Với đối tượng là học sinh khối 9 trường trung học cơ sở Đức thành huyện Yên Thành tôi đã chọn ra các lớp 9B làm lớp thực nghiệm , lớp 9Alàm lớp đối chứng, khi áp dụng đề tài vào giảng dạ[r]
Trang 1PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ
1.Lý do chọn đề tài.
Trong chương trình Sách giáo khoa Toán 9 THCS, Học sinh đã được làm quen với phương trình bậc hai: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai, đặc biệt là định lý Vi-ét và ứng dụng trong việc giải toán
Song qua việc dạy toán tại trường THCS Đức Thành tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán chưa thực sự linh hoạt, chưa khai thác và sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại toán, trong khi đó hệ thức Vi-ét có tính ứng dụng rộng rãi trong việc giải toán
Cuối học kỳ 2 lớp 9, thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thi cuối cấp Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi-ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan trọng như thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi vào các trường chuyên, lớp chọn
Đứng trước vấn đề đó, tôi đi sâu nghiên cứu đề tài “Một số ứng dụng của định
lí Vi-ét trong việc giải toán” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định lí Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh
2.Mục đích nghiên cứu:
Đây là một đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của toán học, đặc biệt nó giúp phát triển khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, nếu vấn đề này được quan tâm thường xuyên trong dạy học của các thầy cô giáo thì chắc chắn đề tài sẽ là kinh nghiệm bổ ích trong việc bồi dưỡng đội ngũ học sinh thi vào lớp 10 THPT và các trường chuyên lớp chọn
3.Đối tượng và phạm vi áp dụng.
Trong đề tài này, tôi chỉ đưa ra nghiên cứu một số ứng dụng của định lí Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS Do đó chỉ đề cập đến một
số loại bài toán là:
a, Ứng dụng của định lí Vi-ét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra
b, Ứng dụng của định lí Vi-ét trong giải bài toán lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn
c, Ứng dụng của định lí Vi-ét trong giải toán chứng minh
d, Áp dụng định lí Vi-ét để giải phương trình và hệ phương trình
e, Định lý Vi-ét với bài toán cực trị
Trang 2phÇn ii Néi dung
A Kiến thức cơ bản :
1 Hệ thức Vi-ét : Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình
ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì:
¿
x1+x2=− b
a
x1 x2=c
a
¿ {
¿
2 Ứng dụng : (trường hợp đặc biệt)
a) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phương trình: x1 =
1, nghiệm kia là: x2 =
c a
b) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì phương trình: x1 = -1, nghiệm kia là: x2 =
-c a
¿
u+v=S
u v=P
¿ {
¿
* Nếu có hai số u và v thoã mãn:
thì u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P 0
3 Bổ sung:
a) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1 và x2 thì tam thức
ax2 + bx + c phân tích được thành nhân tử: ax2 + bx + c = a(x – x1 )(x – x2) b) Xét dấu các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)
Điều kiện để phương trình (1)
- Có hai nghiệm trái dấu là P < 0
- Có hai nghiệm cùng dấu là 0 và P > 0
* Có hai nghiệm cùng dương là: 0 , P > 0 và S > 0
Trang 3* Cú hai nghiệm cựng õm là: 0 , P > 0 và S < 0
B Nội dung.
I ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải toán tìm điều kiện của
tham số để bài toán thoã mãn yêu cầu đặt ra.
