Bài tập toán ôn thi đại học khối A 2004 có lời giải hướng dẫn

Cho hình chóp đều SABCD , biết khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh bên và mặt bên lần lượt là a và b.. Tính ba góc của tam giác.. 2 Trong không gian Oxyz cho hình chóp SABCD, đáy là hình th

NHÁY A 2004

Thời gian làm bài : 180 phút Câu 1 (2 điểm ) Cho hàm số : y =

2

x + 2 x 2 2x 2

− (1) 1) Khảo sát biến thiên và và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2) Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt (C) tại hai điểm A, B và AB = 4

Câu 2 (2 điểm )

1) Giải BPT :

2

2 x 2

2) Giải HPT : log (x ) log3 3 1

xy 2x - y + 5 = 0

⎪

⎨

−

Câu 3 (1 điểm ) Tính tích phân : I = 6

3

x

x - 2 2 d

+

∫

Câu 4 (1 điểm ) Cho hình chóp đều SABCD , biết khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh bên và mặt

bên lần lượt là a và b Tính thể tích khối chóp

Câu 5 (1 điểm ) Cho tam giác ABC có góc A không nhọn thỏa mãn điều kiện : cos2A - 2 2 sinB -

2 2 sinC = - 5 Tính ba góc của tam giác

Câu 6 (2 điểm )

1) Cho A(3 ; 4) và B(0 ; - 5), tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB 2) Trong không gian Oxyz cho hình chóp SABCD, đáy là hình thoi có AC và BD cắt nhau tại gốc toạ độ O Biết A(3 ; 0; 0), S(0 ; 0; 4) và B(0; 2; 0)

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

b) M là điểm trên cạnh SA , sao cho mặt phẳng (CDM) chia hình chóp SABC thành hai khối có tỉ số thể tích là 4:5, phần chứa S có thể tích nhỏ hơn Tìm toạ độ điểm M

Câu 7 Cho Z = (z + 2 + i)/(z + i) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số z sao cho Z là một số thực

dương

GIẢI VẮN TẮT

Câu 1

2 PT hoành độ giao điểm A, B: – x2 + 2 x – 2 = (2x – 2)(- x + m)

Ù x2 – 2m x + 2m – 2 = 0

2

Δ = − + 2> 0 với mọi m => luôn có 2 giao điểm A, B

2 1

2 | x - x |

(x - x ) +(y - y ) = (x - x ) +(- x + m + x - m) =

= 2

2

1

m − m+ 2

AB = 4 Ù m2 – 2m + 2 = 2 Ù m = 0 hay m = 2

Câu 2

1

2

2 x 2

ĐK : - 2 < x < 0 hay x ≥ 2

2

2x −4x 2(x 2) 3x 10+ + > + Ù 2x - 4 x2 > +x 6

Ù 2x2 – 4 x > x 2 + 12 x + 36 Ù x2 - 16 x – 36 > 0

Ù x < - 2 hay x > 18

So với điều kiện : x > 18

2 ĐK : x > y > 0

Hệ Ù

x -

3

x 2x 5 0

y

y

⎪

⎨

⎩

Ù x = 4y và 4y2 – 9y + 5 = 0 Ù y = 1 hay y = 5/4

Hệ có nghiệm (4 ; 1) và (5; 5/4)

Câu 3 Đặt t = x 2− : 2 tdt = dx => I =

1

Câu 4 Kẻ OK vuông góc SB thì OK = a Gọi I là trung điểm của BC, kẻ OH vuông góc SI thì OH

vuông góc (SBC) => OH = b

Gọi x và y lần lượt là cạnh đáy và chiểu cao, ta có:

(1) x

(2) x

⎪⎪

⎨

⎪⎩

S

I

C

D

K

H

O

=> 12 12 2

x

b −a = 2 và 22 12 1

a −b = y2

Vậy x2 =

2

2( )

; 2

y

Và V = 1/3 x2y =

3

2( )

ab

a −b b −a

Câu 5 Gọi T là biểu thức ở vế trái, ta có :

T = (2cos2A – 1) - 4 2.sin cos

B C+ B−C

= (2cos2A - 1) - 4 2.cos cos

Mà cos 1

2

B C− ≤

và - cos 0

2

A < , suy ra T ≥ 2cos2A - 4 2 cos

2

A

- 1

Vì π/ 2 ≤ A ≤ π nên - 1 < cosA ≤ 0 suy ra cos2A ≥ cosA và do đó:

T ≥ 2cosA - 4 2 cos

2

A

- 1 = 4cos2 4 2 cos 3

2

2

A

=> T ≥ - 5

Do đó T = - 5 Ù đẳng thức đã xãy ra ở các bất đẳng thức đã

xét Ù

2

2

/ 4

B C

A

B C

π π

−

⎧

⎩

Câu 6

1 PT đường cao AH : y = 4 PT đường cao OH qua O và

vuông góc JJJGAB= − − = −( 3; 9) 3(1;3) là x + 3y = 0

Suy ra H = (- 12 ; 4)

* Trung trực của OB: y = - 5/2 Trung trực của AB qua

trung điểm của AB là (3/2 ; - ½) và vuông góc

, có phương trình :

JJJG

1 (x – 3/2) + 3(y + ½) = 0 Ù x + 3y = 0

Suy ra toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp là (15/2 ; - 5/2)

Cách khác: PT đường tròn có dạng: x 2 + y 2 – 2 a x – 2by =

0 Thế toạ độ A và B : 25 6 8 0 15 / 2

<=>

A

B

O

2

a) S(0; 0; 4) , C( - 3 ; 0 ; 0) , D(0 ; - 2; 0) => phương trình (SCD) : x 1

Ù - 4 x – 6y + 3z – 12 = 0

Vậy d(A, (SCD)) =

2 2 2

61

b) (CDM) cắt SB tại N và MN // AB Đặt

SM =k SA

JJJG JJG

= k(3 ; 0 ; - 4) với 0 < k < 1

A

B

S

M

C

D

N

SN =k SB

= k (0; 2 ; - 4) => VSCMN = 1/6 | [SC SM SNJJJG JJJG JJJG, ] ] = 8k2

Mà

VSABC = 8

YCBT Ù 8k2 = 8 4/9

Ù k = 2/ 3

Suy ra toạ độ của M

Câu 7 z = x + iy:

Z = [x + 2 + i(y + 1)]/(x + i(y + 1)] =

[x 2 ( 1)][x ( 1)] x + 2 x ( 1) +i( 2 2]

=

YCBT Ù x 2 + 2 x + (y +1)2 > 0 và – 2y – 2 = 0

Ù y = - 1 và x 2 + 2 x > 0 Ù y = - 1 và x < - 2 hay x > 0