ứng dụng đọa hàm trong giải toán đại số và giải tích

Ph ng pháp... Sách giáo khoa gi i tích 12 nâng cao.

S GIÁO D C VÀ ÀO T O LÀO CAI

Ng i vi t : Ph m H ng Lan

T : Toán - Tin

Tr ng: THPT s 2 TP Lào Cai

PH N M U

I Lí do ch n đ tài

-Nh ta đã bi t, chuyên đ v b t đ ng th c, ph ng trình, b t ph ng trình, h ph ng trình và h b t ph ng trình chi m m t l ng khá l n trong

ch ng trình ph thông ( i s , l ng giác, ….) Tuy nhiên trong s các bài

t p đó có m t l ng l n bài t p mà ta không th gi i đ c b ng ph ng pháp thông th ng ho c có th gi i đ c nh ng g p r t nhi u khó kh n và

ph c t p

- Ta đã bi t gi a PT, BPT, HPT, HBPT và hàm s có m i liên quan r t

ch t ch Khi đ nh ngh a PT, BPT, ta c ng d a trên khái ni m hàm s , n u ta

bi t s d ng hàm s đ gi i các bài t p đó thì bài toán s đ n gi n h n Tuy nhiên không ph i bài nào c ng có th s d ng hàm s đ gi i nh ng ng

d ng đ o hàm c a hàm s đ gi i là r t l n, chính vì v y tôi ch n đ tài sáng

ki n kinh nghi m là: "S d ng ph ng pháp hàm s trong gi i bài toán đ i

s "

II M c tiêu đ tài

- Trang b cho h c sinh thêm m t ph ng pháp h u hi u đ gi i các bài toán: Ch ng minh b t đ ng th c, gi i ph ng trình, b t ph ng trình,

h ph ng trình, h b t ph ng trình

- Cung c p thêm ph ng pháp cho h c sinh và giáo viên trong d y và

h c toán

III Gi thuy t khoa h c Nêu h th ng hoá các ki n th c liên quan cùng

v i vi c đ a ra ph ng pháp cùng ví d minh h a c th thì s giúp h c sinh

đ i s

IV Bi n pháp th c hi n

- Nghiên c u các tài liê , các sách tham kh o, đ thi đ i h c, cao đ ng, các đ d b đ i h c, đ thi th đ i h c c a các tr ng…

- Gi i thi u kho ng 6 ti t cho h c sinh l p 12 và h c sinh ôn thi đ i h c

V N i dung

I Ki n th c c b n

II Ph ng pháp hàm s bi n lu n ph ng trình, b t ph ng trình

III Các bài toán minh h a ph ng pháp hàm s

IV Bài t p t luy n

N I DUNG

I KI N TH C C B N

1 y = f (x) đ ng bi n / (a, b) ⇔ ∀ <x1 x2∈( )a b, ta có f x( )1 < f x( )2

2 y = f (x) ngh ch bi n / (a, b) ⇔ ∀ <x1 x2∈( )a b, ta có f x( )1 > f x( )2

3 y = f (x) đ ng bi n / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≥ 0 ∀x∈(a, b) đ ng th i ƒ′(x) = 0 t i

m t s h u h n đi m ∈ (a, b)

4 y = f (x) ngh ch bi n / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≤ 0 ∀x∈(a, b) đ ng th i ƒ′(x) = 0 t i

m t s h u h n đi m ∈ (a, b)

5 C c tr hàm s : Hàm s đ t c c tr t i đi m ( )

k

x=x ⇔ f′ x đ i d u t i đi m

b

j j j

x − ε x x + ε

i i i

x − ε x x + ε

k

x

6 Giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s

• Gi s y = ƒ(x) liên t c trên [a, b] đ ng th i đ t c c tr t i x1, ,x n∈(a b, )

