Nếu trong các số này có số lớn nhất và nhỏ nhất, ta có quyền sắp xếp sao cho ak là một trong các số nhỏ nhất và ak+1 là một trong các số lớn nhất.. Nếu chúng không có số lớn nhất và nhỏ [r]
Trang 1BẤT ĐẲNG THỨC – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bất đẳng thức Cauchy
Với a1, a2, a3, , an là những số dương, n ≥ 2, ta luôn có
1 2 3 n
a a a a n
³
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = = an
Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: Có 3 cách chứng minh như sau
Cách 1: Dùng phương pháp quy nạp toán học
Bước 1: Thử với n = 2 thì
2
1 2
2
+
(đúng) Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2
Bước 2: Giả sử như biểu thức (*) đúng khi n = k ta có
1 2 k
a a a k
(1) Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = = ak
Bước 3: Ta cần chứng minh (*) sễ đúng với n = k + 1
Xét (k + 1) số không âm a1, a2, , ak+1 Nếu trong các số này có số lớn nhất và nhỏ nhất, ta có quyền sắp xếp sao cho ak là một trong các số nhỏ nhất và ak+1 là một trong các số lớn nhất Nếu chúng không có số lớn nhất và nhỏ nhất thì chúng sẽ bằng nhau ta không cần sắp xếp
Đặt
k
1
+
+
+ (2) thì khi đó ak+1 ≥ μ ≥ ak (2’) Đặt bk = ak + ak+1 – μ suy ra ak + ak+1 = bk + μ (3)
Từ (2) và (3) suy ra (k + 1)μ = a1 + a2 + + ak–1 + bk + μ hay kμ = a1 + a2 + + ak–1 + bk
k
Þ
Áp dụng giả thuyết (1) ta được
k k
1 2 k 1 k 1 2 k 1 k k 1
μ³ a a a - b Û μ ³ a a a - (a +a + - μ)
k 1
1 2 k 1 k k 1
μ + ³ a a a - (a a + - μ)μ
Bây giờ ta thấy (ak + ak+1 – μ)μ – akak+1 = ak(μ – ak+1) + (ak+1 – μ)μ = (ak+1 – μ)(μ – ak) ≥ 0 do điều kiện (2’)
Từ đó suy ra (ak + ak+1 – μ)μ ≥ akak+1 (5)
Thay (5) vào (4) ta được μk+1 ≥ a1a2 ak+1
k
1 2 k 1
Từ (6) suy ra điều phải chứng minh ở bước 3
Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = = ak–1 = bk = μ và (ak+1 – μ)(μ – ak) = 0
Nói cách khác dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = = ak–1 = ak = ak+1
Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp thì bất đẳng thức (*) luôn đúng với điều kiện ở đề bài
Cách 2: Dùng tính đơn điệu của hàm số
Xét hàm số f(x) = ex–1 – x
Đạo hàm f’(x) = ex–1 – 1
f’(x) = 0 khi và chỉ khi x = 1
f’’(x) = ex–1 > 0 nên f’’(1) > 0
Hàm số này nghịch biến trên (–∞; 0) và đồng biến trên (0; +∞)
min[f(x)] = f(1) = 0
nên f(x) ≥ f(1) = 0 với mọi x
Hay ex–1 ≥ x (1) với mọi x
Xét một dãy số thực không âm a1, a2, , an có trung bình cộng là μ
Nếu μ = 0 thì a1 = a2 = = an = 0 dẫn đến (*) hiển nhiên đúng
Nếu μ > 0 ta có:
Trang 21 2 n 1 2 n
a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1
1 2 n
- - - + + +
(2)
Mà
0 1
2 n 1 n
2 n
n
a a a
μ
(3) Vậy ta có điều phải chứng minh
Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = = an = μ
Cách 3: Chứng minh của Cauchy
Xét trường hợp n = 2 thì
2
1 2
2
(đúng) Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2
Giả sử trường hợp n = 2k = b đúng Khi đó xét n = 2k+1 = 2b ta có
b 1 b 2 2b
1 2 b b 1 b 2 2b
+ +
(2)
Áp dụng cho hai số ta được
b 1 2 b b b 1 b 2 2b b 1 2 2b 2b 1 2 2b
1
(3)
Từ (2) và (3) suy ra
1 2 2b
a a a 2b
Do đó bất đẳng thức luôn đúng với mọi n = 2k, k là số nguyên dương
Nếu n không phải là 2k, thì tồn tại giá trị k sao cho 2k > n Ta đặt m = 2k – n
Xét n số không âm a1, a2, , an có trung bình cộng là μ Xét tiếp m số an+1, an+2, , an+m sao cho
an+1 = an+2 = = an+m = μ Như vậy ta áp dụng bất thức n + m = 2k số như sau
n m
m
n m
1 2 n
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Bất đẳng thức Bunyakovsky – Cauchy – Schwarz (B.C.S)
