Bat dang thuc va cuc tri

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  a3  b3  c3 Lời giải Trong bài toán này chúng ta chưa biết được đẳng thức xảy ra khi nào?. Nên việc áp dụng bất đẳng thức Côsi gặp khó khăn..[r]

Chuyên đề X

BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

Dạng 1 Phương pháp biến đổi tương đương

 Để chứng minh bất đẳng thức dạng A 0 ta thường đi phân tích A thành tổng những biểu thức không âm hoặc tích số chẵn các biểu thức cùng dấu hoặc tích của những biểu thức không âm

 Để chứng minh bất đẳng thức A B , ta chứng minh A B 0 

 Để chứng minh một bất đẳng thức ta có thể xuất phát từ những bất đẳng thức đúng và biến đổi suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Nên từ   ta suy ra được: a2b2c2 1 a b2 2b c2 2c a2 2 1 a b b c c a2  2  2

Ví dụ 3 Đề thi Đại học khối A – 2011 Cho các số thực x,y,z1;4 ;x y,x z  

  

Lời giải

Cách 1, cách 2 tác giả trình bày trong cuốn “ luyện thi cấp tốc môn toán“

Cách 3: tác giả trình bày trong cuốn “ Phương pháp giải toán chuyên đề Phương

trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức “ trang 303

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các số ai bằng nhau

Hệ quả: Với n số thực dương a ,a , ,a1 2 n ta có:

 Bất đẳng thức Côsi chỉ áp dụng cho các số thực không âm, đồng thời là sự so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân

 Điều kiện để xảy ra dấu "=" là các số bằng nhau

Ví dụ 1 Cho các số thực dương a,b,c thỏa a b c 3

Ví dụ 2 Cho các số thức dương a,b,c Chứng minh rằng:

b c  còn vướng c ở mẫu, hơn nữa ở đây xuất hiện a3 và vế trái là a nên gợi ý cho ta nhân thêm c , tức là

Bài toán được chứng minh

Vì vế trái xuất hiện căn thức, và các biến ở mẫu lệch nhau một bậc

Đồng thời cần đánh giá VT VP , những điều này gợi ý ta đánh giá ở mẫu

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có:

Vậy bài toán được chứng minh Đẳng thức xảy ra x y z 1 

Ví dụ 5 Cho các số thực dương a,b,c thỏa: a 4b 9c 6  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a 3b3c3

Lời giải

Trong bài toán này chúng ta chưa biết được đẳng thức xảy ra khi nào? Nên việc

áp dụng bất đẳng thức Côsi gặp khó khăn Ta giả sử P đạt giá trị nhỏ nhất khi

a x,b y,c z  

Khi đó áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a3x3x33x a2 a32x33x a2Tương tự: b32y33y b; c2 32z33z c2

Nhận xét Phương pháp trên được gọi là cân bằng hệ số Khi chúng ta chưa xác

định được đẳng thức xảy ra khi nào thì chúng ta đưa vào tham số rồi chọn các tham số một cách phù hợp

Ví dụ 7 Giả sử x,y là các số thực lần lượt thỏa mãn các phương trình:

a 3 phương trình x2  9 2ax có nghiệm khi x 0

b 3 phương trình y2 9 2by có nghiệm khi y 0

4 2

Vậy, minP 2 khi x;y;z  1;1;1

Ví dụ 3 Cho các số thực a,b,c thỏa a2b2c22a 4b 6c 2  

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2a b 2c  

Ví dụ 4 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab bc ca 4

Dạng 4 Phương pháp đưa về một biến

Nội dụng của phương pháp này là tìm cách đưa một bất đẳng thức nhiều biến

về bất đẳng thức chứa một biến Một trong những công cụ tối ưu khi chứng minh bất đẳng thức một biến là công cụ đạo hàm Quan trọng nhất ở phương pháp này là tìm cách đánh giá để đưa về một biến Để đưa về một biến, chúng ta cần lưu ý:

 Nếu một bất đẳng thức hai biến có điều kiện và trong điều kiện có một biến thì

ta có thể rút biến đó và thế vào bất đẳng thức cần chứng minh ta được một bất đẳng thức một biến Tuy nhiên cách làm này chúng ta chỉ xử lí khi bất đẳng thức không quá phức tạp

 Nếu điều kiện của bài toán và bất đẳng thức cần chứng minh là những biểu thức đối xứng hai biến thì ta có thể chuyển về tổng và tích hai biến đó Lưu ý:

