Cho hình lập phương ABCD.. Tính góc của hai mặt phẳng ABCD và A’OI.. Tìm toạ độ ba đỉnh.. Tính thể tích hình hộp biết hai mặt phẳng A’BD và C’BD vuông góc nhau.
Trang 1NHÁY A2003 Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1 (2 điểm ) Cho hàm số y =
2
x - m x - 2
x 2
m
1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2
2) Định m để đồ thị (1) cắt Ox tại hai điểm có hoành độ âm
Câu 2 (2 điểm )
1) Giải phương trình : tan x – 1 = 3cos 2x 12
cos x - sin 2x
+
2) Giải hệ:
3
x
x
x +3y = 4
y y
⎧ + = +
⎪
⎨
⎪
⎩
Câu 3 (1 điểm ) Tính tich phân I =
2
2 3 5
x + 4 x
x
d
∫
Câu 4 (1 điểm ) Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’, gọi O là tâm ABCD và I là tâm CDD’C’
Tính góc của hai mặt phẳng (ABCD) và (A’OI)
Câu 5 (1 điểm) Cho x, y, z là ba số dương mà x + y + z ≤ 3 , tìm GTNN của T =
x +
Câu 6 (2 điểm )
1 1 Cho tam giác ABC vuông tại C có hai đỉnh A, B thuộc đường thẳng x – 2y = 0 , cạnh BC
song song với Ox Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc đường thẳng 2x + y – 4 5 = 0 , còn
bán kính đường tròn nội tiếp là 3 - 5 Tìm toạ độ ba đỉnh
2 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(a ; 0; 0), D(0; b; 0) Tính thể
tích hình hộp biết hai mặt phẳng (A’BD) và (C’BD) vuông góc nhau
Câu 7 (1 điểm ) a , b là 2 nghiệm của phương trình z2 - 2z + 2 = 0 Tính giá trị của S = a16 + b16
GIẢI VẮN TẮT:
Câu 1
2) PT hoành độ giao điểm với Ox : x2 – mx - 2m = 0 ( x ≠ - 2)
( 2) 0
8 0
f
m
S m
⎧Δ = + >
⎪ − ≠
⎪ <=> < −
⎨
= <
⎪
⎪ = − >
⎩
Câu 2
Trang 21) PT Ù sin x cos x 3(cos x sin x) 2 2 2
cos x sin x cos x sin x cos x
cos x
sin x
+
ĐK : sin x.cos x ≠ 0 và sin x + cosx ≠ 0
Rút gọn: sin x – cos x = 3(cos x - sin x)sin x cos x + (cos3 x – sinx cos2x)
Ù cos x sin x 0 (1) 2
1 3sin x cos x + cos x (2)
⎡
⎢− =
⎣
(1) Ù x = π/4 + kπ (thỏa điều kiện ) (2) Ù – 1(1 + tan2 x ) = 3tan x + 1 Ù tan2 x + 3tanx + 2 = 0
Ù tanx = - 1 (loại) hay tan x = - 2 (nhận)
Ù x = arctan(- 2) + kπ
Cách khác: Đặt t = tanx và thay cos2x =
2 2
1
; 1
t t
− + sin2x = 2
2 1
t t
+ , ta được phương trình bậc 3 theo t
2)
3
x (1)
x
x + 3y = 4 (2)
y y
⎧ + = +
⎪
⎨
⎪
⎩
Từ (1) : (x 2 + 1)y = (y2 + 1) x
Ù (x – y)(xy – 1) = 0 Ù x = y hay xy = 1
* Thế vào (2):
Vơí : x = y : x3 + 3 x – 4 = 0 Ù (x – 1)(x2 + x + 4) = 0 Ù x = 1
