Bất đẳng thức và cực trị hàm nhiều biến

Chứng minh các bất đẳng thức phụ 1+... BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ  I.. Hãy tìm giá trị lớn nhấtcủa biểu... Bài toán có hai biến mà cần đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ

a.b Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: a =b.

• ∀a, b, c ≥ 0, thì: Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: a =b =c.

a + b a + b

Xét các véctơ: u = (a; b), v = (x; y) Ta luôn có: u + v ≥ u +v

⇔ Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi u và v cùng hướng

④ Một số biến đổi hằng đẳng thức thường gặp

• (a +b)(b +c)(c +a) = (a +b +c)(ab +bc +ca) −abc.

• (a b)− +c) (b − +a) (c − =+ 2(a c +b −ab −bc −ca) 2(a= 3 +b3 +c3 ) − 6abc⋅

Các đánh giá cơ bản thường được sử dụng (không cần chứng minh lại)

x2 y2 z z22 ) (x2 +y2 +

x2 +y2 +z2 =+

Đặt: a =xy; b =yz; c =zx thì bất đẳng thức cần chứng minh

tương đương với:

a2 +b2 +c2 ≥ab +bc +ca : luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy

(BĐT a.)





thức cần chứng minh tương đương với:

(a +b +c)2 ≥ 3(ab +bc +ca) : luôn đúng

theo BĐT e

Dấu đẳng thức khi



11

≥

2

x y

y z

+

z) (z

+

x)

8

Dấu đẳng thức xảy ra khi: x =y =z.

Chứng minh các bất đẳng thức phụ

1+

g mn h:

≥

2

111C

hứn

g minh:

y2 )(1 +

≤ 1 ⇒ 1 + 1

≤ 2

(2)

1 +x2 1 +y2 1 +

xy

Ta làm tương tự và dấu đẳng thức xảy ra

khi và chỉ khi x =y hoặc xy = 1

Chứng minh: Ghép từng

cặp xoay vòng, cộng lại

Dấu " = " khi và chỉ khi:

x =y =z = 1

 1 1

2

2 1 T

acó:

g mi nh:

1 +x2 1 +y2 1 +xy



11



 1 1 

x y

1  x2 1  y2 1  xy

⇔ x ( y − x ) + y ( x − y )

≤ ⇔ (y −x)2 (xy − 1) ≤ ∀ ≤ 0 (1 +x2 )(1 +xy) (1 +y2 )(1 +xy) (1 +x2 )(1 +y2 )(1 +xy) xy 1. Từ (1), (2), suy ra: 1

+ 1 ≤

2

, ∀x; y ∈0;1 Dấu đẳng thức xảy ra khi: x =y. n C h ứ n g m i n h : ∀ x, y ≥ 0  x + y > 1 s u y r  a →  1    1    y − 1 ≥ 2   x + y 2 − 1  ⋅  Ta có : B Đ T ⇔ 1 −1 −1 ≥ 4

− 4

⇔ 1 − 4

≥ 1 +1 − 4 ⇔

( x − y ) 2 ≥ (x − y)2 xy x y (x + y)2 x +y xy (x + y)2 x y x +y x y ( x + y ) 2 xy( x + y) ⇔ (x −y)2 (1 −x −y) ≥ 0 : đúng với mọi x +y < 1 và dấu " = " khi và chỉ khi: x = y. § 2 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ  I Bài toán hai biến có tính đối xứng VD 1 (CĐ – 2008) Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: x2 +y2 = 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ  m i n P = − 7 k h i x = y = − 1 nhất của biểu thức: P = 2(x3+y3 ) − 3xy ĐS: ⋅  1 3 1 ± 1 ∓ max P = kh i x = ; y = VD 2 Cho hai số thực dương  x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 x +y + 1 = 3xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 3x

+

y(x

+ 1)

3

y

−

1

x(y +1) x2



x





− 1 ⋅

y2

ĐS



1912

2 c

P

=

ĐS:



kh

1855giá trị nhỏ

xy =

7 ,

x2 +

y2 =

20

VD

+

2  1(x2  y2 )(y  4x2  y2 )

x và y thay đổi và thỏa mãn

điều kiện: x2 +y2 ≠ 0 Tìm giá

1của

biểuthức

15 Cho hai số thực dương x và

y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x +y ≤ 2 Hãy tìm giá

trị lớn nhấtcủa biểu

III Bài toán có hai biến mà cần đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ sau

