Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến

ành lþ ÷ñc chùngminh... Khi âph÷ìng tr¼nh bªc bav ngo i ra khæng cán c¡c nghi»m n o kh¡c... Ta câ i·u c¦n chùng minh.

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

D×ÌNG CÆNG CØ

B‡T NG THÙC V€ CÜC TRÀ SINH BÐI CC A THÙC „I SÈ BA BI˜N

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

THI NGUY–N - 2019

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

D×ÌNG CÆNG CØ

B‡T NG THÙC V€ CÜC TRÀ SINH BÐI CC A THÙC „I SÈ BA BI˜N

Möc löc

1.1 Mët sè b§t ¯ng thùc cê iºn li¶n quan ¸n a thùc 3

1.2 a thùc bªc ba v  mët sè h» thùc cì b£n 8

1.2.1 Cæng thùc Vi±te v  ph÷ìng tr¼nh bªc 3 9

1.2.2 H» ph÷ìng tr¼nh èi xùng ba ©n 13

1.2.3 Ph¥n t½ch a thùc th nh nh¥n tû 16

1.2.4 T½nh chia h¸t cõa c¡c a thùc èi xùng 18

1.3 a thùc bªc ba v  c¡c h» thùc trong tam gi¡c 19

Ch÷ìng 2 C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n 22 2.1 B§t ¯ng thùc sinh bði a thùc bªc ba 22

2.1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 22

2.1.2 C¡c ành lþ cì b£n cõa a thùc ¤i sè ba bi¸n 24

2.2 C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n 28

2.2.1 Mët sè m»nh · b§t ¯ng thùc 28

2.2.2 p döng chùng minh b§t ¯ng thùc 33

2.3 Mët sè d¤ng b§t ¯ng thùc ba bi¸n trong ph¥n thùc 35

Ch÷ìng 3 C¡c d¤ng to¡n cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n 38 3.1 Cüc trà theo r ng buëc têng v  t½ch ba sè 38

3.2 C¡c d¤ng to¡n cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n 41 3.3 Mët sè d¤ng to¡n li¶n quan 45

Tuy nhi¶n, c¡c d¤ng b§t ¯ng thùc ùng vîi lîp a thùc têng qu¡t th¼ ng÷íi

ta c¦n ¸n c¡c cæng cö cõa gi£i t½ch (t½nh lçi, lãm) º kh£o s¡t chóng

º ¡p ùng nhu c¦u bçi d÷ïng gi¡o vi¶n v  bçi d÷ïng håc sinh giäi v n¥ng cao nghi»p vö cõa b£n th¥n v· chuy¶n · b§t ¯ng thùc v  cüc tràsinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n, tæi chån · t i luªn v«n "B§t ¯ngthùc v  cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n"

Luªn v«n n y nh¬m cung c§p mët sè d¤ng b§t ¯ng thùc v  cüc trà sinhbði c¡c a thùc ¤i sè còng mët sè d¤ng li¶n quan

Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v  3 ch÷ìng

Ch÷ìng 1 a thùc v  c¡c h» thùc li¶n quan

Ch÷ìng 2 C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n.Ch÷ìng 3 C¡c d¤ng to¡n cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n.Möc ½ch cõa · t i luªn v«n l  kh£o s¡t mët sè lîp b§t ¯ng thùc v cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n v  x²t c¡c mð rëng cõa chóng

º ¡p döng trong kh£o s¡t c¡c b i to¡n cüc trà li¶n quan

T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu

¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n v  gióp ï t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp

v  nghi¶n cùu luªn v«n T¡c gi£ công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nhtîi c¡c Th¦y Cæ trong khoa To¡n-Tin tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håcTh¡i Nguy¶n ¢ gi£ng d¤y v  gióp ï cho t¡c gi£ trong suèt thíi gian håctªp t¤i Tr÷íng

çng thíi, t¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn tîi gia ¼nh v  c¡c b¤n çngmæn ¢ luæn gióp ï v  ëng vi¶n tæi trong thíi gian håc tªp v  trong qu¡tr¼nh ho n th nh luªn v«n.