Với mọi a1, a2, , an, b1, b2, , bn ta luôn có
(a b +a b + + a b ) £(a +a + + a )(b +b + + b )
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
a
Đặc biệt: nếu a1, a2, , an, b1, b2, , bn > 0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
b
Chứng minh bất đẳng thức B.C.S
Xét n = 2: (a b1 1+a b )2 2 2£(a12+a )(b22 12+b )22
1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2
1 2 1 2 1 2 2 1
2
1 2 2 1
Trang 3Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1b2 = a2b1 hay
1 2
Giả sử n = k ta có (a b1 1+a b2 2+ + a b )k k 2£(a12+a22+ + a )(b2k 12+b22+ + b )2k
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
a
→ a b1 1+a b2 2+ + a bk k £ a12+a22+ + a b2k 12+b22+ + b2k
Mặt khác: a b 1 1 + a b 2 2 + + a b k k + a k 1 k 1+b + £ a b 1 1 + a b 2 2 + + a b k k + a k 1 k 1+b +
Đặt a = a12+a22+ + a2k và b = b12+b22+ + b2k
Áp dụng B.C.S cho bộ bốn số a, b, |ak+1|, |bk+1|:
ab + |ak+1||bk+1| ≤ a2+a2k 1+ b2+b2k 1+ = a12+a22+ + a2k 1+ b12+b22+ + b2k 1+
→ a b1 1+a b2 2+ + a bk k+ak 1 k 1+b + £ a12+a22+ + a2k 1+ b12+b22+ + bk 12+
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
k 1 3
a a
+ +
Nên n = k + 1 vẫn đúng
Theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 2
BÀI TẬP MINH HỌA
Bài toán 1 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất 2 2 2
A
Hướng dẫn giải
Nhận xét do tính đối xứng của (a; b; c) nên đẳng thức có thể xảy ra khi a = b = c = 1
Ta có:
2
a
mà 1 + b² ≥ 2b
→ 2
a
2
-+
Chứng minh tương tự và cộng vế theo vế:
A ≥ a + b + c –
1
2(ab + bc + ca) (1) Mặt khác 2ab ≤ a² + b²; 2bc ≤ b² + c²; 2ca ≤ c² + a²
→ 2ab + 2bc + 2ca ≤ 2(a² + b² + c²)
→ ab + bc + ca ≤ a² + b² + c²
→ 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)² = 9
→ ab + bc + ca ≤ 3 (2)
Vậy từ (1) và (2) ta được A ≥
3 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
ì = = ïï
íï + + =
ïî hay a = b = c = 1
Bài toán 2 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất 2 2 2
A
Hướng dẫn giải
Trang 4Ta có
2
2
Chứng minh tương tự và cộng vế theo vế ta được
A ≥
3
-Mà 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)² = 9
→ ab + bc + ca ≤ 3
Từ đó suy ra A ≥ 3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Bài toán 3 Chứng minh rằng với mọi số dương a, b,c,dta luôn có
2
+ + +
Hướng dẫn giải
Ta có
2
Tương tự:
Cộng vế theo vế ta được:
2
+ + +
Bài toán 4 Chứng minh rằng với mọi số dương a, b,c,ta luôn có
3
+ +
Hướng dẫn giải
Ta có
3
Chứng minh tương tự
Cộng vế theo vế được điều phải chứng minh
Bài toán 5 CHo a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác với chu vi 2p Chứng minh rằng:
a (p – a)(p – b)(p – c) ≤
abc 8
b
2
ç
-Hướng dẫn giải
a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương
+
+
Nhân vế theo vế (1), (2), (3) ta được đpcm
b Áp dụng bất đẳng thức ta có
Trang 51 1 4 4
-Cộng vế theo vế ta được đpcm
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3
Chứng minh
1
Bài 2 Cho a, b, c > 0 Chứng minh 3 3 3 3 3 3
abc
Bài 3 Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 4
Chứng minh
2
1 b c 1 c d+ +1 d a+1 a b³
Bài 4 Cho a, b, c > 0 Chứng minh
+ +
Bài 5 Cho 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 Chứng minh (1 – x)(2 – y)(4x – y) ≤ 4 Đẳng thức xảy ra khi nào
Bài 6 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
20
x+ + =y z
Chứng minh rằng
5
Bài 7 Cho x, y > 0 và x² + y² = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất A = x³ + y³
Bài 8 Cho x, y, z > 0 và x² + y² + z² = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất A = x4 + y4 + z4
