SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NÓ TRONG GIẢI TOÁN Ở BẬC THPT

Kể từ khi xuất hiện khỏi niệm số phức, cỏc nghiờn cứu đó khẳng định đú là một cụng cụ quý giỏ của toỏn học, được ứng dụng trong nhiều ngành khoa học khỏc nhau như: Toỏn học, Vật lý, Khoa

SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA Nể

TRONG GIẢI TOÁN Ở BẬC THPT

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LỜI NểI ĐẦU

Khởi đầu từ nhu cầu giải quyết các phơng trình đại số, số phức bắt đầu xuất hiện từ thế kỷ thứ XVI và phát triển mạnh đến nay Trong chương trỡnh đổi mới nội dung Sỏch giỏo khoa, số phức được đưa vào chương trỡnh toỏn học phổ thụng và được giảng dạy ở cuối lớp 12

Kể từ khi xuất hiện khỏi niệm số phức, cỏc nghiờn cứu đó khẳng định

đú là một cụng cụ quý giỏ của toỏn học, được ứng dụng trong nhiều ngành khoa học khỏc nhau như: Toỏn học, Vật lý, Khoa học và kỹ thuật… Trong Toỏn học, số phức được dựng để giải nhiều bài toỏn từ sơ cấp đến cao cấp.Số phức là cầu nối hoàn hảo giữa cỏc phõn mụn Đại số, Lượng giỏc, Hỡnh học và Giải tớch

Số phức được đưa vào giảng dạy ở bậc phổ thụng của nhiều nước trờn thế giới, nhưng lại là nội dung mới với học sinh trung học phổ thụng ở Việt Nam, và thực sự gõy khụng ớt khú khăn bởi nguồn tài liệu tham khảo hạn chế Bờn cạnh đú cỏc bài toỏn về số phức trong những năm gần đõy khụng thể thiếu trong cỏc đề thi tốt nghiệp trung học phổ thụng và Đại học, Cao đẳng Chớnh vỡ vậy mà tụi chọn đề tài “Số phức và một số ứng dụng của nú trong giải toỏn ở bậc THPT” để viết sỏng kiến kinh nghiệm

Đề tài gồm hai phần:

- Phần thứ nhất: Một số dạng toỏn thường gặp về số phức ở bậc THPT

- Phần thứ hai: Một số ứng dụng của số phức trong giải toỏn ở bậc THPT

II.

THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIấN CỨU

1 Thực trạng:

Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khú đối với học sinh bậc trung học phổ thụng hiện nay Vỡ mới đưa vào chương trỡnh Sỏch giỏo khoa nờn cú rất ớt tài liệu về số phức để học sinh và giỏo viờn tham khảo Bờn cạnh đú, lượng bài tập cũng như cỏc dạng bài tập về số phức trong Sỏch giỏo khoa cũn nhiều hạn chế.Chớnh vỡ vậy mà việc giảng dạy và học tập của giỏo viờn và học sinh gặp khụng ớt những khú khăn

2 Kết quả, hiệu quả của thực trạng:

Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về nó Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ để tạo nên sự lôi cuốn người học Một số dạng bài tập trong

đề tài này một phần nào đó có thể cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất về số phức và các ứng dụng của số phức trong giải toán

B NỘI DUNG

I MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC Ở BẬC

THPT

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước:

Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi trực tiếp, hoặc đặt z=x+yi (

x y   và chú ý rằng z x yi z  ,  x2 y2 , z2 x2  y2  2xyi để tìm số phức z

Ví dụ1: Tìm số phức z thỏa mãn :

z z







 (Đề thi tuyển sinh dại học khối B năm 2009)

b z có phần thực và phần ảo là số nguyên thõa mãn: z3  117 44  i

Lời giải

a Gọi z=x+yi ( x y  , ) khi đó.Yêu cầu bài toán tương đương với hệ:

2 2

2 2

5 0

3 25

25

4

x y

x

x y

x y

y











 



Vậy có 2 số phức cần tìm là z=3+4i và z=5

b Gọi z=x+yi ( x y  , ).Ta có :z x yi  Khi đó :