Th¡i Nguy¶n, 12 th¡ng 05 n«m 2019

T¡c gi£

D÷ìng Cæng Cø

Ch÷ìng 1 a thùc v  c¡c h» thùc li¶n quan

Möc ½ch cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh b y mët sè b§t ¯ng thùc cê iºnli¶n quan ¸n a thùc nâi chung, a thùc bªc ba nâi ri¶ng v  x²t mët sèh» thùc cì b£n Mët ph¦n cõa ch÷ìng n y ÷ñc d nh º n¶u v· a thùcbªc ba v  c¡c h» thùc trong tam gi¡c C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng ÷ñctham kh£o tø c¡c t i li»u [2], [3]

1.1 Mët sè b§t ¯ng thùc cê iºn li¶n quan ¸n a thùc

ành ngh¾a 1.1 Cho A l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và Ta gåi a thùcbªc n bi¸n x l  mët biºu thùc câ d¤ng

fn(x) = anxn + an−1xn−1+ · · · + a1x + a0 (an 6= 0), (1.1)trong â c¡c ai ∈ A ÷ñc gåi l  h» sè, an l  h» sè cao nh§t v  a0 l  h» sè

tü do cõa a thùc

Bªc cõa a thùc fn(x)l  sè mô cao nh§t cõa lôy thøa câ m°t trong (1.1)

v  ÷ñc kþ hi»u l  deg(f ) Khi â n¸u trong (1.1) an 6= 0 th¼ deg(f ) = n

N¸u ai = 0, i = 1, , n v  a0 6= 0 th¼ ta câ bªc cõa a thùc l  0.N¸u ai = 0, i = 0, , n th¼ ta coi bªc cõa a thùc l  −∞ v  gåi athùc khæng (nâi chung th¼ ng÷íi ta khæng ành ngh¾a bªc cõa a thùckhæng) Tªp hñp t§t c£ c¡c a thùc vîi h» sè l§y trong v nh A ÷ñc kþhi»u l  A[x]

Khi A = K l  mët tr÷íng th¼ v nh K[x] l  mët v nh giao ho¡n câ ìn

và Ta th÷íng x²t A = Z, ho°c A = Q ho°c A = R ho°c A = C Khi â,

ta câ c¡c v nh a thùc t÷ìng ùng l  Z[x], Q[x], R[x], C[x]

C¡c ph²p t½nh tr¶n a thùc

Cho hai a thùc

f (x) = anxn+ an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,g(x) = bnxn+ bn−1xn−1 + · · · + b1x + b0

thuëc A[x] sao cho

f (x) = g(x)q(x) + r(x) vîi deg r(x) < deg g(x)

N¸u r(x) = 0 ta nâi f (x) chia h¸t cho g(x)

Gi£ sû a l  ph¦n tû tòy þ cõa v nh A, f (x) =

aiai câ ÷ñc b¬ng c¡ch thay x bði a

÷ñc gåi l  gi¡ trà cõa f (x) t¤i a

N¸u f (a) = 0 th¼ ta gåi a l  nghi»m cõa f (x) B i to¡n t¼m c¡c nghi»mcõa f (x) trong A gåi l  gi£i ph÷ìng tr¼nh ¤i sè bªc n trong A

f (x) chia h¸t cho (x − a)m v  f (x) khæng chia h¸t cho (x − a)m+1

Trong tr÷íng hñp m = 1 th¼ ta gåi a l  nghi»m ìn cán khi m = 2 th¼ a

÷ñc gåi l  nghi»m k²p Sè nghi»m cõa mët a thùc l  têng sè c¡c nghi»mcõa a thùc â kº c£ bëi cõa c¡c nghi»m (n¸u câ) V¼ vªy, ng÷íi ta coi mët

a thùc câ mët nghi»m bëi c§p m nh÷ mët a thùc câ m nghi»m tròngnhau

H» qu£ 1.1 a thùc câ væ sè nghi»m l  a thùc khæng.