1 Cỏc vớ dụ:
Vớ dụ 1: Tỡm giỏ trị của tham số m để cỏc nghiệm x1, x2 của phương trỡnh
mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoó món x12+x¿22=1
¿
Bài giải:
Điều kiện để phương trỡnh cú hai nghiệm: m 0 ; ' ≥ 0
' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + 4
' 0 m 4
Với 0 m 4, theo định lý Vi-ột:
x1 + x2 = 2(m−2)
m ; x1.x2 = m−3 m
Do đú: 1 = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 =
m− 2¿2
¿
4 ¿
¿
m
m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m
m2 - 10m + 16 = 0
m = 2 hoặc m = 8 Giỏ trị m = 8 khụng thoó món 0 m 4
Vậy, với m = 2 thỡ x12+x22 = 1
Vớ du 2: Cho phương trỡnh: x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0 Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 phõn biệt thoó món x1
1
+ 1
x2
=x1+x2
5
Bài giải:
Ta phải cú:
−(m− 2)¿2−(m2+2m −3)>0
¿
x1 x2≠ 0
¿
¿
Δ '
= ¿
¿
(1) ' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 m < 76 (2) m2 + 2m - 3 0 (m - 1)(m + 3) 0 m 1; m - 3 (3) x1 +x2
x1 x2=
x1+x2
5 ⇔(x1+x2)(5 − x1 x2)=0
Trường hợp 1: x1 + x2 = 0 x1 = - x2 m = 2 khụng thoó món pt(1)
Trường hợp 2: 5 - x1.x2 = 0 x1.x2 = 5
Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5 (m - 2)(m + 4) = 0
Trang 4m=2 (lo¹i) m=− 4 (tho¶m·n §K)
⇔¿
Vậy với m = - 4 có hai nghiệm x1, x2 thoã mãn: x1
1
+ 1
x2
=x1+x2
5
Ví dụ 3: Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số) a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 thoã mãn: x1 + 4x2 = 3
b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 không phụ thuộcvào m
Bài giải:
a) Ta phải có:
x1+x2=2(m+1)
m
x1 x2=m− 4
m
x1+4 x2=3
m≠ 0
¿
m+1¿2− m(m− 4)≥0
¿
−¿
Δ'=¿
¿
¿
Từ (1) và (3) ta tính được: x2=m−2
3 m ;x1 =5 m+8
3 m
Thay vào (2) (m− 2)(5 m+8)
m 2m2 - 17m + 8 = 0 Giải phương trình 2m2 - 17m + 8 = 0 ta được m = 8; m = 12 đều thoã mãn (4)
Vậy với m = 8 hoặc m = 1/2 thì các nghiệm của pt thoã x1 + 4x2 = 3
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 + x2 = 2 + m2
Thay m2 = x1 + x2 - 2 vào (*) ta được x1x2 = 1 - 2(x1 + x2 - 2)
Vậy x1.x2 = 5 - 2(x1 + x2)
Ví dụ 4: Với giá trị nào của tham số m thì hai phương trình sau có ít nhất một
nghiệm chung:
Bài giải:
Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình đã cho Lúc đó:
x02+2 x0 +m=0
(1) (2) (3) (4)
Trang 5x02+ mx 0 +2=0
Trừ vế theo vế, ta có: (m - 2)x0 = m - 2
Nếu m = 2 cả hai phương trình là x2 + 2x + 2 = 0 vô nghiệm
Nếu m 2 thì x0 = 1 từ đó m = -3
Với m = - 3: thay vào (1) ta có x2 + 2x – 3 = 0; có nghiệm x1 = 1 ; x2 = - 3 Thay vào (2) ta có x2 - 3x + 2 = 0; có nghiệm x3 = 1 ; x4 = 2
Vậy, với m = - 3 thì cả hai phương trình có nghiệm chung là x = 1
Ví dụ 5: Cho phương trình x2 2(m2)x m 2 9 0 ( I )
Gọi hai nghiệm của phương trình (I) là x1 và x2 Hãy xác định giá trị của m
để x1 x2 x1 x2
(Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT-Nghệ An - 2006-2007)
Bài giải
Điều kiện để tồn tại x1 và x2 : ' 0 (m2)2 (m2 9) 0
13
4
(*) Lúc đó, theo Vi-ét ta có x1 + x2 = 2(m + 2)
x1.x2 = m 2 9
Ta có x1 x2 x1 x2
1 2
0
x x
2(m + 2) 0
3
Vậy, m = 3 thì x1 x2 x1 x2
2 Bài tập:
Bài tập 1: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 ( m là tham số) (1)
Tìm giá trị m để phương trình (1) có các nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 = 2x2
Bài tập 2: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 ( m là tham số)
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoã mãn: x1 + 4x2 = 3 d) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m
Bài tập 3:
a) Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có một nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó?
x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1)
x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2)
Trang 6b) Tỡm giỏ trị của m để nghiệm của phương trỡnh (1) là nghiệm của phương trỡnh (2) và ngược lại
Bài tập 4:
Cho phương trỡnh 2x2 4mx 2m2 1 0 (1) ( m là tham số)
Tỡm m để pt(1) cú hai nghiệm x1; x2 thoó món: 2x12 4mx2 2m2 1 0
(Thi vào lớp 10 THPT Phan Bội Chõu-Nghệ An-2007-2008-Vũng1)
ii ứng dụng của định lí vi-ét trong bài toán lập phơng trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của ph ơng trình bậc hai một ẩn : 1.Cỏc vớ dụ:
Vớ dụ 1: Cho x1 = √3+1
2 ; x2 = 1
1+√3
Hóy lập phương trỡnh bậc hai cú ngiệm: x1; x2
Bài giải
Ta cú x1 = √3+12 ; x2 = 1+1
√3 = 1−√3
( 1+√3 ) (1 −√3 )=
√3− 1
2
Nờn x1.x2 = √3+12 1+1
√3 = 12
x1 + x2 = √3+12 + 1+1
√3 = √3
Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x1; x2 là x2 - √3 x + 12 = 0
Hay 2x2 - 2 √3 x + 1 = 0
Vớ dụ 2: Cho phương trỡnh : x2 + 5x - 1 = 0 (1)
Khụng giải phương trỡnh (1), hóy lập một phương trỡnh bậc hai cú nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của cỏc nghiệm của phương trỡnh (1)
Bài giải:
Gọi x1; x2 là cỏc nghiệm của phương trỡnh đó cho, theo hệ thức Vi-ột ta cú:
x1 + x2 = -5; x1.x2 = - 1 Gọi y1; y2 là cỏc nghiệm của phương trỡnh phải lập, ta cú:
y1 + y2 = x14+x24
y1.y2 = x14 x24
Ta cú: x14¿
+x24
¿
= (x12+ x22)2 - 2x12.x22 = 729 – 2 = 727
x14 x24 = (x1.x2)4 = (- 1)4 = 1 Vậy phương trỡnh cần lập là: y2 - 727y + 1 = 0
Trang 7Vớ dụ 3: Tỡm cỏc hệ số p, q của phương trỡnh: x2 + px + q = 0 sao cho hai nghiệm x1; x2 thoó món hệ thức : {x1− x2=5
x13− x23=35
Bài giải:
Điều kiện: = p2 - 4q 0 (*) ta cú:
x1 + x2 = -p; x1.x2 = q Từ điều kiện:
{x1− x2=5
x13− x23 =35 { (x1− x2)2=25
(x1− x2)(x12+x1x2+x22)=35
{ (x1+x2)2− 4x1x2=25
5((x1+x2)2−2 x1x2+x1x2)=35
4 p
1
2
Giải hệ này tỡm được: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6
Cả hai giỏ trị này đều thoó món (*)
2) Bài tập:
Bài tập 1: Lập phương trỡnh bậc hai cú hai nghiệm là: √3 + √2 và
1
√3+√2
Bài tập 2: Lập phương trỡnh bậc hai thoó món điều kiện:
Cú tớch hai nghiệm : x1.x2 = 4 và x1
x1−1 + x2
x2−1 = k2−7
k2− 4
Bài tập 3: Xỏc địnhm cỏc số m, n của phương trỡnh: x2 + mx + n = 0
Sao cho cỏc nghiệm của của phương trỡnh là m và n
iii ứng dụng của định lí vi-ét trong giải toán chứng minh
1 Cỏc vớ dụ:
Vớ dụ 1: Cho a, b là cỏc nghiệm của phương trỡnh: x2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của phương trỡnh: x2 + qx + 2 = 0
Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6
Hướng dẫn hs: Đõy khụng phải là một bài toỏn chứng minh đẳng thức
thụng thường, mà đõy là một đẳng thức thể hiện sự liờn quan giữa cỏc nghiệm của hai phương trỡnh và hệ số của cỏc phương trỡnh đú Vỡ vậy chỳng ta phải nắm vững định lý Vi-ột và vận dụng định lý đú vào trong quỏ trỡnh biến đổi hai vế của đẳng thức để suy ra hai vế bằng nhau
Bài giải:
Vỡ a,b là nghiệm của phương trỡnh: x2 + px + 1 = 0
b,c là nghiệm của phương trỡnh: x2 + qx + 2 = 0 Theo định lý Vi-ột ta cú:
Trang 8{a+b=- p a b=1 và {b+c=- q b c=2
Do đú : (b – a)(b – c) = b2 + ac - 3 (1)
pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3 Suy ra: pq - 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac - 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm)
Vớ dụ 2: Cho cỏc hệ số a, b, c thoả món:
a + b + c = - 2 (1); a2 + b2 + c2 = 2 (2) Chứng minh rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn [−4
3;0] khi biểu diễn trờn trục số:
Bài giải:
Bỡnh phương hai vế của (1) ta được:
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4
Do (2) nờn: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1
bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a2 + 2a + 1
Ta lại cú: b + c = - (a + 2), do đú b, c là nghiệm của phương trỡnh:
x2 + (a + 2)x + (a2 + 2a + 1) = 0 (*)
Để (*) cú nghiệm thỡ ta phải cú:
= (a+2)2 - 4(a2+2a+1) 0
a(3a + 4) 0 - 43 a 0 Chứng minh tương tự ta được: - 43 b 0; - 43 c 0
2 Bài tập:
Bài tập 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phương trỡnh bậc hai: x2 + px + 1 = 0 Gọi c, d là hai nghiệm của phương trỡnh: y2 + qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2
Bài tập 2 : Chứng minh rằng khi viết số x = ()200 dưới dạng thập phõn, ta được chữ số liền trước dấu phẩy là 1,chữ số liền sau đấu phẩy là 9
Bài tập 3 : Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trỡnh
2
2004x (2004m 2005)x 2004 0 ( m là tham số)
Chứng minh rằng:
1 2
1 2
x x
x x
x x
Và xỏc định giỏ trị của m để đẳng thức xảy ra
(Kỳ thi vào lớp 10 THPT Phan bội Chõu-2004-2005)
iV áp dụng định lý vi-ét giải phơng trình và hệ phơng trình.