4 3

11

x















Vì x, y nguyên nên với 4

3

y ythay vào (1) ta suy ra x=3 nên y=4

Vậy số phức cần tìm là z=3+4i

Ví dụ 2 : Trong các số phức z thõa mãn điều kiên z 2 4  i  5.Tìm số

phức z có modun lớn nhất, nhỏ nhất

Lời giải

Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi Khi đó:

Suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2;4),

bán kính R  5

z OM x y  x  y  x y  x y  x  y 

Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

(x 2) 2(  y 4)  (1  2 ) (  x 2)  (y 4)      5 5 (x 2) 4(  y 4) 5  (3)

Từ (2), (3) ta suy ra: 5 z  3 5 .Vậy:

min

max

1

2 3

6

x

y x

y

















Dạng 2: Biểu diễn số phức và tìm tập hợp điểm

- Véc tơ u x y( ; )biểu diễn số phức z=x+yi.

- Điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi tức là OM

biểu diễn số phức đó

- Tìm tập hợp điểm thường dùng kiến thức hình học phẳng

- Phương pháp cơ bản là dựa vào phép đặt z=x+yi

Ví dụ 1: Gọi M, M’ theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu

diễn số phức z 0và ' 1

2

i

z   z Chứng minh rằng tam giác OMM’ vuông cân với O là gốc tọa độ

Lời giải

Vì M, M’ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z và z’ nên OM OM  , '

lần lượt biểu diễn z, z’

Vì MM' OM'  OM

nên MM ' biểu diễn số phức

i

z z   z z    i z

Khi đó:



Nhận thấy:

2

2









nên tam giác OMM’ vuông cân tại M’

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức

z thõa mãn điều kiện:

a z i  (1 ) i z (Đề thi TSĐH khối B năm 2010) b z  1 z 1 4 

c z 5  z 5 8  d z 2  Rez 2

Lời giải

a.Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi (x y  ; )

Ta có: z - i=x+(y-1)i và (1+i)z=(1+i)(x+yi)=x-y+(x+y)i

Nên z i  (1 ) i z  x (y 1)i  x y (x y i )

 x2  (y 1) 2  (x y ) 2  (x y ) 2  x2  (y 1) 2  2

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thõa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn có phương trình x2  (y 1) 2  2

b Trong mặt phẳng Oxy Giả sử các điểm M, F F1 , 2 lần lượt biểu số phức z, -1, 1 Suy ra:

F M1 biểu diễn số phức z-(-1)=z+1 ;F M2 biểu diễn số phức z-1.Với F F1 , 2 nằm trên trục thực Ox

-Khi đó điều kiện: z  1 z 1 4   MF1MF2  4 và F F 1 2 2

Vậy tập hợp các điểm M là Elip có trục lớn bằng 4 và trục bé bằng 2 3

Phương trình Elip trong mặt phẳng tọa độ Oxy là: 2 2 1

x y

c.Tương tự câu b giả sử các điểm M, F F1 , 2 lần lượt biểu số phức z, -5, 5 Với F F1 , 2 nằm trên trục thực Ox

Tương tự câu b ta có: z 5  z 5 8   MF2  MF1  8 và F F 1 2 10

Tập hợp các điểm thỏa mãn MF2  MF1  8 với F F 1 2 10 là Hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục Ox, độ dài trục thực là 4 và trục ảo là 3

Phương trình Hypebol trong mặt phẳng tọa độ Oxy là  : 2 2 1

x y

d Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z x iy  với x y  ,

Ta có z-2=x-2+yi nên:

2 2

2

8x 8x

y y









Vậy tập hợp những điểm M là Parabol (P):y 2 8x có đỉnh O(0;0) và tiêu điểm F(2;0)

Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số phức

Lời giải

Đặt z a bi  ( ;a b R ) ,   x yi x y( ;   )

Ta có z  1 2  (a 1)2b2  4 (1)

3

x a b



 



    



 



Từ đó (x 3) 2  (y 3) 2  4 (  a 1) 2 b2  4 (  a 1) 2 b2   32 do (1)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn (x 3) 2  (y 3) 2  32 có tâm (3; 3)

