DE THI VA DAP AN HSG TOAN 7 CAP HUYEN HOAI NHON NAMHOC 20122013

Ghi chú: Thí sinh không được phép sử dụng các loại máy tính cầm tay.... HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 KỲ THI HSG CẤP HUYỆN..[r]

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

Đề chính thức

Bài 1 (4 điểm):

a) So sánh hai số: (– 5)39 và (– 2)91

b) Chứng minh rằng: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n N

Bài 2 (4 điểm):

a) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn:  2 x y   7 2012 x  32013  0

b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1 2 3 n      aaa

Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh Nếu đưa

1

3 số học sinh của lớp 7A1,

1

4 số học sinh của lớp 7A2 và

1

5 số học sinh của lớp 7A3 đi thi học sinh giỏi cấp huyện thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K.

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có A ˆ  3 B ˆ  6 C ˆ .

a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.

b) Kẻ AD vuông góc với BC (D thuộc BC) Chứng minh: AD < BD < CD.

Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia

đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.

a) Chứng minh rằng: BM = CN

b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K Chứng minh rằng: KC  AC.

Ghi chú: Thí sinh không được phép sử dụng các loại máy tính cầm tay.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013

Môn: TOÁN 7 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7

KỲ THI HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013

1

4 điểm

a) So sánh hai số: (– 5) 39 và (– 2) 91 2,0đ

Ta có: (– 5)39 = – 539 = – (53)13 = – 12513 0,75đ (– 2)91 = – 291 = – (27)13 = – 12813 0,75đ

Ta thấy: 12513 < 12813  – 12513 > – 12813  (– 5)39 > (– 2)91 0,5đ

b) Chứng minh: Số A = 11 n+2 + 12 2n+1 chia hết cho 133, với mọi n N 2,0đ

Ta có: A = 11n+2 + 122n+1 = 112.11n + 12.(122)n = 121.11n + 12.144n

= (133 – 12).11n + 12.144n = 133.11n – 12.11n + 12.144n

= 133.11n + 12.(144n – 11n)

1,0đ

Ta thấy: 133.11n  133

(144n – 11n)  (144 – 11) = 133  12.(144n – 11n)  133 0,5đ

Do đó suy ra: 133.11n + 12.(144n – 11n) chia hết cho 133

Vậy: số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n N 0,5đ

2

4 điểm

a) Tìm tất cả các cặp số (x; y): 2,0đ

Ta có: 2012 là số tự nhiên chẵn  (2x – y + 7)2012  0

và

2013

Do đó, từ  2 x y   7 2012  x  32013  0

suy ra: (2x – y + 7)2012 = 0 và

2013

0,5đ

 2x – y + 7 = 0 (1) và x – 3 = 0 (2) 0,5đ

Từ (2)  x = 3

Từ (1)  y = 2x + 7 = 2.3 + 7 = 13

Vậy cặp số (x; y) cần tìm là (3; 13)

0,5đ

Ta có:

1 2 3

2

n n

và aaaa.111a.3.37 0,5đ

Do đó, từ 1 2 3    n  aaa  n n 1 2.3.37.a

 n(n + 1) chia hết cho số nguyên tố 37

 n hoặc n + 1 chia hết cho 37 (1)

0,5đ

Mặt khác:

2

n n

aaa



  999  n(n + 1)  1998  n < 45 (2)

Từ (1) và (2) suy ra hoặc n = 37, hoặc n + 1 = 37

0,5đ

- Với n = 37 thì

37.38

703 2

(không thỏa)

- Với n + 1 = 37 thì

36.37

666 2

(thỏa mãn) Vậy n = 36 và a = 6

0,5đ

3

4 điểm

Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K. 4,0đ

Gọi tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là a, b, c (a,b,cN*)

Theo bài ra ta có :

a a b b c c

    

(*) và a + b + c =147

1,0đ

Từ (*) 

2 3 4

3 4 5

 



12 12 12

18 16 15

 

 18 16 15

18 16 15

 

=

147 3

18 16 15 49

a b c 

 

Suy ra : a = 54, b = 48, c = 45

Vậy tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là 54, 48 và 45 1,0đ

4

4 điểm

Từ Aˆ 3Bˆ6Cˆ

0 0

20

0 0

0 0

0 0

ˆ 6.20 120

ˆ 2.20 40

ˆ 1.20 20

A B C

Vậy: Aˆ120 ;0 Bˆ40 ;0 Cˆ200

1,0đ

- Trong  ACD có

2 0 1

ˆ 50

A

- Xét  ADB có Bˆ 40 0Aˆ1500  AD BD (1)

1,0đ

- Xét  ABC có Bˆ 40 0Cˆ 200  AB AC  AB2AC2 (*)

- Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông ADB và ADC có:

AB2 = AD2 + BD2 và AC2 = AD2 + CD2

Do đó, từ (*)  AD2 + BD2 < AD2 + CD2

 BD2 < CD2  BD < CD (2)

Từ (1) và (2)  AD < BD < CD

1,0đ

5

4 điểm

Theo giả thiết, ta có:

2AB = AB + AB = AB + AM + BM

AM + AN = AM + AC + CN

 ABC cân ở A  AB = AC

Do đó, từ AM + AN = 2AB

 BM = CN

b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN 1,5đ

Qua M kẽ ME // AC (E  BC)

ABC cân ở A   BME cân ở M  EM = BM = CN 0,75đ

  MEI =  NCI (g-c-g)  IM = IN

+ K thuộc đường trung trực của MN  KM = KN (1)

+  ABK =  ACK (c-g-c)  KB = KC (2); ABKˆ ACKˆ (*)

+ Kết quả câu c/m câu a) BM = CN (3)

0,5đ + Từ (1), (2) và (3)   BMK =  CNK (c-c-c)  ABKˆ NCKˆ (**) 0,5đ + Từ (*) và (**) 

0 0 180

2

* Ghi chú: Mọi cách giải khác mà đúng và phù hợp đều ghi điểm tối đa.