,

x a b f x f x f x f a f

,

x a b f x f x f x f a f

• N u y = f (x) đ ng bi n / [a, b] thì [ ] ( ) ( )

x a b x a b

)

f x f a f x f b

• N u y = f (x) ngh ch bi n / [a, b] thì [ ] ( ) ( )

x a b x a b

)

f x f b f x f a

[ ]a b;

• Hàm b c nh t f x( ) = α + βx trên đo n đ t giá tr l n nh t, giá tr nh

nh t t i các đ u mút a; b

II PH NG PHÁP HÀM S BI N LU N PH NG TRÌNH,

1 Nghi m c a ph ng trình u(x) = v(x) là hoành đ giao đi m c a đ th

( )

y=u x v i đ th y=v x( )

2 Nghi m c a b t ph ng trình u(x) ≥ v(x) là

α β b x

a

v(x)

u(x)

ph n hoành đ t ng ng v i ph n

đ th y=u x( ) n m phía trên

so v i ph n đ th y=v x( )

3 Nghi m c a b t ph ng trình u(x) ≤ v(x) là

ph n hoành đ t ng ng v i ph n đ th

( )

y=u x n m phía d i so v i ph n đ th y=v x( )

4 Nghi m c a ph ng trình u(x) = m là hoành đ

giao đi m c a đ ng th ng y = m v i đ th y=u x( )

5 BPT u(x) ≥ m đúng ∀x∈I ⇔ ( )

I

Min

x u x m

y =

6 BPT u(x) ≤ m đúng ∀x∈I ⇔ ( )

I

Max

x u x m

7 BPT u(x) ≥ m có nghi m x∈I ⇔ ( )

I

Max

x u x m

8 BPT u(x) ≤ m có nghi m x∈I ⇔ ( )

I

Min

x u x m

III CÁC BÀI TOÁN MINH H A PH NG PHÁP HÀM S

Bài 1 Cho hàm s f x( ) =mx2 + 2mx− 3

a Tìm m đ ph ng trình ƒ(x) = 0 có nghi m x∈[1; 2]

b Tìm m đ b t ph ng trình ƒ(x) ≤ 0 nghi m đúng ∀x∈[1; 4]

c Tìm m đ b t ph ng trình ƒ(x) ≥ 0 có nghi m x∈[− 1; 3]

Gi i: a Bi n đ i ph ng trình ƒ(x) = 0 ta có:

( )

x x x

8 m

⇔ ≤ ≤

ƒ(x) = 0 có nghi m x∈[1; 2] thì [ ] ( )

x g x m x g x

( 2 2 )

m x x

b Ta có ∀x∈[1; 4] thì ( ) 2

f x =mx + mx− ≤ 0 ⇔ + ≤ 3⇔

( ) 2 3 , [ ]1; 4

2

x x

1;4

M in

x g x m

∈

( )

( ) 2

3

g x

x

=

1;4

1

8

Do gi m trên [1; 4] nên ycbt ⇔

( 2 2 ) 3

m x + x ≥

c Ta có v i x∈ [− 1; 3] thì f x( )=mx2 + 2mx− ≥ 3 0 ⇔

( ) 2 3 , [ 1;

2

x x

+

t − 3] Xét các kh n ng sau đây:

+ N u x= 0 thì b t ph ng trình tr thành m.0 = ≥ 0 3 nên vô nghi m

+ N u x∈(0; 3] thì BPT ⇔ g x( )≤m có nghi m x∈(0; 3]

0;3

x Min g x m

∈

( )

( ) 2

3

g x

x

=

0;3

1 3 5

x Min g x g m

∈

Do gi m /(0; 3] nên ycbt

+ N u x∈ −[ 1; 0) thì 2 nên BPT

2

x + x< 0 ⇔ g x( )≥m có nghi m x∈ −[ 1; 0) ( ) ( )

( 2 )2 [ ]

2

x

x x

+ [ ) ( )

1;0

Max g x m

−

⇔ ≥ Ta có −

ngh ch bi n nên ta có

Do đó g x( )