VD 16 (D – 2012) Cho các số thực dương x và y thỏa: (x − 4)2 + (y − 4)2 + 2xy ≤ 32 Hãy tìm giá trị nhỏ

của biểu thức: P = 2 + 2 +3 ⋅ ĐS: min P =

22 Cho các số dương x và y thay đổi thỏa mãn

1  x2 1  y2 10

5(a  b)2  1

khi x =y =1 ⋅

3

VD

28 Cho hai số thực dương a và b thay đổi thỏa

ab

a + 1 b + 1 ab 1

nhất của: P = + − ⋅ ĐS: min P = khi a =b = 1

2a + 1 2b + 1 a2 +b2 − 1 3

xy2

nhỏ nhấtcủa:

x y



thức:

min

Cho

và giá trị nhỏ

min

P

=

x 3, y 1

BT 5 Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy +x2

+y2 = 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá

4 4

3 3

BT 7 Cho các số thực x và y thỏa: x +y = + + 1 Hãy tìm

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

min P

khi x =

nấ

t của:

P

=

1

−

22

khi x =

4, y =

0

BT 8.

(A – 200 6)

x +y +xy = 3

Tìm giá trị lớnnhất và giá trịnhỏ

2 2

3

3y

x y

m

ax P

= 0 khi

ỏ nhấtcủ

a biể

u thức:

+

y

2

BT 13.

Cho

x

và

y

là

các

số

thực

th

ỏamãnđiềukiện:

nhỏnhấtcủabiểuthức:

221

Đáp số: min P = 2 khi x =y = 0, 5

BT

16 Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn

điều kiện: 3xy + 3 =x4+y4 + 2 ⋅ Hãy tìm giá

xy

trị lớn nhất của biểu

thức: P =

16

17 Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn

điều kiện: x2y +y2x =x +y + 3xy Tìm giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =x2+y2 + 2(x + 1)(y +

kiện: x

+y

=

3

Tìmgi

á trịlớn

nhấtcủa:

P

++

ĐS:max

số thực

x và

y

thay đổi thỏa mãn điều kiện:

gi

á trịlớnnhấtv

à gi

á trịnhỏnhấtcủa

biểuthức:

sốmin

=

x

y

vàmax

=

3

kh



x y

11



B T 2 2

Chocácsốthựcdương

x

và

y

thayđổ

i thỏamãnđi

ềukiện:3

x  2 y  12(1  xy x  y )

4xyz  33 xyz

(1  y2 )(1  z2 )(1  z2 )(1  x2 )  z (1  x2 )(1  y2 ).

3x3  y3  z33

biểu thức: P = 2xy + 2yz + 2zx +

nhất của biểu thức: P = 1 +x

x2 +y2 +z2

2 Đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ sau

VD 35 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn

điều kiện:

+y

ĐS: max P = 2 khi x =y =z.

x +y +z ≤ 3 ⋅ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của

kiện: x +y +z = 3 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất

VD 50 Cho các số thực dương x, y, z thỏa

VD 52 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 +y2 +

64 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

xx2  y2

yy2  z2

10

 2  3x   1  1 3x  1  y 

VD

70

Cho các số thực dương

x, y, z

thỏa mãn điều kiện:

x y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

18

thức:

P

=

ĐS: min

P =

15 khi

VD

72 Cho x, y, z là các

số thực dương thỏa điều

kiện: x +y +z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

x

ca2  b2  c2

1

+ 1

=

1 ⋅ Tìm giá trị nhỏ

n hất của

a2 b2 2c2

biểuthức:

P

413513

32

a

3

32

b

3

của biểu thức: P

=+

Ch

o cá

c

số th

ực khôn

g âmth

ỏa mã

n điề

u kiện:

z

3

thức:

ỏ nh

ất củ

a biểuĐS:

min

P

=

16khi

c sốth

ựcdươngthỏađiềukiện:

x

>

y

1612

và(

x

+

z

)(

ị nhỏ





nhấtcủabiểuthức:

P

++

⋅

2

ĐS:min

P

=

20khi



1

⋅

((( 

V D 7 7

( B

– 2 0 1 4 )

