi trên D

1.2.2 Tiếp cận lời giải số

Tất cả các phương pháp số mà chúng ta đề cập trong khóa luận đều sửdụng tìm nghiệm y(x) của bài toán Cauchy (??) trên một tập rời rạc của

[a, b] Đó là chúng ta chia nhỏ [a, b] ra thành N phần bằng nhau bởi cácđiểm chia {xi}Ni=0 được định nghĩa bởi xi = ai + ih, i = 0, N, h = b − a

Tham số h được gọi là bước nhảỵ

Giả sử y(x) là nghiệm của hệ (??), đặt yn là xấp xỉ của nghiệm y(xn) củẳ?) tại xn Ký hiệu yn ≈ y(xn)

Mục đích của ta là tìm một phương pháp hữu hiệu để tính dãy giá trị xấp

xỉ {yn}Nn=0 của nghiệm của (??) trên tập rời rạc {xn}Nn=0

Định nghĩa 1.2 Nghiệm số là một dãy các xấp xỉ nghiệm đúng của bàitoán (??) trên tập rời rạc trên [a, b]

Định nghĩa 1.3 (Xem [10]) Phương pháp số giải bài toán (??) là một hệsai phân của k + 1 giá trị xấp xỉ {yn+i}ki=1 của {y(xn+i)}ki=1để từ đó ta cóthể tính tuần tự các giá trị {yi}Ni=0, với k là số bước

với x ∈ [0,1

2], h = 0, 05

Tính y(0, 05) biết

• Phương pháp Euler hiển





yn+1 = yn+ hf (xn, yn)y(x0) = y0

Với k = 1phương pháp số (??) gọi là phương pháp số một bước, k ≥ 2

phương pháp số (??) gọi là phương pháp số đa bước

Nếuφf không phụ thuộc vào yn+1 thì phương pháp số (??) là phương pháphiển

Nếu φf phụ thuộc vào yn+1 thì phương pháp số (??) là phương pháp ẩn

Ví dụ 1.3

a Phương pháp số yn+1 = yn+ hf (xn, yn) là phương pháp hiển 1 bước

b Phương pháp số yn+1 = yn + hf (xn+1, yn+1)là phương pháp ẩn 1 bước

Ta có y(xn+1) = y(xn+ h) = y(xn) + hy0(xn) + o(h2)

⇒ y(xn+1) − y(xn) = hy0(xn) + o(h2)y(xn+1) − y(xn) − hf (xn, y(xn)) = o(h2)

b Phương pháp Euler ẩn yn+1 = yn + hf (xn+1, yn+1) là phương pháp cócấp chính xác p = 1 vì

y(xn+1) − [y(xn) + hf (xn+1, y(xn+1))] = y(xn + h) − y(xn) − hy0(xn+1)

= y(xn) + hy0(xn) + o(h2) − y(xn) − hy0(xn+ h)

= y(xn) + hy0(xn) + o(h2) − y(xn) − h[y0(xn) + o(h)] = o(h2)

c Phương pháp Euler cải tiến ( Phương pháp Euler hình thang)

= o(h3)

Định nghĩa 1.6 R(xn+1) gọi là sai số chặt cụt.

Định nghĩa 1.7 (Xem [10]) Phương pháp số (??) gọi là phù hợp nếu

c Phương pháp Euler cải tiến ( hình thang) là phù hợp

Định nghĩa 1.8 Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số (??) là

a Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp Euler là ρ(t) = t − 1

b Đa thức đặc trưng của phương pháp số

Các phương pháp Euler đều phù hợp vì

Xét phương pháp Euler có đa thức đặc trưng thứ nhất làρ(t) = t − 1, khi

Định nghĩa 1.9 (Xem [10]) Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp

số (??) gọi là thỏa mãn điều kiện nghiệm nếu mọi nghiệm của nó đều cómodul nhỏ hơn 1 và các nghiệm có modul bằng 1 phải là nghiệm đơn