Max g x g m

( ; 3] 1; )

5

⇔ ∈ −∞ − U⎢⎣ +∞

3

1

x mx

x

−

− + − <

Bài 2 Tìm m đ b t ph ng trình: nghi m đúng ∀x ≥ 1

( )

x

( )

4 2 2

−

⎛ ⎞

⎝ ⎠

Ta có 0 suy ra f x( ) t ng

1

2

3

x

≥

Bài 3 Tìm m đ b t ph ng trình m.4x + (m− 1 2 ) x+2 + − >m 1 0 đúng ∀ ∈ ¡x

Gi i: t t= 2x > 0 thì m.4x + (m− 1 2 ) x+2 + − >m 1 0 đúng ∀ ∈ ¡x

⇔ + − + − > ∀ > ⇔ + + > + ∀ >

( )

2

4 1

t t

+

( )

2 2 2

4 1

t t

g t

t t

+ +

Ta có nên g t( ) ngh ch bi n

trên [0; +∞) suy ra ycbt ⇔ ( ) ( )

t

Max g t g m

x x + x+ =m − +x −x

x x x

Chú ý: N u tính f′ ( )x r i xét d u thì thao tác r t ph c t p, d nh m l n

g x x x x g x x

x

′

+

−

′

( )1 0

h x >

và t ng; > 0 và gi m hay và t ng Suy ra: g x( ) > 0 h x( )

( ) ( )

( )

g x

f x

h x

= t ng Suy ra f x( )=m có nghi m

⇒

0;4 0;4

3 2

x + x − ≤m x − x− )

1

x x

Gi i: i u ki n x≥ 1 Nhân c hai v BPT v i + − > 0 ta nh n đ c

3 2

f x = x + x − x+ x− ≤

b t ph ng trình m

3 2

g x =x + x − h x = x+ x−

t

g x x x x h x x x

x x

−

Do g x( )>0 và t ng ∀ ≥x 1; h x( ) 0 > và t ng nên f x( )=g x h x( ) ( ). t ng ∀ ≥x 1

Khi đó b t ph ng trình f x( )≤m có nghi m ( ) ( )

1

≥

Bài 6 Tìm m đ ( )( ) 2 ∀ ∈ −x [ 4, 6]

4 +x 6 −x ≤x − 2x+m nghi m đúng

⇔ = − + + + − ≤ m đúng

( )

( )( ) ( ) ( )( )

L p b ng bi n thiên suy ra Max

Max f x f m

( )( ) ( 4 ) (6 )

2

t= +x −x ≤ + + − =

4

x

= − + +

Ta có t2 x2 Khi đó b t ph ng trình tr thành

[ ] ( ) [ ]

t≤ − + +t m ∀ ∈t ⇔ f t =t + −t ≤m∀ ∈t Ta có:

( ) ; [ ]0; 5

f t ≤m ∀ ∈t ⇔

( ) 2 1 0

f′ t = t+ > ⇒ f t( ) t ng nên

0;5

max f t = f 5 = ≤ 6 m

3 + +x 6 − −x 18 + 3x−x ≤m − + 1m đúng∀ ∈x [− 3, 6]

Gi i:

⇒ = + + − = + + −x

⇒ 9 ≤t2 = + 9 2 ( 3 +x)( 6 −x) ≤ + 9 ( 3 +x) ( + 6 −x) = 18

( )( ) ( )

2

3;3 2

9

⎡ ⎤

⎣ ⎦

′

Xét

ycbt ( ) 2 2

3;3 2

⎡ ⎤

⎣ ⎦

Bài 8 ( TS H kh i A, 2007)

3 x− 1 +m x+ = 1 2 x − 1 có nghi m th c

Gi i: K: x≥ 1, bi n đ i ph ng trình

4

( )

g t′ + 0 –

( )

g t

0 1 3 – 1

[ )