2

S 4P

 Khi gặp bài toán chứng minh BĐT hai biến có dạng :  

 Nếu trong bất đẳng thức xuất hiện các số hạng:

Chú ý: Dạng toán này tác giả cũng đề cập khá kĩ những dạng toán căn bản trong

cuốn “ Phương pháp giải toán chuyên đề giải tích 12 “, tập 1

Ví dụ 1 Cho hai số thực a,b 0 Chứng minh : a4b4a b b a3  3

Lời giải

* Nếu một trong hai số a,b bằng 0 thì bất đẳng thức cho luôn đúng

* Với a 0 , đặt b ta Khi đó bất đẳng thức cho trở thành:

 Khi gặp biểu thức đẳng cấp ba biến a,b,c ta có thể đặt b xa,c ya  và chuyển

về bài toán hai biến

Ví dụ 2 Cho a,b,c 0 và a 2b2c21 Chứng minh rằng:

1yy

 xảy ra khi a;b;c  0;1;2 và các hoán vị

Ví dụ 5 Cho các số thực x, y thỏa mãn x – 42y – 422xy 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức A x3y33 xy –1 x y – 2    

Đề thi Đại học – Khối D năm 2012

Ví dụ 6

1 Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện x y z 0.   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3 x y 3y z 3z x  6x26y26z2

Đề thi Đại học Khối A,A1 – năm 2012

2 Cho các số thực x,y,z thỏa mãn các điều kiện x y z 0   và x2y2z21 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 5y5z5

Đề thi Đại học Khối B – năm 2012

VậyP 3 0 2 3 , dấu “ ” xảy ra x y z    0 Vậy min P 3.

Cách 2: Không mất tổng quát, giả sử x y z. 

Từ giả thiết suy ra z x y  do đó,

32b ay

Khảo sát hàm số: f x 3xx hàm số đồng biến trên 0;

Cách 6: Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski cho hai dãy số 1;1;1 và x;y;z

Cộng ba bất đẳng thức trên lại với nhau ta có đpcm

3 Cho a,b 0 và ab 1 Chứng minh rằng :

4 Cho a,b,c0;2 thỏa a b c 3   Chứng minh rằng:a2b2c25

Vậy bài toán được chứng minh

5 Cho các số thực x,y,z thỏa : z y x 0   Chứng minh rằng:

Công 3 bất đẳng thức trên lại với nhau ta có  

Vậy bài toán được chứng minh

10 Cho a,b,c 0 thỏa a2b2c23 Chứng minh rằng : ab bc ca 3

Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế, ta được đpcm

11 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 3 Chứng minh rằng :

Để chứng minh ta thay c 1

ab

 vào vế trái và biến đổi ta có đpcm

14 Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện :

c6

Ta có điều phải chứng minh

18 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a22b23c23abc

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 2.  

19 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3a 2b cP

a b b c c a



   Trong đó a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: 3bc 4ca 5ab 6abc  

Đẳng thức xảy ra khi a b c 2.   Vậy maxP 3

22 Cho các số thực dương a,b thỏa:

Vì F a;c;b   a c c b b a      F a;b;c  suy ra miền giá trị của F là tập đối

xứng vì vậy ta chỉ cần chứng minh :F a;b;c  3

* Nếu a,b,c đôi một khác nhau thì không mất tính tổng quát, ta giả sử

   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ

khi a b c 1    x y z 1  Vậy GTNN của P bằng3

3bP' 1

c

x y z



  , khi đó có: a b c 4, ab bc ca 5     

1 g t  2 5, suy ra maxP 24 khi a 4b

33 Cho các số thực không âm a,b thỏa mãn a2b24 ìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a b   5 ab

34 Cho các số x,y 0 thỏa mãn 8 x 2y xy 5x 2y 5 16x        Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức: 2 2 1 2xy2 7xy 6

A x 8y 9xy x 2y 6xy x 2y 9xy kết hợp điều kiện

x 2y 210 3xy , sau đó đặt t x 2y  với 4 t 4  

38 Cho các số thực x , y thỏa điều kiện x29y22 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: x 12 3 2xy 1  3y 12

của biểu thức sau: B a b c   3b c a  3c a b  3

Bài toán trở về tìm giá trị lớn nhất của Bb c c a a b     

Không mất tính tổng quát giả sử a b c  và a  b c 1, c 0 nên a 1 b, 1