Bài 9 Cho x, y > 0; 0 < a < b; a, b nguyên và xa + ya = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất A = xb + yb
Bài 10 Cho x, y, z > 0, và x4 + y4 + z4 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất A = x6 + y6 + z6
Bài 11 Cho x, y > 0 và 3x² + 4y² = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất A = 5x³ + 6y³
Bài 12 Cho x, y > 0 và 7x² + 8y² = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất A = 9x³ + 10y³
Bài 13 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
2
1 a+1 b 1 c+ ³ + + + Chứng minh rằng abc
≤ 0,125
Gợi ý: 1/(1 + a) = b/(1 + b) + c/(1 + c)
Bài 14 Cho ba số a, b, c > 0 Chứng minh (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + 3abc)³
Bài 15 Cho ba số a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = abc
Chứng minh:
3
Bài 16 Cho ba số a, b, c bất kỳ Chứng minh rằng (ab + bc + ca)² ≥ 3abc(a + b + c)
Bài 17 Cho a, b, c, d là bốn số dương thỏa mãn điều kiện
3
1 a+1 b+1 c 1 d+ ³
Chứng minh rằng abc ≤ 1/81
Bài 18 Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có
Trang 6Bài 19 Cho x, y là những số dương thỏa mãn điều kiện x + y = 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
1
xy
Bài 20 Cho x, y, z thỏa mãn x² + y² + z² = 1 tìm giá trị lớn nhất, và nhỏ nhất của
P = x + y + z + xy + yz + zx
Bài 21 Cho x, y > 0 và x + y = 1 Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
P = 3x + 9y
Bất đẳng thức vector
Ví dụ 1 Cho x, y, z > 0
Chứng minh rằng x2+xy+y2 + y2+yz z+ 2+ z2+zx+x2 ³ 3(x+ +y z)
Hướng dẫn giải
Trong mặt phẳng Oxy gọi ba vectơ
Theo bất đẳng thức vectơ:a + + ³b c a+ +b c
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1 Cho ba số x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z ≤ 1
Chứng minh rằng:
Bài 2 Chứng minh rằng
a (a b)+ 2+ +(b d)2 £ a2+b2 + c2+d2
b (a c)+ 2+b2 + (a c)- 2+b2 ³ 2 a2+b2
Bài 3 Cho ba số x, y, z > 0, chứng minh rằng x+ y+ z£ 3 x+ +y z
Bài 4 Chứng minh với mọi số thực x, y, z ta có xyz(x + y + z) ≤ x4 + y4 + z4
Định lí Lagrange
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại
một điểm c thuộc (a; b) sao cho
f (b) f (a)
f '(c)
b a
→ Hệ số góc tiếp tuyến tại (c; f(c)) bằng với hệ số góc của cát tuyến AB
Bài toán 1 Tìm c trong công thức Lagrange với y = f(x) = x² – x trên đoạn [1; 5]
Hướng dẫn giải
Hàm số liên tục trên đoạn [1; 5] và có đạo hàm trên khoảng (1; 5) nên theo Lagrange ta có
f (b) f (a)
f '(c)
b a
-=
-<=> 2c – 1 = 5
<=> c = 3
Bài toán 2 Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì
ln
- < <
-Hướng dẫn giải
Xét hàm số f(x) = ln x trên đoạn [b; a]
Trang 7Đạo hàm f’(x) =
1
x xác định trên (b; a)
Theo Lagrange ta có
-Mà 0 < b < c < a suy ra
- < - <
-Vậy
ln
-< <
Bài toán 3 Chứng minh rằng nếu số nguyên n > 1 thì
ln
n< n 1<n 1
-Suy ra:
2+ + + <3 n < + + +2 n 1
-Hướng dẫn giải
Xét hàm số f(x) = ln x trên đoạn [n – 1, n]
Đạo hàm f’(x) =
1
x xác định trên (n – 1, n) Theo Lagrange:
-Mà 0 < n – 1 < c < n →
n < <c n 1
-→
ln
n< n 1<n 1
-n = 2: 1/2 < l-n 2 < 1
n = 3: 1/3 < ln 3 – ln 2 < 1/2
n = n: 1/n < ln n – ln (n – 1) < 1/(n – 1)
Cộng vế theo vế, ta được
ln n 1
2+ + + <3 n < + + +2 n 1
Bài toán 4 Cho phương trình: ax² + x + c = 0 (a khác 0) Biết 6a + 3b + 2c = 0 Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 3)
Hướng dẫn giải
Xét hàm số
3
Đạo hàm f’(x) = ax² + bx + c
Áp dung Lagrange trên đoạn [0; 3]
f (3) f (0)
(3 0)
-Vậy phương trình: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ít nhất một nghiệm trong (0; 3)