4 1 41 2 0

x

u

−

t ,1

Khi đó g t( ) = − 3t2 + 2t = m

( ) 6 2 0 1

3

3

m

⇔ − < ≤

Ta có Do đó yêu c u

Bài 9 ( TS H kh i B, 2007): Ch ng minh r ng: V i m i m> 0, ph ng trình 2 ( )

x + x− = m x− luôn có đúng hai nghi m phân bi t

x 2 +∞

( )

( )

g x

Gi i: i u ki n: x≥ 2

Bi n đ i ph ng trình ta có:

(x 2)(x 6) m x( )

2

( ) ( 2 ) 2 ( )

ycbt ⇔g x( )=m có đúng m t nghi m thu c kho ng (2; +∞) Th t v y ta có:

( ) 3 ( 4) 0,

g x′ = x x+ > ∀ > 2x Do đó g x( ) đ ng bi n mà g x( ) liên t c và

( )2 0; lim ( )

x

→+∞

= = +∞ nên g x( )=m có đúng m t nghi m ∈(2; +∞)

V y ∀ >m 0, ph ng trình 2 ( )

x + x− = m x− có hai nghi m phân bi t

bi t: 42x+ 2x+ 2 64 − +x 2 6− = m x

Gi i: t f x( ) = 4 2x + 2x + 2 6 4 − +x 2 6 −x ; x∈[ ]0; 6

Ta có: ( )

−

−

6

t ( )

, x

−

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

, 6

( )

u x v x x

u v

u x v x x

⎪

⎩

( )

( ) 0, 0, 2 ( ) 0, 2, 6 (2) 0

f x x

f x x f

′

⎧ > ∀ ∈

⎪

′

⇒ ⎨ < ∀ ∈

⎪ ′ =

⎩

( )

f′ x + 0 –

4 12 + 2 3

4

2 6 + 2 6

Nhìn BBT ta có PT có 2 nghi m phân bi t ⇔ 2 6 + 2 6 4 ≤ <m 3 2 + 6

Bài 11 ( TS H kh i D, 2007):

Tìm m đ h ph ng trình có nghi m

x y

x y

⎧ + + + =

⎪⎪

⎨

⎪

⎪⎩

Gi i: t u x 1;v y 1

= + = + ta có ( )3 ( )

3 3

và u x 1 x 1 2 x.1 2 ; v y 1 2 y. 1

Khi đó h tr thành 3 35 ( ) 5

8

uv m

u v u v m

+ =

⎩

1 2 1 2

L p B ng bi n thiên c a hàm s f t( ) v i t ≥2

t −∞ – 2 2 5/2 + ∞

( )

( )

f t +∞

22

2 7/4

+ ∞

Nhìn b ng bi n thiên ta có h có nghi m 7 2 m 22

4 m

Bài 12 ( 1I.2 B đ TS H 1987-2001):

Tìm x đ b t ph ng trình 2 ( )

2 sin cos 1 0

x + x y+ y + ≥ đúng v i ∀ ∈ ¡y

Gi i: t u=siny+cosy∈ −⎡⎣ 2, 2 ⎤⎦,

2 , 2

u

⎡ ⎤

∈ − ⎣ ⎦

Do đ th y=g u( ) là m t đo n th ng v i u∈ −⎡⎣ 2, 2 ⎤⎦ nên

( )

2 , 2

u

g u

⎡ ⎤

( )

2 2

g

⎩

Bài 13 Cho , , 0 Ch ng minh r ng: a b c

3

a b c

a b c

≥

⎧

⎨ + + =

⎩

2 2 2

4

abc

a b+c − bc+abc≥ ⇔a + −a + a− bc≥ 4

0

( ) ( ) 2

f u a u a a

⇔ = − + − + ≥ trong đó 0 ( )2 1 (3 ) 2

b c

Nh th đ th y= f u( ) là m t đo n th ng v i 0;1 (3 ) 2

4

u∈⎡ −a ⎤

⎣ ⎦ Ta có

( )0 2 2 6 5 2( )3 2 1 0; (1 (3 ) 2) 1 ( 1) ( 2 2)

f = a − a+ = a− + ≥ f −a = a− a+ ≥ 0

nên suy ra f u( )≥0; 0;1 (3 ) 2

4

u ⎡ a ⎤

V y 2 2 2 ng th c x y ra

4

a +b +c +abc≥ ⇔ = = =a b c 1

Bài 14 (IMO 25 – Ti p Kh c 1984):

Cho Ch ng minh r ng:

1

a b c

⎨ + + =

⎩

7 2

27

ab+bc+ca− abc≤

Gi i: a b( +c) (+ −1 2a bc) =a(1−a) (+ −1 2a bc) =a(1−a) (+ −1 2a u) = f u( )

th y= f u( ) (= −1 2a u) +a(1− a) v i ( )2 ( ) 2

1 0

a

b c

u bc + −

≤ = ≤ = là m t đo n th ng

v i 2 giá tr đ u mút ( ) ( ) (1 ) 2 1 7

a a

f =a − ≤a ⎡ + − ⎤ = <

( )

f −a = − a +a + = − a+ a− ≤

27

Do đ th y= f u( ) là m t đo n th ng v i 0;1 (1 ) 2

4

u∈⎡ −a ⎤

⎣ ⎦ và ( )0 7

27

f < ;

( )

f −a ≤

7 nên ( ) 7

27

f u ≤ ng th c x y ra 1

3

⇔ = = =

Bài 15 Ch ng minh r ng: 2(a+b+c) (− ab+bc+ca)≤ ∀4, a b c, , ∈[ ]0, 2

Gi i: Bi n đ i b t đ ng th c v hàm b c nh t bi n s a, tham s b, c ta có

( ) ( 2 ) 2 ( ) 4, , , [ ]0, 2

f a = − −b c a+ b+c −bc≤ ∀a b c∈

th y= f a( )là m t đo n th ng v i a∈[ ]0, 2 nên f a( ) ≤ Max{f( ) 0 ;f( ) 2}

Ta có f( ) 0 = − 4 ( 2 −b)( 2 − ≤c) 4; f( ) 2 = − 4 bc≤ ⇒ 4 f a( ) ≤ ∀ 4, a b c, , ∈[ ]0, 2

Bài 16 CMR: ( 1 −a)( 1 −b)( 1 −c)( 1 −d) + + + + ≥ ∀a b c d 1, a b c d, , , ∈ 1[ ]0,

Gi i: Bi u di n b t đ ng th c v hàm b c nh t bi n s a, tham s b, c, d, ta có:

( ) [1 ( 1 )( 1 )( 1 )] ( 1 )( 1 )( 1 ) 1, , , , [ ]0,1

f a = − −b −c −d a+ −b −c −d + + + ≥ ∀b c d a b c d∈

th y= f a( ) , ∀ ∈a [0, 1] là m t đo n th ng nên [ ] ( ) { ( ) ( )}

0,1

Ta có f( ) 1 = + + + ≥ ∀b c d 1 1, b c d, , ∈ 0,1[ ]

( ) (0 1 )(1 )(1 ) ( ) [1 (1 )(1 )] (1 )(1 )

f = −b −c −d + + + ⇔b c d g b = − −c −d b+ −c −d + + d c

th y=g b( ) , ∀ ∈b [0, 1] là m t đo n th ng nên [ ] ( ) { ( ) ( )}

0,1

b g b Min g g

Ta có g( )1 = + + ≥c d 1 1;g( ) (0 = −1 c)(1−d)+ + = +c d 1 cd≥1

]

0,1

⇒ f ( ) 0 =g b( ) ≥ ∀ ∈ 1, b [ V y f a( )≥1 hay ta có (đpcm)

gi i các bài toán d ng trên có bài ta gi i đ c b ng nhi u ph ng pháp khác nhau , c ng có bài ch có th gi i đ c b ng ph ng pháp s d ng tính đ n

đi u c a hàm s S d ng tính đ n đi u c a hàm s đ gi i toán là m t ph ng pháp hay s d ng ph ng pháp này,đi u c t y u là chúng ta c n xây d ng

m t hàm s thích h p ,r i nghiên c u tính đ ng bi n ,ngh ch bi n c a nó trên

đo n thích h p.Các hàm s y trong nhi u tr ng h p có th nh n tra ngay t

IV BÀI T P T LUY N:

Bài 1: Gi i các ph ng trình và b t ph ng trình sau:

a = x log5( x 3 )

b 2log3(tgx) = log2(sinx)

c

x

1 2

1 2

2

x x 1 x

x

1

−

=

− −

=

d 2x = 2

x

3 + 1

e 3x2 =cosx

Bài 2: Tìm m đ b t ph ng trình sau có nghi m x−1+ x+1≤m2 +1

Bài 3: Tìm m đ ph ng trình sau có nghi m

x sin x

cos

x

3 m 3

Bài 4: Tìm m đ b t ph ng trình sau nghi m đúng v i m i x ∈R:

(m−1)4cos2x +2.2cos2x +m+1>0

3 x

1 x ) 3 x ( 4 ) 1 x )(

3 x

−

+

− + +

−

a Gi i ph ng trình v i m = 3

b Tìm m đ ph ng trình có nghi m

c Tìm m đ ph ng trình có nghi m x ∈ ;[4 +∞)

d Tìm m đ ph ng trình có nghi m x ∈[4;5]

Bài 6: Cho b t ph ng trình: m.9 x x (2m 1).6 x m.4 x2 x 0

2 2

≥ +

+

Tìm m đ b t ph ng trình nghi m đúng v i m i x tho mãn

2

1

x ≥

Bài 7: Cho ph ng trình: log ( x 8 ) m 3

) 2 x (

2 )

2 x

a Gi i PT khi m = 2

b Tìm m đ ph ng trình có 2 nghi m tho mãn: x x 4

2

5

2

1 ≤ ≤

≤

K T LU N

Xu t phát t m c đích, nhi m v c a đ tài, b n đ tài SKKN đã đ c p đ n

nh ng v n đ chính sau :

- Cung c p các ki n th c c b n liên quan đ n ph ng pháp

- a ra các ví d minh h a t ng ng

- Bài t p áp d ng

Sau khi đ c rèn luy n h th ng ki n th c trên,các em h c sinh đã m nh

d n h n ,linh ho t h n trong vi c dùng s d ng ph ng pháp hàm s đ gi i toán Cái hay c a cách gi i này là s d ng linh ho t tính đ n đi u c a hàm s đ

ch ng minh b t đ ng th c ,gi i ph ng trình, gi i b t ph ng trình, gi i h

ph ng trình

- Tránh đ c vi c bi n lu n theo tham s m t s bài toán h t s c ph c t p

- Tránh ph i xét nhi u tr ng h p m t s bài toán

- Tránh vi c bình ph ng hai v d d n đ n sai sót ,th a nghi m và tránh vi c

gi i ph ng trình b c cao

Trên đây là m t s ng d ng mà theo tôi là hay g p trong khi gi i ph ng trình và b t ph ng trình R t mong các th y cô và các đ ng chí góp ý đ bài

vi t đ c hoàn thi n h n

Ph m H ng Lan

TÀI LI U THAM KH O

1 Sách giáo khoa gi i tích 12 c b n

2 Sách bài t p gi i tích 12 c b n

3 Sách giáo khoa gi i tích 12 nâng cao

4 Sách bài t p gi i tích 12 nâng cao

5 Báo Toán h c và tu i tr

6 thi i h c t n m 2002-2010

7 d b i h c t n m 2002-2009