Ví dụ 1.8

1 Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t3− 4t2+ 5t − 2 = (t − 1)2(t − 2)

có nghiệm t = 2 có môđun lớn hơn 1 và nghiệm t = 1 là nghiệm bội

2 nên không thỏa mãn điều kiện nghiệm

Định nghĩa 1.10 (Xem [10]) Phương pháp số (??) gọi là có tính zero

-ổn định nếu đa thức đặc trưng thứ nhất thỏa mãn điều kiện nghiệm

Ví dụ 1.9

a Các phương pháp Euler có đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t − 1 cónghiệm đơn t = 1 nên thỏa mãn điều kiện nghiệm

Vậy phương pháp Euler có tính zero - ổn định

b Phương pháp Simpson có đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t2 − 1 cóhai nghiệm t = 1 và t = −1 thỏa mãn điều kiện nghiệm

Vậy phương pháp Simpson có tính zero - ổn định

1.3.4 Sự hội tụ của phương pháp số

Định nghĩa 1.11 (Xem [10]) Phương pháp số (??) gọi là hội tụ nếu

1.4 Phương pháp lặp đơn

Định nghĩa 1.12 (Xem [10]) Phương trình phi tuyến là phương trình códạng

với ϕ : Rn → Rn không phải là ánh xạ tuyến tính

Để giải các phương trình phi tuyến, có rất nhiều phương pháp để giải,

ở đây ta chỉ đề cập đến phương pháp lặp đơn

1.4.1 Phương pháp lặp đơn

Phương pháp lặp đơn được định nghĩa bởi dãy lặp

y[ν+1] = ϕ(y[ν]), ν = 0, 1, 2, (1.5)với y[0] chọn một cách thích hợp

Định lý 1.4 (Xem [10]) Cho ϕ(y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz

kϕ(y) − ϕ(y∗)k ≤ M ky − y∗k , ∀y, y∗ ∈ Rn

Hằng số Lipschitz M thỏa mãn 0 ≤ M < 1 Khi đó phương trình (??) códuy nhất nghiệm y = α và nếu y[ν] được định nghĩa bởi (??) thì y[ν] → α

với x0, x1, , xn là các mốc nội suy Bài toán nội suy là bài toán tìm giátrị gần đúng của F (x) tại các điểm không có trong bảng trên Người tathường tính giá trị gần đúng của F (x) bằng cách thay F (x) bởi các đathức, gọi là đa thực nội suy, rồi tìm giá trị của đa thức đó.

Khi đó có duy nhất một đa thức In(x) bậc n thỏa mãn điều kiện

(x − x2i−2)(x − x2i−1)(x2i− x2i−2)(x2i− x2i−1)

Theo công thức nội suy

Ta có các khẳng định sau

a Nếu biết được nghiệm riêng của phương trình Riccati thì có thể đưa nó

về phương trình Bernoulli và do đó có thể giải được bằng cầu phương

b Nếu biết được hai nghiệm riêng khác nhau của phương trình Riccati thìnghiệm tổng quát của nó có thể tìm được bằng một lần cầu phương

c Nếu biết được ba nghiệm riêng khác nhauy1(x), y2(x), y3(x)của phươngtrình Riccati thì tích phân tổng quát của nó có dạng

2α + 4 là số nguyên thì phương trình Riccati dạng đặc biệt

tích phân được bằng cầu phương (xem [6])

1.8 Phương pháp Runge - Kutta

Cho bảng Butcher

c1 a11 a12 a1s

c2 a21 a22 a2s

1 3

1 3 1 6

khi đó ta có phương pháp Runge - Kutta 4 nấc sau

1

2 0 0 0-1 12 −32 0 0

1 0 43 −13 0

1 6

2

3 0 16khi đó ta có phương pháp Runge - Kutta 4 nấc sau

Chương 2

Milne - Simpson giải phương trình

vi phân thường

2.1 Phương pháp tuyến tính k bước

Định nghĩa 2.1 (Xem [10]) Một phương pháp số được gọi là phương pháptuyến tính k bước nếu phương pháp số đó được cho bởi công thức sau

