Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị Cm có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác nhận gốc tọa độ là trọng tâm.. Giải phương trình.[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 2
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 12
NĂM HỌC 2016-2017 Môn: Toán, thời gian: 180 phút ( không kể thời gian phát đề )
Câu 1 ( 4 điểm ) Cho hàm số = − 2 + 2 − 1 có đồ thị là (Cm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m=1
2 Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác nhận gốc tọa độ là trọng tâm
Câu 2 ( 4 điểm )
1 Giải phương trình 3 + = 1 + √2 sin − 2
2 Giải hệ phương trình
√8 + + 2√ = 4 + √
√8 + + 2√ = 4 + √ Câu 3 ( 4 điểm )
1 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 9
4
x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S x x 2 1 y y y 2 1 z z z 2 1x
2 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m x 4 x 1 4 x 1 x 3 m Câu 4 ( 6 điểm )
1 Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA SB SC , , đôi một vuông góc với nhau
a Cho SB = SC = a, góc giữa hai mặt (ABC) và (SBC) là 450 Tính thể tích khối tứ diện SABC và khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABC) theo a
b Gọi R và r theo thứ tự là bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp tứ diện
SABC Chứng minh rằng: 2 R 3 1 3r
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho tam giác nhọn ABC Đường trung tuyến
kẻ từ A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình: 3x + 5y – 8 = 0; x – y – 4 =
0 Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai D(4;-2) Viết phương trình đường thẳng AB biết điểm B có tung
độ âm
Câu 5 (2 điểm )
Một hộp đựng mười chiếc thẻ giống nhau được đánh số từ 1 đến 10 Hỏi cần lấy
ra ít nhất bao nhiêu chiếc thẻ để xác suất có ít nhất một chiếc thẻ ghi số chia hết cho 5 phải lớn hơn 0,9
======= Hết =======
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2Đáp án
Hàm số có 3 điểm cực trị khi m > 0
Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: A(0; 2 − 1),
B(√ ; − 1), C(−√ ; − 1)
Tọa độ trọng tâm là gốc tọa độ ↔ 4 − 3 = 0 ↔ =
±√3/2
Kết hợp với điều kiện ta được = √3/2 là giá trị cần tìm
0,5 0,5
0,5 0,5
Từ đó giải được các nghiệm là: = + , = ± + 2 ,
= 2
0,5
0,5 1,0
2 Trừ vế với vế ta được: √8 + + 3√ = √8 + + 3√
(3)
Xét hàm số: ( ) = √8 + + 3√ , ≥ 0
Ta có hàm f(t) đồng biến trên miền ≥ 0 nên pt (3) ↔ =
Thay vào (1) ta được: √8 + + √ − 3 = 0
Dễ chứng minh được phương trình có nghiệm duy nhất x =
1,
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = 1, y = 0
0,5
1,0 0,5
3 1 Ta có ln S y lnx x 2 1 z ln y y 2 1 x ln z z 2 1
Xét hàm số f t lnt t 2 1 , t 0 1 Ta có
1
t
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị C của hàm số 1
tại điểm 3;ln 2
4
có phương trình là 4 ln 2 3
y t d Lại có
t
, nên đồ thị C lồi trên khoảng 0; Do đó tiếp tuyến (d) của đồ thị C nằm phía
trên đồ thị C Suy ra
t t t t
Áp dụng bất đẳng thức này cho số dương x ta được :
0,5
Trang 3 2 4 3 2 4 3
x x x y x x xy y
Tương tự có
z y y yz z
ln 2 1 4 ln 2 3
x z z zx x
Cộng theo vế ba BĐT trên, ta được
x y z
x y z
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3
4
x y z Vậy giá trị lớn nhất của S là 4 24
0,5
0,5
0,5
2 Bất phương trình m ( x 4 x 1 1) x 4 x 1 3 (1)
Đặt t x 4 x 1, t 1/ 2
Khi đó (1) trở thành: 2 3
1
t m t
Xét hàm số ( ) 2 3, 1/ 2
1
t
t
, fmin = f(1) =2 Suy ra bất phương trình có nghiệm khi m 2
0,5 0,5
0,5 0,5
a Gọi M là trung điểm của BC, suy ra góc = 45
Suy ra AS = SM = /√2
Từ đó tính được thể tích
= √ (đvtt)
Khoảng cách từ S tới
(ABC)
0,5 0,5
0,5 0,5
1
b Đặt SA a SB b SC c a , , 0,b0,c0
Gọi I J , lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp tứ diện
SABC
,
M N lần lượt là trung điểm của BC SA ,
Khi đó
R IS SN SM SA SB SC a b c 0,5
a
b
c
B
A
N
I
M
Trang 4Mặt khác với tứ diện vuông SABC ta có:
Thể tích tứ diện SABC là 1
6
SABC
V abc Diện tích toàn phần của tứ diện SABC là
1
2
tp
S ab bc ca a b b c c a
Lại có
2 2 2 2 2 2
1 . 3 3
SABC JABC JSAB JSBC JSCA
SABC
tp
r
S ab bc ca a b b c c a
Vậy nên
2
a b c ab bc ca a b b c c a
R
a b c ab c ca a b b c c a
abc
3 1 3 (theo BĐT Cauchy)
Vậy ta có điều phải chứng minh
0,5
0,5
0,5
2
+ Gọi M là trung điểm của
BC => tọa độ của điểm M(
)
2
1
;
2
7
+ Kẻ đường kính AA’ Gọi H
là trực tâm của tam giác
ABC ta có tứ giác BHCA’ là
hình bình hành
+Viết phương trình đường
thẳng AD suy ra tọa độ
điểm A(1;1)
Chứng minh H đối xứng
với D qua BC suy ra tọa độ
điểm H và A’
+ Viết phương trình đường
tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
0,5
0,5
0,5
Trang 5suy ra tọa độ điểm B(2;-2)
suy ra phương trình đường
thẳng AB: 3x +y – 4 = 0
0,5
5 Nhận thấy trong 10 thẻ đã cho có hai thẻ ghi số chia hết cho 5
(các thẻ ghi số 5 hoặc số 10) ; 8 thẻ còn lại ghi số không chia hết cho 5
Giả sử rút ra x thẻ 1 x 10,x ; số cách chọn x từ 10 thẻ trong hộp là C10x ; số phần tử của không gian mẫu là
x
n C
Gọi A là biến cố: ‘Trong số x thẻ lấy ra, có ít nhất một thẻ ghi
số chia hết cho 5’’ Thế thì biến cố đối của A là A : ‘Trong số x thẻ lấy ra, không có thẻ nào ghi số chia hết cho 5’’
Số cách chọn tương ứng với biến cố A là 8
x
n A C
Ta có 8
10
10 9 90
x x
P A
hay x 2 19 x 81 0 6, 4 x 12,5
Suy ra 7 x 10 Giá trị nhỏ nhất của x là 7 Vậy số thẻ phải rút ra ít nhất mà ta phải tìm là 7
0,5
0,5
0,5
0,5