Cho hình lăng trụ ABC.. b Tính góc của mặt bên BCC’B’ hợp với đáy.. Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình chính tắc của hypebol biết 2 tiệm cận hợp nhau một góc 600 và đường chéo của hìn
Trang 1NHÁY A 2008
Thời gian làm bài : 180 phút Câu 1 (2 điểm ) Cho hàm số : y =
x +(m +2) x
x
m
+
a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
b) Tìm m để hai tiệm cận của đồ thị hợp với nhau một góc 450
Câu 2 (2 điểm ) :
1 Giải phương trình : 4 2 sin(9 x)
4
π +
5 cos x cos(x - )
2 π +
2 Giải hệ :
x y xy x y xy 37
x 2 x y y 1 x 17 0
⎪
⎨
⎪⎩
Câu 3 (1 điểm ) Tính tích phân I =
2 /2 /3
cot x
x cos 2x d
π π
∫
Câu 4 (1 điểm ) Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3
Biết A’A = A’B = A’C = 2a
a) Tính thể tích lăng trụ
b) Tính góc của mặt bên BCC’B’ hợp với đáy
Câu 5 (1 điểm ) Tìm các giá trị của tham số để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt ;
4 2x + 2 + 2x 2 2 5 x 2 5 x + + 4 − + − = m
Câu 6 (3 điểm )
1 Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình chính tắc của hypebol biết 2 tiệm cận hợp nhau một góc 600
và đường chéo của hình chữ nhật cơ sở có độ dài là 4 2
2 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – y – z – 7 = 0 và điểm A(1 ; 2 ; - 1)
a) Tìm toạ độ điểm H, hình chiếu của A lên (P)
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, qua giao điểm B của (P) và Oz và hợp với (P) một góc nhỏ nhất
log − (2x + x 6) log− + + (2 x 3)− ≥4
GIẢI VẮN TẮT
Câu 1
b) y = mx + 2 -
x
m m
+ Với mọi m ≠ 0, đồ thị có tiệm cận xiên y = mx + 2 và tiệm cận đứng x = - m vuông góc O x
YCBT Ù tiệm cận xiên hợp với Ox một góc 45 Ù m = o ±1
Câu 2
Trang 21 4(sin x cos x) = 1 1 4(sin x cos x )sin x cos x sin x cos x
cos x sin x
Ù sinx + cos x = 0 hay sin2x = ½
2
x x + x (x +y) =37
(x + y) - x + 17=0
y
⎧ + +
⎪
⎨
⎪⎩
Đặt u = x 2 + y và v = x y2 , ta có : 2 37
17 0
⎧
⎨
⎩ Thế v = u2 + 17 : u + u2 + 17 + u(u2 + 17) = 37
Ù u3 + u2 + 18u - 20 = 0 Ù (u - 1)(u2 + 2u + 20) = 0
Ù u = 1 và v = 18
Suy ra ta có hệ : x 2 + y = 1 , x y2 = 18
=> x (1 – x 2)2 = 18 Ù x 5 – 2 x 3 + x – 18 = 0
Ù (x – 2)(x4 + 2 x 3 + 2x2 + 4x + 9) = 0
Ù x = 2 (vì x > 0 do x = 18/y2 nên x4 + 2 x 3 + 2x2 + 4x + 9 > 0)
Suy ra : y = - 3
Câu 3
2
1
sin x
x
x ; 1 cot x sin x sin x d = + ; I =
2 3/3 2
t dt
t −
Câu 4
A
B
C
A’
B’
C’
H
H’
K
I
K
I