Ch

ocá

c số thực a, b, c không âm

thỏa điều

kiện: (a +

b)c ≥ 0

Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:

P =++

c

⋅

2(a +b)

ĐS:min

P

32

a

ab +bc +ca > 0;

a ≤ b ≤ c Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu

x = 0; 0thức:

0

VD 79 Cho các số thực

dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x2+y2 =z2 + 1

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất củabiể

u thức:

P =

++

z là các số không

âm thỏa mãn điều kiện:

x2 +y2 +

z2 = 2

Tìm giá trị lớn

= = >

81 Cho x, y, z là các

số không âm thỏa mãn

điều kiện: x2 +y2 +z2 = 2 Hãy tìm giá trị lớn nhất của

x

y 3(x +y)2

11

x x

khi25

89

Cho các

số thực

x, y, z phân

biệt và thỏa mãn điều kiện:

của biểu

thức: P =

1

+

1

+

1

⋅

ĐS: min

ĐS:

khi

⋅

((

z

V D 9 1

Chocácsốthựcdương

xyz +x +z =y Tìm giá

trị lớn nhất của biểu thức:

P

=

2

khi

V D 9 2

Cho

x, y, z là

các số thực dương thỏa điều kiện:

x2 y2

− 1t

hức:

P

=++

⋅

ĐS:

min

P

=

20

− 28 khi 

3 

x  10 

3 y  z

thức: P =

1

−

27

⋅ 32x2 y2 z2 ĐS: min P = −1 2 ( 2 x 2 + 2 y 2 + z + 1 )3 khi x = y = 1 ; z = 1 2 VD

94

Cho

các

số

thực

dươn

g x,

y, z

thỏa:

x2 +

y2 +

z2 =

5(x +

y +z)

− 2xy



1

Tì

m giá trị nh

ỏ nh

ất củ a

biểu

thức

:

=



+

+

y

z





Đ S : m i n

P

= 58 khi x = 2, y

= 3, z = 5

99 (China MO) Cho các số thực

dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: a +b +c =

x +y +z = 3 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: P = + + ⋅ ĐS: min P = 5 khi x =y =z = 1

VD 108 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn

2 +y2 +z2 =

1

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất

củabiểuthức:

P x

P

22

x, y, z

thỏa mãn điều kiện:

củabiểuthức:

P x

+

y2 +z2

y x

P

=

322

x, y, z

thỏa mãn điều kiện:

củabiểuthức:

P x

ĐS:min

P

=

1

3 +

91

x2 +y2

+z2 = 1

Hãy tìm giá trị lớn nhất của:

x2 +y2 +z2 = 3 Hãy tìm giá trị lớn nhất

x, y, z

thỏa mãn điều kiện:

8x + 8y

+ 8z =

3 Hãytìm giátrị nhỏ nhất của biểu

4443

thức: P =+

V D 1 1 7

Chocácsốthựcdương

x,

y,

z

thỏamãnđiềukiện:

củabiểuthức:

=+

+

⋅

ĐS:

ma

x

P

=

1 khi

1

1

1 30 −

3 Bài toán có

giả thiết tích các biến

là hằng số

hoặc P có

dạng

P = f(a).f(b).f (c)

VD

119

Cho các

số thực dương

x, y, z

thỏa mãn điều kiện:

xyz = 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

2của biểu thức:

khi x =y =z

=1 ⋅

2

121 Cho các số thực

không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: x +y +z = 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu

P

=

100729

của:

P

=

2008

n P =

92

khi

P xy

+4

y z

+z x

−x y z

max

điềukiện:

4x + 3y + 4z = 22 Tìm giá trị

nhỏ nhất của

+ 1

+

1

VD

x, y, z

thỏa điều kiện:

x +

y +z

= 0 và

lớn nhất của biểu thức: P

= x5 + y5 + z5

1  x2 1  2y 1  2z

5 6

−1ĐS:

ma

x P

khi z , x

7

= 5

Tìm giá trị lớn nhất của biểu

P

=

64khi

y

=

4

Tìm giá trị lớn nhất của

1

56 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn

P =++

Chocácsốthựcphânbiệt

u kiện:



Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu

thức:

P =

1

+

1

1  1 1  1xy

+

z x

z

+

x y

BT 64

Cho

a điề

u kiện:

(x +y

+z)4

thức:

P

=++

5(x2 +y2 +z2 )

= 6(xy +yz +

zx) Tìm giá

trị lớn nhất của biểu

P

=

1

+

1

+

1

⋅

xyz = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

BT 67.