Giải bài toán





y0 = x + yy(0) = 1

2.1.2 Cấp chính xác

Định nghĩa 2.2 (Xem [1]) Đa thức đặc trưng thứ hai của phương pháp

số (??) là đa thức được đặc trưng bởi công thức

Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t2 − t = t(t − 1) có 2 nghiệm đơn

t = 0, t = 1 nên thỏa mãn điều kiện nghiệm

Phương pháp Adams 2 bước có tính zero - ổn định

Áp dụng định lý ta có β0 = 1

1 + 12

= 23

có hai nghiệm phân biệt t = 1, t = 1

3 nên thỏa mãn điều kiện nghiệm.

Suy ra phương pháp BDF 2 bước có tính zero - ổn định

Đa thức đặc trưng thứ hai của phương pháp BDF 2 bước là

Áp dụng hệ quả, phương pháp BDF 2 bước phù hợp

Vậy phương pháp BDF 2 bước hội tụ

Áp dụng công thức nội suy Newton lùi cho y0(xn + th) = yn+t0 ta được

yn+t0 = yn0+ t

1!∆y

0 n−1+t(t + 1)

a Phương pháp Nystro¨m 2 bước yn+1 = yn−1+ 2hf (xn, yn)

Phương pháp Nystro¨m 2 bước gọi là quy tắc trung điểm

b Phương pháp Nystro¨m 3 bước

2.2.3 Cấp chính xác

Vì phương pháp Nystro¨m là phương pháp tuyến tính k bước nên ta cóthể dùng định nghĩa hoặc dùng định lý để tính cấp chính xác của phươngpháp Nystro¨m

Ví dụ 2.6 Phương pháp trung điểm

Vậy phương pháp trung điểm có cấp chính xác p = 2

Ví dụ 2.7 Phương pháp Nystro¨m ba bước

Đa thức đặc trưng thứ hai

Vậy phương pháp Nystro¨m ba bước có cấp chính xác p = 3

Ví dụ 2.8 Phương pháp Nystro¨m bốn bước

Phương pháp trung điểm có cấp chính xác p = 2 nên phù hợp.

Vậy phương pháp trung điểm hội tụ

Ví dụ 2.10 Phương pháp Nystro¨m ba bước

có 3 nghiệm đơn t = −1, t = 0, t = 1, đều có môđun nhỏ hơn hoặc bằng

1 nên thỏa mãn điều kiện nghiệm Suy ra có tính zero - ổn định

Suy ra phương pháp Nystro¨m ba bước phù hợp.

Vậy phương pháp Nystro¨m ba bước hội tụ

Ví dụ 2.11 Phương pháp Nystro¨m bốn bước

có 2 nghiệm đơn t = −1, t = 1 có môđun bằng 1, có 1 nghiệm kép t = 0

có môđun bằng 0 nên thỏa mãn điều kiện nghiệm Suy ra có tính zero

Suy ra phương pháp Nystro¨m bốn bước phù hợp

Vậy phương pháp Nystro¨m bốn bước hội tụ

2.3 Phương pháp Milne - Simpson

2.3.1 Giới thiệu

Xét bài toán Cauchy (??) Kí hiệu y0n = f (xn, yn) Lấy tích phân hai

vế của bài toán Cauchy từ xn−1 đến xn+1 ta được

yn+1 = yn−1 + h[2 − 2∇ + 1

3∇2 + 0∇3 − 1

90∇4 − 1

90∇5 + ]yn+10

Định nghĩa 2.4 Phương pháp Milne - Simpson là phương pháp tuyếntính k bước với α2 = 1, αj = 0, j = 0, 1, 3, 4, có dạng

= yn−1 + h

3[y

0 n+1+ 4yn0 + yn−10 ]

= yn−1 + h

3[f (xn+1, yn+1) + 4f (xn, yn) + f (xn−1, yn−1)]

Phương pháp Milne - Simpson 2 bước gọi là phương pháp Simpson

2 Phương pháp Milne - Simpson 4 bước

− 1

90(y

0 n+1− 4y0n+ 6yn−10 − 4yn−20 + yn−30 )]

= yn−1 + h[29

90y

0 n+1+ 62

45y

0 n−2− 1

90y

0 n−3]

= yn−1 + h

90[29y

0 n+1+ 124yn0 + 24yn−10 + 4yn−20 − yn−30 ]

0 n+1−4yn0 +6yn−10 −4yn−20 +y0n−3)− 1

90(y

0 n+1−5yn0 +10yn−10 −10yn−20 +5yn−30 −yn−40 )]

= yn−1 + h[14

45y

0 n+1+ 43

45y

0 n−2− 1

15y

0 n−3+ 1

90y

0 n−4]

= yn−1 + h

90[28y

0 n+1+ 129yn0 + 14yn−10 + 14yn−20 − 6yn−30 + yn−40 ]

= yn−1 + h

90[28f (xn+1, yn+1) + 129f (xn, yn) + 14f (xn−1, yn−1)+14f (xn−2, yn−2) − 6f (xn−3, yn−3) + f (xn−4, yn−4)]

của phương pháp Milne - Simpson.

3[y

0(xn−1)+2hy00(xn−1)+2h2y000(xn−1)+4

3h

3y(4)(xn−1)+4y0(xn−1) + 4hy00(xn−1) + 2h2y000(xn−1) +2

Vậy phương pháp Simpson có cấp chính xác p = 4

Ví dụ 2.15 Phương pháp Milne - Simpson bốn bước

yn+1 = yn−1+ h

90[29f (xn+1, yn+1) + 124f (xn, yn) + 24f (xn−1, yn−1)+4f (xn−2, yn−2) − f (xn−3, yn−3)]

Vậy phương pháp Simpson hội tụ.

Ví dụ 2.17 Phương pháp Milne - Simpson bốn bước

yn+1 = yn−1+ h

90[29f (xn+1, yn+1) + 124f (xn, yn) + 24f (xn−1, yn−1)+4f (xn−2, yn−2) − f (xn−3, yn−3)]

hội tụ

Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t4 − t2 khi đó ρ(1) = 0

và ρ0(t) = 4t3 − 2t ⇒ ρ0(1) = 2

φf(yn+1, , yn−3, xn−3, h) = 1

90[29f (xn+1, yn+1) + 124f (xn, yn)+24f (xn−1, yn−1) + 4f (xn−2, yn−2) − f (xn−3, yn−3)]

Chọn h = 0

⇒ φf(yn+1, , yn−3, xn−3, 0) = 1

90[29f (xn, yn)+124f (xn, yn)+24f (xn, yn)+4f (xn, yn) − f (xn, yn)]

Đa thức đặc trưng thứ nhấtρ(t) = t4− t2 có hai nghiệm đơn t = −1, t = 1

và một nghiệm bội hai t = 0 nên thỏa mãn điều kiện nghiệm Suy ra cótính zero - ổn định

Vậy phương pháp Milne - Simpson bốn bước hội tụ

Chương 3

Sử dụng cặp phương pháp số

giải số phương trình vi phân thường

Để giải bài toán Cauchy một cách có hiệu quả, người ta thường dùngkết hợp hai phương pháp tuyến tính đa bước Phương pháp đa bước hiểndùng để dự báo nghiệm, phương pháp đa bước ẩn cho lượng hiệu chỉnhnghiệm

3.1 Dự báo bằng phương pháp Nystr¨ om hai bước,

hiệu chỉnh bằng phương pháp Milne - Simpson hai bước

3.1.1 Thuật toán

Giải bài toán Cauchy (1.1)

Bước 1: Chia đoạn [a, b] thành N phần bằng nhau bởi các điểm chia a =

x0, x1, , xN = b, tìm h

Bước 2: Trong đoạn [x0, x1] ta chia làm hai phần bằng nhau bởi điểm chia

x01, tìm h1 = h

2, x01.