Với y = 1/x : x4 – 4 x + 3 = 0
Hàm số ở VT có đạo hàm f’(x ) = 4x3 – 4 = 0 , đạt CT x = 1 và giá trị cực tiểu là 0, do đó x = 1 là
nghiệm duy nhất Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 1
Cách khác: x 4 – 4 x + 3 = 0 Ù (x – 1)(x3 + x 2 + x – 3) = 0 Ù (x – 1)2 (x2 + 2x + 3) = 0 Ù x = 1
Câu 3 I =
2
2 3
2 5
x + 4.xdx x
∫
Đặt t = x +4 2 , ta được : I = 4 2
3
4
t tdt
1 2
Câu 4 Chọn hệ trục với A(0; 0; 0), đơn vị độ dài là nửa cạnh hình lập phương và B(2 ; 0; 0), D(0 ; 2;
0), A’(0 ; 0; 2) Suy ra I(1; 2; 1) và O(1; 1; 0) G
VTPT của mp(ABCD) là G k=(0 ; 0 ; 1)
VTPT của (OA’I) là = [n JJJJG JJJGA O A I' , ' ]=
G G (3 ; - 1; 1) Vậy cosα = |cos (k n, )| = 1/ 11
a G bG
c
G
O
A
B
C
A
D
A’
B’
D’
C’
B
C
O
I
Trang 3Câu 5
* Trước hết ta CM rằng : | |aG +| | | | |bG + cG ≥ a b cG G G+ + |
(Vì OA + AB + BC ≥ OC; dấu bằng xãy ra khi ba vectơ OA AB BCJJJG JJJG JJJG, , cùng hướng
Do đó đặt (x ; ) ;2 ( ; ) ;2 ( ; )2 (x ;2 2 )
x
+ , suy ra :
z
Áp dụng Bđt Cauchy: (x + y + z) 3 2 2 2 3 1
z
Đặt t = 3 xyz t= : 0 < t ≤ x 1
3
y z
: T2 ≥ 9t2 + 36/t2
Hàm số f(t) = 9t2 + 36/t2 có f’(t) = 18t – 72t - 3 = 18t43 72 0, t (0;1]=> f(t) nghịch biến trên (0; 1]
t
− < ∀ ∈
Và min T = f(1) = 3 5Ù t = 1 và x = y = z Ù x = y = z = 1
Câu 6
1 Gọi A(2a; a) và B(2b; b), suy ra C = (2a; b) và tâm I của đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AB là
(a + b; (a + b)/2) Ta có : 2(a + b) + (a + b)/2 – 4 5 = 0 Ù a + b = 8 5 /5 (1)
Ta có : SABC = pr Ù AB AC BC = (AB + BC + CA) (3 - 5 )
Ù |(a – b) 2(a – b) (a – b) 5 | = |a – b|(3 + 5 )(3 - 5 )
Ù (a – b)2 5 = 2 Ù a – b = ± 2 5 / 5 (2)
Từ (1) và (2), ta được : (a = 5 , b = 3 5 /5 ) hay (a = 3 5 /5 ; b = 5 )
B
A
C
A
B
C
D
A’
B’
D
’
C’
O
2 A’(0; 0; h) => JJJGBA' (= −a; 0 ; ),h BDJJJG= −( a b; ;0) => VTPT của mp(A’BD) là :
n = BA BD = −bh −ah −ab
JG JJJG JJJG
C’ = (a ; b ; h) => BCJJJJG' (0; ; )= b h VTPT của mp(C’BD) là nJJG2 =[BC BDJJJJG JJJG' , ]=(- bh; - ah ; ab)
Trang 4Ta có: n nJG JJG1 2 =0 Ù (bh)2 + (ah)2 – (ab)2 = 0 Ù h =
2 2
ab
a +b
Và thể tích khối hộp là V = abh = 2
2 2
( )ab
a +b
Câu 7 Ta có : a = 1 – i b = 1 + i Suy ra : a = 2[cos(−π / 4)+isin(−π/ 4)] và b =
2[cos( / 4)π +isin( / 4)π ]
( 2) [cos(4 )π +isin(4 )] 2π =
=> S = a16 + b16 = 29