H» qu£ 1.2 N¸u a thùc câ bªc ≤ n m  nhªn còng mët gi¡ trà nh÷ nhaut¤i n + 1 iºm ph¥n bi»t cõa èi sè th¼ â l  a thùc h¬ng

H» qu£ 1.3 Hai a thùc bªc ≤ n m  nhªn n + 1 tròng nhau t¤i n + 1

iºm ph¥n bi»t cõa èi sè th¼ chóng çng nh§t b¬ng nhau

ành lþ 1.6 Måi a thùc f (x) ∈ R[x] câ bªc n v  câ h» sè ch½nh (h» sècao nh§t) an 6= 0 ·u câ thº ph¥n t½ch (duy nh§t) th nh nh¥n tû d¤ng

3) Khi a thùc fn(x) d¤ng (1.1) vi¸t d÷îi d¤ng fn(x) = g(x)q(x) vîi

deg(g) > 0v deg(q) > 0th¼ ta nâig l  ÷îc cõafn(x)v  ta vi¸tg(x)|fn(x)

hay fn(x) g(x)

N¸u g(x)|f (x) v  g(x)|h(x) th¼ ta nâi g(x) l  ÷îc chung cõa f (x) v 

h(x)

N¸u hai a thùc f (x) v  h(x) ch¿ câ ÷îc chung l  c¡c a thùc bªc 0 th¼

ta nâi r¬ng chóng nguy¶n tè còng nhau v  vi¸t (f (x), h(x)) = 1

ành lþ 1.7 i·u ki»n c¦n v  õ º hai a thùc f (x) v  h(x) nguy¶n tècòng nhau l  tçn t¤i c°p a thùc u(x) v  v(x) sao cho

f (x)u(x) + h(x)v(x) ≡ 1

T½nh ch§t 1.1 N¸u c¡c a thùc f (x) v  g(x) nguy¶n tè còng nhau v c¡c a thùc f (x) v  h(x) nguy¶n tè còng nhau th¼ c¡c a thùc f (x) v 

g(x)h(x) công nguy¶n tè còng nhau

T½nh ch§t 1.2 N¸u c¡c a thùc f (x), g(x), h(x) thäa m¢n i·u ki»n

f (x)h(x) chia h¸t cho g(x), g(x) v  h(x) nguy¶n tè còng nhau th¼ f (x)

chia h¸t cho g(x)

T½nh ch§t 1.3 N¸u a thùc f (x) chia h¸t cho c¡c a thùc g(x) v  h(x)

vîi g(x) v  h(x) nguy¶n tè còng nhau th¼ f (x) chia h¸t cho g(x)h(x)

T½nh ch§t 1.4 N¸u c¡c a thùc f (x) v  g(x) nguy¶n tè còng nhau th¼

[f (x)]m v  [g(x)]n s³ nguy¶n tè còng nhau vîi måi m, n nguy¶n d÷ìng

B§t ¯ng thùc (1.4) câ trong nhi·u t i li»u b¬ng ti¸ng Vi»t v  ÷ñc gåi

l  b§t ¯ng thùc Cæsi (Cauchy) Tuy nhi¶n, trong c¡c t i li»u n÷îc ngo ib§t ¯ng thùc tr¶n câ t¶n ti¸ng Anh l  AM-GM Inequality, cho n¶n v·sau, ta gåi b§t ¯ng thùc (1.4) l  B§t ¯ng thùc giúa trug b¼nh cëng v trung b¼nh nh¥n

B§t ¯ng thùc (1.4) kh¡ quen thuëc vîi a sè b¤n åc v  ¢ ÷ñc chùngminh trong nhi·u t i li»u b¬ng ti¸ng Vi»t, n¶n chóng tæi s³ khæng tr¼nh

ành lþ 1.10 (B§t ¯ng thùc Schwarz).

