Trong hệ trục Oxy, cho parabol P: y2 = 4x, A, B là hai điểm bất kỳ thuộc P sao cho A, B và tiêu điểm F của P thẳng hàng , Chứng tỏ đường tròn đường kính AB luôn tiếp xúc với một đường ch
Trang 1NHÁY D 2008
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1 (2 điểm ) Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 2 (1)
a) Khảo sát biến thiên hàm số và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b) Cho K là điểm bất kì có toạ độ (1; a), chứng tỏ qua K có một tiếp tuyến với (C),
tìm toạ độ tiếp điểm
Câu 2 (2 điểm ) :
1 Giải phương trình : 4sin x (1 + cos2x) + cos 3x + sin x = 3cos x
2 Giải hệ phương trình :
2 2 2x - y + x 4x 4 0 (x 1) 1+y x 1 = 4 8 x 4
⎪
⎨
⎪⎩
Câu 3 (1 điểm ) Tính tích phân : I = 4
1
ln x d x
x
∫
Câu 4 (1 điểm ) Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại C, AC = a và CB = 2a
Gọi M là trung điểm của BC, biết góc của AM và BC’ là 600 , tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa AM và BC’
Câu 5 (1 điểm ) Cho hai số thực thay đổi x, y sao cho : x2 + y2 = 1, tìm GTLN và GTNN của biểu thức : T =
2
2
2
x xy y
x xy
Câu 6 (3 điểm )
1 Trong hệ trục Oxy, cho parabol (P): y2 = 4x, A, B là hai điểm bất kỳ thuộc (P) sao cho A, B và tiêu điểm F của (P) thẳng hàng , Chứng tỏ đường tròn đường kính AB luôn tiếp xúc với một đường chuẩn của (P)
2 Trong hệ trục Oxyz cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4) và D(- 4 ; 3; 0) Viết phương trình
mặt cầu qua A, B, C, D và tìm toạ độ tâm của đường tròn (ABC)
GIẢI VẮN TẮT
Câu 1
2 d qua K : y = k(x – 1) + a
2
x + 3x - 2 = k(x 1) 3x + 6x = k
a
⎪
⎨
−
⎪⎩
+ 3 x2 – 2 = (x – 1)(- 3 x2 + 6x) + a
Ù 2x3 – 6x2 + 6x – a – 2 = 0 Ù x3 – 3 x2 + 3 x – 1 = a/2 Ù (x – 1)3 = a/2
Ù x = 1 + 3 a/ 2
Câu 2
1 Thay 1 + cos2x = 2cos2x , ta được :
8sinx cos2 x + (cos3x – cosx) – 2cos x + sin x = 0
Ù 4sin2x cos x - 2sinxsin2x – 2cos x + sin x = 0
Ù (2cos x – sinx)(2sin2x - 1) = 0 Ù tanx = 2 hay sin2x = ½
Trang 22 (x+ y)(2x 4) 0
y y
⎧⎪
⎨
⎪⎩
Do x ≥ - 1 và y ≥ 1 nên x + y > 0 (đẳng thức không xãy ra), từ phương trình đầu suy ra : y = 2x + 4 Thế vào phương trình sau: (x + 1) 2x 3 (2x 4) x 1 16 x + 1+ + + + =
Ù x = - 1 hay (x 1)(2x 3) 12 2x + + = −
Câu 3
Đặt u = lnx, dv = 1/ x , du = 1/ x , v = 2 x
4
1
ln x d x
x
∫ = [ln x 2 x ] - 4
1 4 1
1
x d
∫ = 4ln4 – 4
Câu 4 Gọi N là trung điểm của CC’ => góc (AM, MN) = 600
Vì tam giác AMN cân tại C do CM = CA = a nên góc AMN =
600
A
B
C
A’
B’
C’
M
N
=> AN2 = AM2 + MN2 – AM MN
Ù a2 + h2./ 4 = 2a2 + (a2 + h2/4) - a 2 a2+h2/ 4
Ù a 2= a2+h2/ 4 Ù h = 2a V = 2a3
* Khoảng cách giữa AM và BC’ là d(B, (AMN)) = d(C, (AMN)
= d với 12 12 1 2 12
d =CA +CM +CN =a32 => d = a/ 3
Cách khác : Nhận xét hình chóp C AMN là hình chóp đều có
cạnh bên CA = CM = CN = a, và cạnh đáy AM = AN = MN =
a 2 => d là chiều cao hình chóp
Ghi nhớ: Trong hình chóp SABC có ba góc vuông tại S thì
chiều cao SH của hình chóp cho bởi :
SH = SA +SB +SC2
S
A
B
C
I
Hơn nữa H là trực tâm tam giác ABC
Câu 5 Thay 2 bằng 2(x2 + y2 ), ta được :
2
x xy y T
x xy y
=
H
• y = 0 : T = 2/3
• y ≠ 0 : Chia tử và mẫu cho y2 và đặt t = x/y, T
= 2 2
t t
t t
− + + +
Ù (3T – 2)t2 + (T + 1)t + 2T - 1 = 0
D = (T + 1)2 – 4(3T – 2)(2T - 1) ≥ 0 Ù T2 + 2T + 1 – 4(6T2 – 7T + 2) ≥ 0
Ù 23T2 – 30T + 7 ≤ 0 Ù 7/23 ≤ T ≤ 1 Vậy GTNN là 7/23 và GTLN là 1
Trang 3Cách khác : Có thể khảo sát hàm số f(t)
Câu 6
O
A
B
F
I
A’
;
B’
I’
1 F(1 ; 0) A(a2 / 4; a) và B(b /24; b)
Ta có: FAJJJG = (a2/4 – 1; a) , JJJGFB = (b2/4 – 1; b)
cùng phươngÙ a2 4 b2 4
Ù a2b – ab2 + 4(a – b) = 0 Ù (a – b)(ab + 4) = 0
Ù ab + 4 = 0
PT đường tròn đường kính AB : JJJJG JJJJGAM BM = 0
Ù (x – a2/4 )(x – b2/4) + (y – a)((y – b) = 0
Ù x2 + y2 – (a2 + b2)x/4 - (a + b)y + a2b2/16 + ab = 0
Ù x2 + y2 – (a2 + b2)x/4 - (a + b)y – 3 = 0
Tâm I((a2 + b2)/8 ; (a + b)/2) , bán kính :
R2 = (a 2 + b2)2/ 64 + (a + b)2/4 + 3
= (a 2 + b2)2/ 64 + (a2 + b2)/4 + 1 = [(a2 + b2)/8 + 1]2
=> R2 = (xI + 1)2
Gọi d: x = - 1 , ta có : |xI + 1| = (a2 + b2)/8 + 1
=> (xI + 1)2 = (a2 + b2)2 /64 + (a2 + b2)/4 + 1 (2)
Từ (1) và (2) : (I) luôn tiếp xúc với d Chú ý là đường chuẩn của parabol
Cách khác: Có thể giải bằng hình học Theo định nghĩa parabol, ta có: AF = AA’, BF = BB’, A’, B’
là hình chiếu của A, B lên đường chuẩn d Suy ra: II’ = ' '
AA BB+ = AF BF+ = AB
= R
=> đpcm
2 PT mặt cầu : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
Thế toạ độ A, B, C, D: Ù a = - 2; b = - ½; c = ½ ; d = - 12
a d
b d
c d
a b d
⎧
⎪ − + =
⎪
⎨ − + =
⎪
⎪ + − + =
⎩
* Tâm K của đường tròn (ABC) là hình chiếu của I(- 2; - ½ ; ½) lên mặt phẳng (ABC) :
x
y z
y z