I , bán kính R 4 2

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức,bất đẳng thức:

Ví dụ 1 : Cho 3 số phức x,y,z có cùng mô đun bằng 1 Chứng minh

rằng: xy yz z  x   x y z

Lời giải

Ta có 2

x

x x  (vì x 1) Tương tự ta có 1 y ,1 z

y  z  Khi đó:

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng nếu z 1 thì 2 1

2

z i iz







Lời giải

Giả sử z a bi  ( ,a b R ) thì z  a2 b2  1  a2 b2  1

Ta có 2 1

2

z iz







b ai



2 2

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

2 2

1



 4a2 (2b 1)2  (2  b)2a2  a2 b2  1 luôn đúng đpcm

Dạng 4 Giải phương trình, hệ phương trình trên tập số phức

- Việc giải các phương trình có bậc lớn hơn 2 thường sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ… để chuyển về dạng bậc hai

- Việc giải các,phương trình, hệ phương trình trên tập số phức tương tự trên tập số thực

- Các dạng hệ thường gặp là hệ phương trình bậc nhất, hệ đối xứng, …

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau trên tập số phức

a.(z 1) 4  (z 3) 4  128 0  b.(z 1)(z 2)(z 4)(z 7) 0 

c z4  z3  2z2  2z   4 0 0

Lời giải

a Đặt t z 1 thì phương trình (z 1) 4  (z 3) 4  128 0  trở thành

(t 2)  (t 2)  128 0 

Khai triển và rút gọn ta được: t4  24t2  80 0  , suy ra t 2 4; t 2 20 Với t 2 4 ta có t2  4i2  t 2i; t 2i

Với t 2 20 ta có t2  20i2  t 2 5i; t 2 5i

Vậy phương trình có 4 nghiệm: z1   1 2i; z2   1 2i; z3   1 2 5i;

z   i

b PTz 1 z 7 z 2 z 4  34  z2  6z 7 z2 6z 8  34  1 Đặt t z2  6z 7  z2  6z   8 t 15 thì (1) trở thành t t  15  34

2 15 34 0 2; 17

+) Với t=2 thì z2  6z 7 2   z2  6z 9 0 

+) Với t= -17 thì z2  6z 7  17  z2  6z 10 0 

Vậy các nghiệm cần tìm là: z1   3 3 2;z2   3 3 2;z3   3 ;i z4   3 i

c Xét phương trình z4 z3 2z2 2z  4 0 2 

- Với z=0 thì phương trình (2) có dạng 4=0 (vô lí)

-Với z 0, chia cả hai vế của (2) cho z2 ta được

 

          nên phương trình (3) trở thành t2  4    t 2 0 t2  t 2 0   t 1;t 2

-Với t=-1 ta có

z

-Với t=2 ta có 2 2

2

z

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là

z   z   z  i z   i

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau với x, y là số phức





 b 2 2 2 3

x y

x y xy x







3 3

3 1

9 1





 d  

2

2

5 2

5 2







Lời giải

a.Xét hệ phương trình  







Ta có

x





y

Vậy hệ phương trình có nghiệm

39 13

1 5

4 7

3 2

2 29

4 7

x

y

x

y







 



 

2 2

x y

x y xy x







Từ (1) ta có y=3-2x, thế vào phương trình (2) ta có:

Giải (3) ta được 2 3 1 6





Vậy hệ đã cho có nghiệm (x;y)=(2-3i;-1+6i);(2+3i;-1-6i)

c Ta có x3 y3 x y 3 3xy x y   nên hệ phương trình đã cho tương đương với

3

3 1

3 1

1

xy

i













Suy ra x, y là nghiệm của phương trình z2  3 1 i z  5i 0 2 

Giải phương trình (2)