Cho x1, x2, , xn v  y1, y2, , yn l  hai d¢y sè thüc, trong â yi > 0,

∀i = 1, 2, , n Ta luæn câ b§t ¯ng thùc

(x1 + x2 + · · · + xn)2

y1 + y2 + · · · + yn ≤ x

2 1

Gi£ sû h m sè f (x) li¶n töc tr¶n I(a, b), trong â I(a, b) ÷ñc ng¦m hiºu

l  mët trong sè c¡c tªp [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) Khi â i·u ki»n c¦n v 

õ º h m sè f (x) lçi tr¶n I(a, b) l 

f



x1 + x22

1.2.1 Cæng thùc Vi±te v  ph÷ìng tr¼nh bªc 3

M°c dò c¡ch gi£i ph÷ìng tr¼nh bªc ba têng qu¡t khæng ÷ñc giîi thi»u

ð bªc phê thæng nh÷ng c¡c b i to¡n li¶n quan ¸n ph÷ìng tr¼nh bªc ba l¤ith÷íng g°p trong c¡c k¼ thi v o ¤i håc v  thi håc sinh giäi Trong möc

n y tr¼nh b y mët sè b i to¡n li¶n quan ¸n cæng thùc Vi±te cõa a thùcbªc ba

4 = −4a3c + a2b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 (1.7)

÷ñc gåi l  bi»t thùc cõa ph÷ìng tr¼nh Khi â:

a) N¸u 4 > 0, th¼ t§t c£ c¡c nghi»m x1, x2, x3 l  c¡c sè thüc v  kh¡cnhau

b) N¸u 4 < 0, th¼ mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l  thüc, cán hai nghi»mkia l  phùc li¶n hñp còng nhau

c) N¸u 4 = 0 v  a2− 3b 6= 0, th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.6) câ ba nghi»m thüc,trong â câ hai nghi»m tròng nhau (nghi»m k²p), nghi»m cán l¤i kh¡c hai

nghi»m tr¶n N¸u 4 = 0 v  a2 − 3b = 0 th¼ ph÷ìng tr¼nh câ ba nghi»mthüc còng nhau (nghi»m bëi).

Chùng minh Gi£ sûx1, x2, x3 l  c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.6) (câthº l  c¡c sè phùc, nh÷ng ½t nh§t câ mët nghi»m l  thüc) Khi â theocæng thùc Vi±te cho ph÷ìng tr¼nh bªc ba, ta câ

b) Gi£ sû x1 l  nghi»m thüc, cán x2, x3 l  phùc li¶n hñp câ d¤ng:

x2 = α + iβ v  x3 = α − iβ Khi â, ta câ

T = (x1 − α − iβ)(x1 − α + iβ)2iβ = 2iβ[(x1 − α)2 + β2]

Do â

4 = T2 = −4β2[(x1 − α)2 + β2] < 0

c) Tø k¸t qu£ tr¼nh b y trong ph¦n b) ta th§y n¸u ph÷ìng tr¼nh (1.6)

câ hai nghi»m b¬ng nhau th¼ c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ·u l  thüc

v  4 = 0 º l m s¡ng tä khi n o ch¿ câ hai nghi»m b¬ng nhau (nghi»mk²p), ho°c c£ ba nghi»m b¬ng nhau (nghi»m bëi), ta x²t biºu thùc

41 = (x1 − x2)2 + (x2 − x3)2 + (x3 − x1)2 = 2(σ12 − 3σ2) = 2(a2 − 3b)

Rã r ng n¸u x1, x2, x3 l  c¡c sè thüc th¼ 41 = 0, tùc l  a2 = 3b khi v ch¿ khi ph÷ìng tr¼nh (1.6) câ ba nghi»m thüc b¬ng nhau (nghi»m bëi).Vªy n¸u 4 = 0 v  a2 = 3b th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.6) câ nghi»m bëi, cán n¸u