Ch

o các

số thự

c khô

ng âm

x, y,

z

thỏa:

Chocác sốthựcdương

x, y, z

∈1;

+∞)

thức:

y

2

+

2)(

z

2

2).thỏa điềukiện: x +

y + z = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

 1 1 1 

nhất của biểu

⋅

(

77 Cho các số

thực

x, y, z không đồng thời bằng 0 và

2 +y2 +z2 = 2(xy +yz +

zx).

Tìm giá t r ị l ớ n n h ấ t v à g i á t r ị n h ỏ n h ấ t c ủ a b i ể u t h ứ c :

P

=

x

3

+

y

3

+

z

3

⋅ +

(x

y +z)(x

BT

78 Cho

x, y, z thỏa:

x +y +z = 0

và x2 +y2 +

z2 = 1 Tìm giá trị nhỏ

nhất của P =

x2 y2z2

BT

79 Cho

x, y, z ≥ 0 thỏa: x2 + y2

+ z2 ≤ 3y Tìm giá trị nhỏ

nhất của: P

=

1

+

4

y 3z  2x

z  xx  y

y  z  1 x  3

+

8

⋅ (x + 1)2 (y + 2)2 (z + 3)3 B T 8 0 C h o x , y , z ≥ 0 th ỏa mã n điề u kiệ n: y +z =x(y2 +z2 ) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 4

+ 1

+ 1

+ 1

⋅ (x + 1)(y + 1)(z + 1) (x + 1)2 (y + 1)2 (z + 1)2 BT 81 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 0 ≤z ≤y ≤x ≤ 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =x2 (y −z) + y2 (z −y) +z2 (1 −z) BT

82 Cho các số khôn g âm x, y, z thỏ a điề u kiệ n: x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =x(y −z)3 +y(z − x)3 +z(x −y)3 BT 83 Cho x, y, z > 0 thỏa: 21xy + 2yz + 8zx ≤ 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =1 +2 +3 ⋅ x y z BT 84 Cho các số thực không âm x, y, z thỏ a: x +y +z = 1 và không có hai số nào bằng 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = (x +y + 3)(z + 1) +

1

+

1

⋅ ( z ( z BT 85 Cho x, y, z > 0 thỏa mãn điều kiện: x2 +y2 + (x +y)z + 4z2 = 4 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu x(y +z)2 y(x +z)2 1 thức: P = + − ⋅ x +z y +z z  1  2 1 1 BT 86 Cho các số thực: x, y, z ∈ ; 1⋅ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = (x + y +z)  + + ⋅  2   y z BT 87 Cho 0 ≤x ≤y ≤z ≤ 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P =z2 (1 −z) + (x2 −y2 )(y −z).

≤ ≤ 22y x +

+ 2 z ≤ +(z − x)2 ⋅ BT 88 Cho các số thực dương x y z Chứng minh rằng: y +z z +x x + y x(x +z) BT 89 Cho x, y, z ≥ 0 thỏa: x +y +z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =x +y2 +z2 BT 90 Cho x, y, z > 0 thỏa: x +y +z ≤ 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 + 3 +

8

⋅ BT 91 Cho x, y, z > 0 thỏa: xyz + x +z =y Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = 2 − 2

+ 3 ⋅

x y z BT 92 Cho các số thực dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x +

y +z BT 93 Cho các số thực dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x +

y + ⋅ 2 z ⋅ y +z z +x x + y +z BT 94 Cho x, y, z ≥ 0 thỏa: x +y +z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =x3 +y3 + z3 +15 xyz. 4 BT 95 Cho a, b, c ≥ 0 mãn: a +b +c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =ab + 3ac + 5ac BT

96 Cho ba số thực dươn g x, y, z thỏ a điề u kiện : x2 + y2 + z2 + 2xy ≤ 2(x + y + z). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =x2+y2 + 2z +

40

+ 40 ⋅

BT 97 Cho

x, y, z là

các số thực dương thỏa mãn điều kiện:

xy yz x y

x2

+

y2

+

z2

=

1

Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức:

P

+

⋅

1 z2 1 +x2 24x3z3