a) A’A = A’B = A’C nên hình chiếu H của A’ lên
(ABC) là tâm của đường tròn (ABC) => H là trung
điểm của BC
=> A’H2 = AA’2 – AH2 = 4a2 – a2 = 3a2
=> V = ' 1 3 3 3 3
ABC
a
b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ H’: K là đối xứng
của A qua H Kẻ HI vuông góc BC => H’IK là góc
của mặt bên BCC’B’ và đáy lăng trụ
IK = chiều cao kẻ từ A trong tam giác ABC = 3
2
a
, H’K = A’H = a 3
tanH’IK = H K' 2
Câu 5 Đk : - 1 ≤ x ≤ 5 Gọi f(x ) là hàm số ở VT, ta có :
f’(x ) =
• 2x + 2 > 5 – x Ù x > 1 thì f’(x ) < 0
• 2x + 2 < 5 – x Ù x < 1 thì f’(x ) > 0
Trang 3Vậy f’(x ) = 0 Ù 2x + 2 = 5 – x Ù x = 1
Ta có BBT: x - 1 1 5
f’ + 0 -
3 2 6+
f 2(4 6+ 6) 412+ 12
Phương trình có 2 nghiệm Ù
Câu 6
1 ( ) :H x22 y22 1
P
K
Hai tiệm cận là bx + ay = 0 và bx – ay = 0
Ta có : cos30
2 2
0 | 2 2| 1 2| |=
2
−
+
2 2
b −a
a +b
Ù b2 3 2 hay
a
3
Đường chéo của hình chữ nhật cơ sở 4 2Ù 2 2
8
a +b =
Suy ra : ( a2 =2; 2 ) hay (
6
2
b = )
2 a) H = (1 + 2t ; 2 – t ; - 1 – t) => 2(1 + 2t) – (2 – t) – (- 1 – t)
– 7 = 0
Ù 6t + 2 – 2 + 1 – 7 = 0 Ù t = 1 => H = ( 3 ; 1 ; - 2)
b) B = (0 ; 0 ; - 7) Mặt phẳng (Q) qua AB cắt (P) theo giao tuyến Bx Kẻ HK vuông góc Bx thì góc AKH là góc của (Q) và (P)
Ta có : cotAKH = HK/AH Vì AH không đổi nên góc (P, Q) nhỏ nhất khi cotAKH lớn nhất, tức khi
HK lớn nhất là bằng BH Khi đó Bx vuông góc với mp(ABH) và (Q) là mp(ABx)
BA
JJJG
= (1 , 2, 6) )
AH
JJJG
= (2 ; - 1; - 1) => nG(ABH) = (4 ; 13; - 5) => nG (Q) = [ nG(ABH) , BAJJJG ] = ( - 88; 29; 5)
=> (Q) : - 88 x + 29y + 5z + 35 = 0
Cách 2 : PT (Q) qua B : ax + by + cz + 7c = 0
Qua A(1; 2; - 1) : a + 2b + 6c = 0
Gọi α là góc (P) và (Q) : : cosα =
2 2 2
6
a b c
− − + + Thế a = - 2b – 6c :
| 5 13 |
cos
6 5 37 24
* c = 0: cosα = 5 5
6
6 5 =
* c ≠ 0 : cosα =
2
| 5 13 |
6 5 24 37
k
+ + + ( k = b/c) =
1 (
6 f k )
Trang 4f(k) = (52 13)2
k
+
(5 13)( 10 58)
f’(k) = 0 Ù k = - 13/5 hay k = 58/10 = 29/5 = b/c
Chon c = 5 : b = 29 và a = - 58 – 30 = - 88
log − (2x + x 6) log− + + (2 x 3)− ≥4
Đk : x > 3/2 , ≠ 2 PT Ù log2 x – 3 ( 2 x – 3)(x + 2) + logx + 2 (2 x – 3)2 ≥ 4
Đặt t = log (2x - 3)x+2 : Ù 1 + 1/ t + 2 t ≥ 4
Ù
2
− + + + ≥ <=> 1≥0 Ù t ≥ 1 hay 0 < t ≤ 1/2
Ù logx + 2 (2x - 3) ≥ 1 hay 0 < logx + 2 (2x - 3) ≤ ½ (Chú ý x + 2 > 1 vì x > 3/2)
Ù 2 x – 3 ≥ x + 2 hay 1 < 2 x – 3 ≤ x 2+
Ù x > 5 hay 2 < x < 13 57
8 +