4 = 0 v  a2 6= 3b th¼ ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m sè k²p ành lþ ÷ñc chùngminh

V½ dö 1.2 Th nh lªp mët ph÷ìng tr¼nh bªc ba câ c¡c nghi»m l  b¼nhph÷ìng c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

u3 − 2u2 + u − 12 = 0

Líi gi£i K½ hi»u u1, u2, u3 l  c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho v 

r1, r2, r3 l  c¡c a thùc èi xùng sì c§p cõa c¡c bi¸n u1, u2, u3 Theo ành

Vªy gi¡ trà c¦n t¼m cõa a l  a = −9.

V½ dö 1.5 Bi¸t r¬ng t, u, v l  ba nghi»m thüc cõa ph÷ìng tr¼nh

x3 + ax2 + bx + c = 0, (1.8)trong â a, b, c l  c¡c sè thüc T¼m i·u ki»n cõa a, b, c º t3, u3, v3 nghi»m

óng ph÷ìng tr¼nh

x3 + a3x2 + b3x + c3 = 0 (1.9)Líi gi£i p döng cæng thùc Vi±te cho ph÷ìng tr¼nh (1.8), ta câ

σ1 = t + u + v = −a, σ2 = tu + uv + vt = b, σ3 = tuv = −c (1.10)

Gi£ sû t3, u3, v3 l  c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.9) Theo cæng thùcVi±te, ta câ

V¼ t§t c£ c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l  thüc, n¶n ta ph£i câ

b ≤ 0 Vªy, i·u ki»n c¦n v  õ cõa a, b, c l  c = ab v  b ≤ 0

1.2.2 H» ph÷ìng tr¼nh èi xùng ba ©n

Gi£ sû P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) l  c¡c a thùc èi xùng X²t h»ph÷ìng tr¼nh

ành lþ 1.15 (xem [3]) Gi£ sû σ1, σ2, σ3 l  c¡c sè thüc n o â Khi âph÷ìng tr¼nh bªc ba

v  ngo i ra khæng cán c¡c nghi»m n o kh¡c Ng÷ñc l¤i, n¸u x = a, y = b,

z = c l  nghi»m cõa h» (1.14), th¼ c¡c sè a, b, c l  nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh (1.13)

Chùng minh Gi£ sû u1, u2, u3 l  c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.13).Khi â ta câ çng nh§t thùc

(1.14) khæng cán nghi»m n o kh¡c s³ ÷ñc l m s¡ng tä d÷îi ¥y.

Gi£ sû x = a, y = b, z = c l  c¡c nghi»m cõa h» (1.14), ngh¾a l 

Khi â ta câ

u3 − σ2u2 + σ2u − σ3 = u3 − (a + b + c)u2 + (ab + bc + ca)u − abc

σ1 ≥ 0, σ2 ≥ 0, σ3 ≥ 0

Chùng minh Gi£ sû x, y, z l  nghi»m cõa h» (1.14) Khi â theo ành

lþ 1.15, x, y, z l  c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.13) Theo ành lþ 1.14,ph÷ìng tr¼nh (1.13) câ nghi»m thüc khi v  ch¿ khi bi»t thùc cõa nâ khæng

¥m, ngh¾a l  (1.15) ÷ñc thäa m¢n Ngo i ra, n¸u c¡c sèx, y, zl  khæng ¥m,th¼ hiºn nhi¶n σi ≥ 0 (i = 1, 2, 3) Ng÷ñc l¤i, n¸uσi ≥ 0 (i = 1, 2, 3) v (1.15) ÷ñc thäa m¢n, th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.13) khæng thº câ nghi»m ¥m.Thªt vªy, trong (1.13) thay u = −v ta câ ph÷ìng tr¼nh

v3 + σ1v2 + σ2v + σ2 = 0 (1.16)V¼ σi ≥ 0 (i = 1, 2, 3), n¶n ph÷ìng tr¼nh (1.16) khæng thº câ nghi»md÷ìng, do â ph÷ìng tr¼nh (1.13) khæng thº câ nghi»m ¥m Tø â suy ra