Nghiệm của (2) là

2 2

1 2 2







 Vậy các nghiệm cần tìm là 2 i;1 2 , 1 2 ;2  i   i i

d Hệ phương trình    

2

2





Trừ vế cho vế các phương trình (1) và (2) ta được

Vậy hệ đã cho tương đương với

2

5 2

0

4 0

x y

x y x y

x y







- Nếu y=x thì từ (3) ta có x2  x 10 5  x x2  6x 10 0 

Giải ra ta được nghiệm x x  33 i i y y 33 i i



- Nếu y=-4-x thì từ (3) ta có

2 2 2 2 2 2



Vậy các nghiệm của hệ đã cho là

    3 ; 3i i ; 3 ; 3   i   i; 2  2 ; 2i   2 ; 2i   2 ; 2i   2i

Dạng 5: Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác:

Phương pháp:

+ Chuyển số phức từ dạng đại số z=a+bi( ,a b  ,a2 b2  0) sang dạng lượng giác

- Tính rz  a2 b2

- Tìm  thỏa mãn đồng thời cos a,sin b

Khi đó dạng lượng giác cần tìm của z là z r (cos  isin ) 

Ví du 1:Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

a z  (1 3 )(1 )i i b 1 cos sin

i z

i



Lời giải

a Ta có: 1 3 2(1 3 ) 2 cos( ) sin( )

Theo công thức nhân 2 số phức dưới dạng lượng giác suy ra:

z  i i     i   

b Ta có:

i

*) Nếu tan 0

2



 thì z  0 rz  0 và z 0 cos  isin  với  tùy ý

*) Nếu tan 0

2



 thì dạng lượng giác của số phức đó là:

*)Nếu tan 0

2



 thì dạng lượng giác của số phức đó là:

Dạng 6: Vận dụng dạng lượng giác để giải toán:

Dạng lượng giác được ứng dụng nhiều trong giải toán.Trong phần này

ta chỉ xét các ứng dụng trong bài toán tính toán(tìm phần thực, phần ảo, rút gọn…), tìm số phức,chứng minh hệ thức lượng giác đơn giản…

Ví dụ1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: (1  3 ) (1 )i 16 i 10

Lời giải

Ta có: 1 3 2 cos( ) sin( ) ,1 2 cos sin

Dođó:

z  i i     i       i 

20 20

i

Vậy phần thực của số phức đã cho là:  2 20 3, phần ảo là: 220

Ví dụ 2: Tìm các số nguyên dương n để số phức sau là số thực? số ảo?

z= (3 11 )

4 7

n

i i





Lời giải

Ta có 3 11 1 2(cos3 sin3 )

i

i



 nên z=(3 11 ) ( 2) (cos3 sin3 ) ( 2) (cos3 sin3 )

i





+ z là số thực khi sin3 0 3 ( ) 4 .



Vì n  *nên k  3m n 4 (m m  * )

+Tương tự z là số ảo khi

*

II MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN Ở

BẬC THPT

Trong Toán học, số phức được dùng để giải nhiều bài toán từ sơ cấp đến

cao cấp.Trong phạm vi sang kiến kinh nghiệm tôi chỉ đề cập đến một số ứng

dụng của số phức trong bài toán:

- Lượng giác và tổ hợp

- Giải hệ phương trình

- Hình học phẳng

1- Ứng dụng của số phức trong lượng giác và tổ hợp

Số phức có nhiều ứng dụng trong bài toán liên quan đến lượng giác, tổ

hợp Có khá nhiều bài toán khó khăn(thậm chí rất khó khăn) trong việc tìm tòi

lời giải, đặc biệt là lời giải một cách tự nhiên nhất lại được giải quyết một

cách đơn giản bằng ứng dụng của số phức.Muốn làm tốt các bài tập, cần chú

ý đến dạng lượng giác của số phức,công thức Moa-vrơ và khai triển nhị thức

Newtơn

Ví dụ 1: Cho a; b; c là các số thực thoả mãn sina sinb sinc 0 và

cosa cosb cosc 0.Chứng minh rằng:

sin 2a sin 2b sin 2c 0 và cos 2a cos 2b cos 2c 0

Lời giải

Đặt z1  cosa i sin ;a z2  cosb i sin ;b z3  cosc i sinc, ta có:

1 2 3 0

z z z  và | | |z1 z2 | | z3 | 1  , nên 1 k 1;2;3

k

z k

1 2 3 1 2 3 2 1 1 2 3 3 1

z z z  z z z  z z z z z z

 