1.Vớ dụ :
Trang 9Ví dụ 1: Giải phương trình: x(5 − x x +1) (x + 5 − x
x+1) =6 Định hướng:
- Tìm ĐKXĐ:
- Đặt {u=x 5− x
x +1 ν=x + 5− x
x +1
{u +ν=? u ν =?
- Tính u, v rồi suy ra x
Bài giải:
ĐKXĐ: {x R x - 1}
Đặt : {u=x 5− x
x +1 ν=x + 5− x
x +1
(*) {u +ν=(x 5− x
x +1)+(x + 5 − x
x +1)
u ν=(x 5− x
x +1).(x+ 5 − x
x+1) {u+ν=5 u ν=6
u, v là nghiệm của phương trình : x2 - 5x + 6 = 0
= 25 – 24 = 1
x1 = 5+12 = 3
x2 = 5 − 12 = 2
u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3 Nếu: {u=3 ν=2 thì (*) trở thành : x2 - 2x + 3 = 0
' = 1 – 3 = - 2 < 0 Phương trình vô nghiệm:
Nếu: {u=2 ν=3 thì (*) trở thành : x2 - 3x + 2 = 0
Suy ra: x1 = 1; x2 = 2
Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1 = 1; x2 = 2
Ứng dụng định lí Vi-ét để giải hệ phương trình thường dùng để giải hệ đối
xứng loại 1: Tức là hệ có dạng:
f x y f y x
g x y g y x
Để giải loại hệ này ta tiến hành như sau:
- Biểu diễn từng phương trình qua x + y và xy
- Đặt S = x + y và P = xy, ta được một hệ mới chứa hai ẩn S và P
- Giải hệ mới để tìm S và P
- Các số cần tìm là nghiệm của phương trình t2 St P 0.
Theo yêu cầu của bài mà giải phương trình tìm t hoặc biện luận phương trình chứa
t để rút ra kết luận mà đề bài đặt ra
Trang 10Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình:
a) {xy=31x + y=11
b)
2 2
x y yx 7
xy x y 12
Bài giải
a) x,y là nghiệm của phương trình: x2 - 11x +31 = 0
=(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - 3 < 0 Phương trình vô nghiệm
Vậy hệ đã cho vô nghiệm
b) Đặt x + y = S và xy = P
Ta có hệ phương trình : {S P=12 S+P=7
Khi đó S và P là hai nghiệm của phương trình : t2 – 7t + 12 = 0
Giải phương trình này ta được t = 4 và t = 3
+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
u2 - 4u + 3 = 0
u = 1 và u = 3 Suy ra (x = 1; y = 3) và (x = 3; y = 1) + Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
v2 – 3v + 4 = 0 Phương trình này vô nghiệm vì = 9 - 16 = - 7 < 0
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là:
(x = 1; y = 3) và (x = 3; y =1)
Ví dụ 3:
2 Bài tập :
Bài tập 1: Giải phương trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0
Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau:
a)
x + y=9
¿+y2= 4
x2
¿
b) {x4x+ y=3+y4=17
Bài tập 3
Giải hệ phương trình:
x y x y
x x y y
( Thi HSG lớp 9 huyện Nghi lộc-Nghệ An-2003-2004
Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Tỉnh-Yên Thành-Nghệ An-2009-2010)
Trang 11V §Þnh lý vi-Ðt víi bµi to¸n cùc trÞ:
1 Các ví dụ:
Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình:
x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0
Tìm m để x12+x22 có giá trị nhỏ nhất
Bài giải:
Xét: = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0
Nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Theo định lí Vi-ét, ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2
x12
+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2)
=4m2 - 6m + 5 = (2m - 32 )2 + 114 114 Dấu “=” xảy ra khi m = 34
Vậy Min(x12 + x22) = 114 khi m = 34
Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình:
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2
Bài giải:
Để phương trình đã cho có nghiệm thì:
' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) 0
- 5 m - 1 (*) Khi đó, theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = - m - 1
x1 .x2 = m2+4 m+3
2
Do đó: A = m2+8 m+7
Ta có: m2 + 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì:
(m + 1)(m + 7) 0
Suy ra: A = − m2+8 m−7
m+4¿2
¿
9 −¿
¿
92 Dấu “ = ” xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4
Vậy, A đạt giá trị lớn nhất là 92 khi m = - 4, giá trị này thoã mãn điều kiện (*)
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
A=(x4 + 1) (y4 + 1), biết x, y 0; x + y =
Bài giải:
A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + 1
Ta có: x + y = x2 + y2 = 10 - 2xy