Líi gi£i °t x + y + z = σ1, σ2 = xy + yz + zx, σ3 = xyz Sû döngcæng thùc Waring ta câ

Gi£i h» n y ta t¼m ÷ñc σ1 = 2, σ2 = −1, σ3 = −2 Theo ành lþ 1.15,

ta câ x, y, z l  c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

Trong möc n y tr¼nh b y c¡c ùng döng cõa a thùc èi xùng v  ph£n

èi xùng ba bi¸n v o c¡c b i to¡n v· ph¥n t½ch th nh nh¥n tû

Gi£ sû f (x, y, z) l  a thùc èi xùng ba bi¸n º ph¥n t½ch f (x, y, z)

th nh nh¥n tû, tr÷îc h¸t c¦n ph£i biºu di¹n nâ qua c¡c a thùc èi xùng

cì sð σ1, σ2, σ3 º ÷ñc a thùc ϕ(σ1, σ2, σ3), sau â cè g­ng ph¥n t½ch athùc cuèi còng th nh nh¥n tû N¸u trong c¡c nh¥n tû cõa f (x, y, z) câ athùc khæng èi xùng h(x, y, z), th¼ do f (x, y, z) l  èi xùng s³ ph£i câ c¡cnh¥n tû nhªn ÷ñc tø h(x, y, z) b¬ng c¡ch ho¡n và c¡c bi¸n x, y, z ngh¾a

l  câ c¡c nh¥n tû d¤ng:

h(x, y, z), h(x, z, x), h(y, x, z), h(y, z, x), h(z, x, y), h(z, y, x)

N¸u trong c¡c nh¥n tû câ nh¥n tû g(x, y, z) l  a thùc èi xùng ch¿ vîihai bi¸n, th½ dö èi vîi x, y ngh¾a l 

g(x, y, z) = g(y, x, z),

th¼ c¡c nh¥n tû còng d¤ng s³ l 

g(x, y, z), g(y, z, x), g(z, x, y)

N¸u nh÷ trong c¡c nh¥n tû câ nh¥n tû k(x, y, z) èi xùng ch®n, ngh¾a l 

k(x, y, z) = k(y, z, x) = k(z, x, y),

th¼ c¡c nh¥n tû còng d¤ng s³ l 

k(x, y, z), k(y, z, x)

Nh÷ vªy, trong ph¥n t½ch th nh nh¥n tû cõa a thùc èi xùng f (x, y, z)

câ thº g°p c¡c nh¥n tû d¤ng sau ¥y:

trong â T (x, y, z) l  a thùc ph£n èi xùng ìn gi£n nh§t, cán g(x, y, z)

l  a thùc èi xùng Ngo i ra, èi vîi a thùc ph£n èi xùng thu¦n nh§t

câ k¸t qu£ sau ¥y

M»nh · 1.1 K½ hi»u θm(x, y, z) l  a thùc ph£n èi xùng bªc m Khi

Nh÷ vªy, a thùc ¢ cho chia h¸t cho σ1 = x + y + z Nh÷ng v¼ a thùc

¢ cho l  h m ch®n èi vîi x, y, z, n¶n nâ công chia h¸t cho −x + y + z,

x − y + z, x + y − z Công v¼ a thùc ¢ cho câ bªc b¬ng 4, n¶n ta câ

1.2.4 T½nh chia h¸t cõa c¡c a thùc èi xùng

Trong möc n y tr¼nh b y mët sè v½ dö v· t½nh chia h¸t cõa c¡c a thùc

Líi gi£i Tr÷îc h¸t ta ph¥n t½ch g(x, y, z) th nh nh¥n tû V¼ khi x = −y,

x = −z, y = −z th¼ g = 0, n¶n theo ành l½ Bezout a thùc g(x, y, z) chiah¸t cho (x + y)(x + z)(y + z) M°t kh¡c, v¼ bªc cõa g b¬ng 3, n¶n nâ câd¤ng

g(x, y, z) = a(x + y)(x + z)(y + z)

Cho x = y = z = 1 ta t¼m ÷ñc a = 3 V¥y ta câ

g(x, y, z) = (x + y + z)3 − x3 − y3 − z3 = 3(x + y)(x + z)(y + z)

B¬ng c¡ch t÷ìng tü ta th§y f (x, y, z) chia h¸t cho (x + y)(x + z)(y + z)

vîi måi n nguy¶n d÷ìng, tùc l  f (x, y, z) chia h¸t cho g(x, y, z)

V½ dö 1.10 Chùng minh r¬ng, n¸u a thùc èi xùng f (x, y, z) chia h¸tcho x − y th¼ nâ chia h¸t cho (x − y)2(x − z)2(y − z)2

Líi gi£i Gi£ sû r¬ng

suy ra g(x, y, z) l  a thùc ph£n èi xùng theo hai bi¸n x, y Vªy g(x, y, z)

chia h¸t cho x − y Do â f (x, y, z) chia h¸t cho (x − y)2 V¼ f (x, y, z) l 

a thùc èi xùng, n¶n vai trá cõa x, y, z l  nh÷ nhau, cho n¶n f (x, y, z)

công chia h¸t cho (x − z)2 v  (y − z)2 Vªy f (x, y, z) chia h¸t cho

Theo ành lþ Bezout, f (x) chia h¸t cho x + y + z = x − (−y − z) khi

v  ch¿ khi f (−y − z) = 0 Ta câ

f (−y − z) = −(y + z)3 − kyz(y + z) + (y3 + z3)

= (k + 3)yz(y + z) = 0, ∀y, z

Tø â suy ra k = −3

Vªy i·u ki»n c¦n v  õ º x3 + y3 + z3 + kxyz chia h¸t cho x + y + z

l  k = −3

1.3 a thùc bªc ba v  c¡c h» thùc trong tam gi¡c

Ph÷ìng tr¼nh bªc ba têng qu¡t câ d¤ng

x3 + ax2 + bx + c = 0 (1.17)

m2 − 1.Khi â, ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t

t = 1

2



d + 1d



= 12

m2 + 1 Khi â ph÷ìngtr¼nh câ nghi»m duy nh§t

t = 1

2



d + 1d



= 12

bsin B =

csin C = 2R.

L§y (1.19) nh¥n vîi (1.20), ta ÷ñc

cos2 A

2 =

a(p − a)4Rr .

Tø â suy ra

ar4R(p − a) +

a(p − a)4Rr = sin

Vªy a l  nghi»m cõa (1.18) T÷ìng tü b, c công l  nghi»m cõa (1.18) Ta

câ i·u c¦n chùng minh

Ch÷ìng 2 C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n

Trong ch÷ìng n y ta quan t¥m chõ y¸u ¸n c¡c d¤ng a thùc èi xùng

v  a thùc çng bªc bi¸n sè thüc v  nhªn gi¡ trà thüc C¡c k¸t qu£ ch½nhcõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o tø t i li»u [3]

P (x, y, z) = X

k+l+m≤n

aklmxkylzm

Bªc lîn nh§t cõa c¡c ìn thùc trong a thùc ÷ñc gåi l  bªc cõa a thùc

ành ngh¾a 2.3 a thùc P (x, y, z) ÷ñc gåi l  a thùc èi xùng, n¸u nâkhæng thay êi vîi måi ho¡n và cõa x, y, z ngh¾a l 

P (x, y, z) = P (y, x, z) = P (z, y, x) = P (x, z, y) = P (y, z, x) = P (z, x, y)

ành ngh¾a 2.4 a thùc ph£n èi xùng l  a thùc thay êi d§u khi thay

êi và tr½ cõa hai bi¸n b§t ký