2

1 2 3

1 2 3 1 2 3

z z z z z z

Nên cos 2a cos 2b cos 2c i sin 2a sin 2b sin 2c 0

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 2 Tính tổng với n 

 





với a  

Lời giải

Đặt z cosa i sina thì z n  cosna i sinna

Do đó ta có:

1

 0 1 2 2 3 3 n n 1 n

n

n n

n n

n n a n n n a n

Ví dụ 3: Tính tổng:

1 2011 2011 2011 2011 2011 2011

2 2011 2011 2011 2011 2011 2011

Lời giải

Xét khai triển nhị thức Newton:

2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011

Vì

k

i

i k m











m 

  nên ta có

2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011

Mặt khác, theo công thức Moa-vrơ ta có:

2011

Từ (1) và (2) ta suy ra: 1005 1005

1 2 , 2 2

2- Ứng dụng của số phức trong giải hệ phương trình Đại số

Qua phần ứng dụng của số phức trong các bài toán lượng giác và tổ hợp, chúng ta đã thấy sức mạnh của công cụ số phức Ở đây chúng ta sử dụng công cụ số phức để giải quyết các bài toán về giải hệ phương trình mà giải bằng phương pháp thông thường sẽ gặp những khó khăn

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình với nghiệm là số thực:

a.















3 3

1 3

2 3

2 3

y x y

xy x

b

















1 5

3 1

3 5

3 1

10

y x y

y x x

Lời giải

a Đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc ba Tuy nhiên,nếu giải bằng

phương pháp thông thường ta sẽ đi đến giải phương trình bậc ba:

3 2

3t  3t  3 3 1 0t 

Phương trình này không có nghiệm đặc biệt

Xét số phức z = x + iy Vì z3 x3  3xy2 i3x2y y3 nên từ hệ đã cho ta

có

3

2 sin 3

2 cos 2 3 1

i i

z      , ta tìm được 3 giá trị của z là:

Từ đó suy ra hệ đã cho có 3 nghiệm là:























9 14 sin 2 9 cos 2

; 9 8 sin 2 9 cos 2

;

9

2

sin

2

9

cos

2

3 3

3   y 

x y

x y

x

b.Từ hệ suy ra x >0, y >0

Đặt u 5x,v  y với u,v >0.Hệ đã cho trở thành:





























1 3

1

2 3 3

1

2 2

2 2

v u v

v u u

(I)

Đặt z=u+iv Ta có: 2 2

1

v u

vi u

z 



 Từ hệ (I) ta suy ra :

 * 0 6 ) 2 2 3 ( 2

2

2 2 3 3 2

3

2

3 3

1 3

1

2

2 2

2 2 2

2







































































z i z

i z

z i v

u

iv u iv u

i v

u

iv v u u

Giải phương trình (*), ta có  2

6 2 2

12 34

nghiệm là

2

2 2 ,

2

Vì u,v > 0 nên ,

2

2

10

1 1

, 2

2









u

Vậy nghiệm cần tìm là   











 ; 1 10

1

; y

x

3- Ứng dụng của số phức trong bài toán hình học phẳng

Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của số phức với toán sơ cấp

là giải toán hình học phẳng Số phức là công cụ mạnh trong việc khảo sát sâu sắc những vấn đề trong mặt phẳng Tuy nhiên, muốn giải bài toán hình học phẳng bằng số phức, chúng ta phải chuyển đổi các quan hệ trong mặt phẳng thành các điều kiện liên quan đến số phức, nên trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ đề cập một ứng dụng tiêu biểu đó là sử dụng số phức để chứng minh các bất đẳng thức của hình học phẳng

Những kiến thức cần chuẩn bị:

- Trong mặt phẳng phức, nếu các điểm A, B có tọa độ là a, b thì độ dài đoạn thẳng AB là AB = |a-b|

- Nếu O là gốc tọa độ thì OA = |a|, OB = |b|

- Một số đẳng thức đại số: Với mọi a,b,c thõa mãn điều kiện xác định của biểu thức, ta có: