- Thí sinh làm bài cách khác với Hớng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm tơng ứng với biểu điểm của Hớng dẫn chấm - Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần làm tròn đến 0,[r]
Trang 1phòng giáo dục và đào tạo cẩm khê
kỳ thi chọn học sinh giỏi các môn văn hoá lớp 9 cấp huyện
năm học 2012 - 2013
đề thi môn toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Cõu 1: (4 điểm)
a Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ An = n(n+1)(n+2)(n+3)+ 1 là số chớnh phương
b Tỡm cỏc số nguyờn x để x3 - 2x2 +9x - 9 chia hết cho x2 + 5
Cõu 2: (4 điểm)
a Tớnh giỏ trị của biểu thức A =
x x
1
x
x x
b Cho ba số thực dương a, b, c thoả món:
2
Chứng minh rằng:
2 2 2 3
2
a b c
Cõu 3: ( 3 điểm)
Giải phương trỡnh: 2x25x12 2x23x2 x 5
Cõu 4: (7 điểm)
Từ điểm P nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là cỏc tiếp điểm Gọi H là chõn đường vuụng gúc hạ từ A đến đường kớnh BC của đường trũn
a Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH
b Tớnh AH theo R và PO = d
c Đường thẳng a đi qua P sao cho khoảng cỏch từ O đến đường thẳng a bằng R 2, đường thẳng vuụng gúc với PO tại O cắt tia PB tại M Xỏc định vị trớ của điểm P trờn đường thẳng a để diện tớch POM đạt giỏ trị nhỏ nhất
Cõu 5: (2 điểm)
Cho ba số dương a, b, c thoả món abc = 1 Chứng minh rằng:
2
-Hết-Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
Chỳ ý: Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
phòng giáo dục và đào tạo HUYỆN cẩm khê
Đề chính thức
Trang 2kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2012 - 2013
hớng dẫn chấm môn toán (Đề chính thức, ngày thi 26 tháng 12 năm 2012)
I Một số chú ý khi chấm:
- Hớng dẫn chấm dới đây chỉ dựa vào lời giải sơ lợc của một cách, khi chấm giám khảo cần bám sát yêu cầu của đề bài, lời giải chi tiết của học sinh đảm bảo lôgic đúng kiến thức bộ môn
- Thí sinh làm bài cách khác với Hớng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm
t-ơng ứng với biểu điểm của Hớng dẫn chấm
- Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần làm tròn đến 0, 25 điểm
II Đáp án và biểu điểm:
Cõu 1: (4 điểm)
a Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ An = n(n+1)(n+2)(n+3)+ 1 là số chớnh phương
b Tỡm cỏc số nguyờn x để x3 - 2x2 +9x - 9 chia hết cho x2 + 5
a Ta cú:
(
( 1)( 2)( 3) 1 ( 3 )(
3 ) 2( 3 ) 1 ( 3 1)
Vậy An là số chớnh phương với n N
1 1
b Đặt A = x3 - 2x2 +9x - 9 = x(x2 +5) - 2(x2 + 5) + 4x + 1
Do đú: A (x2 +5) (4x + 1) (x2 + 5) (1)
Vỡ 4x -1 và 4x 1, nờn từ (1) suy ra (4x + 1)(4x - 1) (x2 + 5)
(16x2 - 1) (x2 + 5) 16(x2 + 5) - 81 (x2 + 5) 81 (x2 +5)
Vỡ x2 + 5 5 nờn chỉ xảy ra một trong hai trường hợp sau:
x2 + 5 = 81 x2 = 76 (khụng cú giỏ trị x nguyờn nào thoả món)
x2 + 5 = 27 x2 = 22 (khụng cú giỏ trị x nguyờn nào thoả món)
x2 + 5 = 9 x2 = 4 x = 2 (t/m) hoặc x = -2 (khụng thoả món (1)
Vậy với x = 2 thoả món điều kiện bài toỏn
0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25
Cõu 2: (4 điểm)
a Tớnh giỏ trị của biểu thức A =
x x
1
x
x x
b Cho ba số thực dương a, b, c thoả món:
2
Chứng minh rằng:
2 2 2 3
2
a b c
a Ta cú
2
1
x
Do đú:
Từ đú ta cú:
0.5
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
Trang 35 3
Vậy A =
0.25
b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:
Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi:
2
3
2 1
1
đpcm
1
1
Câu 3: ( 3 điểm)
Giải phương trình: 2x25x12 2x23x2 x 5.(1)
Đặt u 2x25x12,v 2x23x2 (u0,v0)
Từ (1) 2(u v ) (u2 v2) (u v u v )( 2) 0 (2)
Vì u0,v0, từ (2) suy ra: u v 2 0 Vì vậy 2x25x12 2x23x 2 2(3)
Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình 2 2x23x2 x 3
2
3
1 1, 1
7 1,
7
x
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x=
1 7
0.25 0.5 0.25 0.5 0.25
1
0.25
Câu 4: (7 điểm)
Từ điểm P nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là các tiếp điểm Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC của đường tròn
a Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH
b Tính AH theo R và PO = d
c Đường thẳng a đi qua P sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng a bằng R 2, đường thẳng vuông góc với PO tại O cắt tia PB tại M Xác định vị trí của điểm P trên đường thẳng a để diện tích POM đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 4
j
a
K
M
P
B
A
C H O
a Vì AH//PB , áp dụng định lý Talét vào CPB ta có:
2
PB CB PB OB (1)
Ta có: ABC BPO (góc có cạnh tơng ứng vuông góc) ; HAC BPO (góc có cạnh
t-ơng ứng song song) BPOHAC ACH POB (g,g)
AH CH
PB OB
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: AH = 2NH hay AN = NH
0.75 0.75 0.5
b Trong ABC vuông ở A có đờng cao AH áp dụng hệ thức lợng trong tam giác
vuông ta có: AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH (3)
Từ (1) ta có
2NH OB
CH
PB
vào (3) , kết hợp với AH = 2NH ta đợc:
AH2 =
4PB2.AH2 = (4R.PB - AH.CB).AH.2R = 8R2.PB.AH - 4R2.AH2
PB2.AH = 2R2.PB - R2.AH
AH(PB2 + R2) = 2R2.PB
Thay PB2 = d2 - R2 vào hằng đẳng thức trên ta đợc: AH =
2
2 2 2
2R
d -R d
0.5
0.5 0.5 0.25 0.25 0.5
c Ta có: SMOP =
1
2MP.OB =
1
2( PB + BM ) OA =
1
2 ( PB + MB ) R (1)
áp dụng bất đẳng thức Cô si có:
1
2 (PB + MB) PB.BM (2) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi PB = BM
MOP vuông tại O, có : PB.MB = OB2 = R2 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra SMOP R2
MOP có diện tích nhỏ nhất bằng R2 khi và chỉ khi PB = BM = R
PBO vuông cân tại B OP = R 2.
0.5 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
Trang 5Vậy MOP có diện tích nhỏ nhất khi OP = R 2 Khi đó P là chân đờng vuông góc
hạ từ O đến đờng thẳng a
Cõu 5: (2 điểm)
Cho ba số dương a, b, c thoả món abc = 1 Chứng minh rằng:
2
Vỡ vai trũ của a, b, c là như nhau, giả sử a b c Do abc = 1 nờn bc 1 và a 1
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta cú:
(Vỡ bc 1; a 1)
bc bc a
2 1
a a
Mặt khỏc, ta cú:
2
1 1
a a
- Chứng minh:
2
a
a a (3) Thật vậy, ta cú (3) 1 3a 2 2 (a a1) 0 ( 2a 1a)2 0 (luụn đỳng vớia)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2 2 2
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
0.25
0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25