Tính y01 bằng phương pháp Euler hiển

Bước 6: Nếu yk1 − y1k−1 < ε k = 1, 2, 3, (*) thì dừng thực hiện,ngược lại thì tiếp tục hiệu chỉnh y1 cho đến khi thỏa mãn điều kiện (*)

Kí hiệu y∗1 là giá trị hiệu chỉnh thỏa mãn điều kiện (*)

Bước 7: Dự báo y2 bằng phương pháp Nystro¨m hai bước với y1 = y1∗.Bước 8: Thực hiện hiệu chỉnh y2 cho đến khi thỏa mãn y2k − yk−12

< ε

k = 1, 2, 3, thì dừng, chuyển sang dự báo y3

Bước 9: Dự báo và hiệu chỉnh y3

Thực hiện tuần tự cho đến yN

3.1.2 Áp dụng thuật toán trên giải bài tập

trên đoạn 0 ≤ x ≤ 1

Chia đoạn [0, 1] thành 100 phần bằng nhau, khi đó h = 0, 01.

Trong đoạn [0, 0.01] ta chia làm 2 phần bằng nhau bởi điểm chia x01, khi

Ta đưa ra bảng sau với các giá trị cơ bản

x y dự báo y hiệu chinh y Maple yM-yd yM-yh

do maple tính và hiệu chỉnh rất nhỏ, điều này có ý nghĩa rất quan trọngtrong việc giải gần đúng các phương trình vi phân bằng phương pháp số

trên đoạn 0 ≤ x ≤ 1

Nghiệm giải tích của bài toán trên là

y(x) = e−sin(x)

Chia đoạn [0, 1] thành 1000 phần bằng nhau, khi đó h = 0, 001

Trong đoạn [0, 0.001] ta chia làm 2 phần bằng nhau bởi điểm chia x01, khi

Ta đưa ra bảng sau với các giá trị cơ bản

x y dự báo y hiệu chỉnh y chính xác yc-yd yc-yh

từ đó cho thấy giá trị hiệu chỉnh tốt hơn nhiều so với giá trị dự báo, có ý

nghĩa rất quan trọng trong việc giải gần đúng các phương trình vi phânbằng phương pháp số.

trên đoạn 0 ≤ x ≤ 1

Chia đoạn [0, 1] thành 100 phần bằng nhau, khi đó h = 0, 01.

Trong đoạn [0, 0.01] ta chia làm 2 phần bằng nhau bởi điểm chia x01, khi

Ta đưa ra bảng sau với các giá trị cơ bản

x y dự báo y hiệu chỉnh y Maple yM-yd yC-yh

0,1 0,0003326682 0,0003333349 0,0003333349 6667.10−10 00,2 0,0026662017 0,0026668699 0,0026668698 6681.10−10 10−10

0,3 0,0090027986 0,0090034732 0,0090034732 6746.10−10 00,4 0,0213586876 0,0213593801 0,0213593802 6926.10−10 10−10

3.2 Dự báo bằng phương pháp Nystr¨ om hai bước,

hiệu chỉnh bằng phương pháp Milne - Simpson bốn bước

3.2.1 Thuật toán

Giải bài toán Cauchy (1.1)

Bước 1: Chia đoạn [a, b] thành N phần bằng nhau bởi các điểm chia

a = x0, x1, , xN = b, tìm h

Kí hiệu yk∗ là giá trị hiệu chỉnh thỏa mãn điều kiện ... sau với giá trị bản

x y dự báo y hiệu chinh y Maple yM-yd yM-yh

do maple tính hiệu chỉnh nhỏ, điều có ý nghĩa quan trọngtrong vi? ??c giải gần phương trình vi phân phương pháp số

trên... data-page="46">

Ta đưa bảng sau với giá trị bản

x y dự báo y hiệu chỉnh y xác yc-yd yc-yh

từ cho thấy giá trị hiệu chỉnh tốt nhiều so với giá trị dự báo, có ý

nghĩa quan trọng vi? ??c giải gần phương trình vi phânbằng phương pháp số.

trên đoạn ≤ x ≤