(Sáng kiến kinh nghiệm) hướng dẫn học sinh tìm một số tính chất của hàm số y=f(x) từ đồ thị hàm số y =f(x)

Lí do chọn đề tài.Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạtđộng học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “nâng cao dân trí, đào tạo nhânlực, bồi dưỡng nhân

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài.

Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạtđộng học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “nâng cao dân trí, đào tạo nhânlực, bồi dưỡng nhân tài” giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặcbiệt là môn toán học rất cần thiết, không thể thiếu trong đời sống của con người.Môn toán là môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phầncác em ngại học môn này

Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán làhình thành và phát triển tư duy toán học tạo cho học sinh vốn kiến thức và vậndụng kiến thức vào thực tiễn Vì vậy việc hình thành cho học sinh phương phápgiải từng dạng toán là hết sức cần thiết

Trong giải tích, đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bàitoán Giữa hàm số f (x) và đạo hàm f '(x) của nó có nhiều mối liên hệ chặt chẽ.Điển hình là sự đồng biến nghịch biến, cực trị Đạo hàm của một hàm số ngoàiviệc biểu diễn dưới dạng công thức thì nó còn được thể hiện thông qua đồ thị.Việc dựa vào đồ thị của f '(x) để tìm ra được tính chất của hàm số f (x) đưa đếncho chúng ta những điều thú vị và những bài toán hay

Trong các đề thi hiện nay, xuất hiện nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thịcủa hàm số f '

(x) và yêu cầu chỉ ra tính chất về sự biến thiên cũng như cực trị vàmột số tính chất khác của hàm số f (x) Đặc biệt trong đề thi THPTQG môn toáncủa Bộ GDĐT năm 2017, một số câu vận dụng cao có đề cập đến dạng toán này

và cũng từ đó đến nay dạng toán này đã thường xuyên xuất hiện trong đề thikhảo sát môn toán của các Sở GDDT, các trường đại học và các trường THPT Trong năm học 2017 – 2018 tôi được phân công giảng dạy 2 lớp 12 củatrường THPT Dương Đình Nghệ Ngôi trường được chuyển từ bán công sangcông lập, chất lượng học sinh còn non hơn các trường bạn do vậy khi gặp dạngtoán này đa số các em rất bỡ ngỡ và không giải quyết được Là một giáo viên tôi

đã rất băn khoăn và trăn trở về việc làm thế nào để giúp học sinh có kiến thức và

kĩ năng khi giải các dạng toán này

Với các lí do trên tôi đã chọn bài viết “Hướng dẫn học sinh tìm một số tính chất của hàm số y=f (x ) từ đồ thị hàm số y=f '

(x)’’ trình bày một số cáchtiếp cận để giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số y=f '

(x)

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Tìm hiểu khó khăn của học sinh khi học phần đồ thị hàm số và các tínhchất của đồ thị hàm số Phân tích những sai lầm và đề xuất phương giải giúp họcsinh giải quyết tốt dạng toán này, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toántrong trường THPT nói chung và trường THPT Dương Đình Nghệ nói riêng

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

 Nghiên cứu một số ứng dụng của đạo hàm

 Nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân

 Hình thành phương pháp giải bài toán khi gặp đồ thị hàm số y=f '(x )

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, một số tài liệu có liên quan

 Chương ứng dụng đạo hàm, chương nguyên hàm, tích phân sách giáo khoa.Giải tích lớp 12

 Đề thi khảo sát môn toán lớp 12 của các sở GDĐT, các trường đại học, cáctrường THPT

 Điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu thông qua các giáo viên toán ở trườngphổ thông, qua các bài kiểm tra học sinh tại trường THPT Dương Đình Nghệ

 Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm một số tiết ở trường THPTDương Đình Nghệ

2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI

2.1 cơ sở lí luận.

Muốn học tốt môn toán các em cần phải nắm vững những tri thức khoahọc ở môn toán một cách hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từngdạng bài tập, điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải

có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học vànghiên cứu môn toán một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông,vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp cách giải

Trong quá trình giải toán ở nhà trường đặc biệt là cấp THPT Quốc gia, bàitoán tìm tính chất của hàm số y=f (x ) thông qua đồ thị của hàm số y=f '(x ) làmột trong những bài toán hay và mới cần có một phương pháp giải cụ thể rõràng để giúp học sinh giải quyết bài toán một cách hiệu quả Những kiến thức

cơ bản liên quan đến vấn đề này

2.1.1 Quy tắc tính đạo hàm (sách giáo khoa Giải tích lớp 11).

2.1.2 Ứng dụng của đạo hàm (sách giáo khoa Giải tích lớp 12).

2.1.3 Định nghĩa nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của nó (sách giáo khoa Giải tích lớp 12).

2.2 Thực trạng của đề tài.

Học sinh trường THPT Dương Đình Nghệ là đối tượng tuyển sinh có đầuvào thấp, cho nên đa số các em không có tố chất nên khi học tập các em tiếp thuchậm, không hệ thống được kiến thức, không tự trau dồi thêm cho mình kiếnthức mới sau mỗi bài giảng, không rút ra cho mình một kinh nghiệm, mộtphương pháp giải sau mỗi bài toán Khi gặp các bài toán về đồ thị của hàm f '

định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏqua hoặc không giải được hoặc trình bày cách giải dạng loại bài toán này.

Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ

rõ cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợp

lý đối với từng loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận cólogic tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên cơ sở đóhình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán về đồ thị hàm số

y '=f '(x )

2.3 Giải pháp giải quyết vấn đề

2.3.1 Đồ thị hàm số y=f '(x ) và tính đồng biến nghịch biến của hàm số

y=f ( x ).

2.3.1.1 Một số kiến thức cần nhớ

Định lí: Hàm số y=f (x ) có đạo hàm trên K

1 Nếu f ' (x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x ) đồng biến (tăng) trên K.

2 Nếu f '(x )<0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x ) nghịch biến (giảm) trên K.

Dựa vào đồ thị hàm số f ' (x) ta nhận thấy:

a) Nếu f ' (x)>0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị của hàm sốf ' (x)

nằm phía trên trục hoành

b) Nếu f '(x )<0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị của hàm sốf ' (x)

nằm phía dưới trục hoành

có đồ thị của hàm số y  f x'( ) như hình bên Khi

đó hàm số đồng biến trên khoảng

như hình bên Khi đó hàm số nghịch biến

Ví dụ 3 (Đề tham khảo của Bộ GD và ĐT năm 2018)

Cho hàm số y f x  .Hàm số y  f x 

có đồ thị như hình bên Hàm số y f 2x đồng biến trên

 Cách giải:

+) Quan sát đồ thị hàm số y=f '(x ) ta có f '(x )<0 ⇔[1<x <4 x ←1

+) Tính [f (2−x )]'=−f '(2−x) hàm số y=f (2−x) đồng biến khi

+) Vậy đáp án đúng là đáp án C.

Ví dụ 4 Cho hàm số có đạo y=f (x ) hàm liên tục trên 

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số

B Hàm số g(x ) nghịch biến trên  ; 1 

C Hàm số g(x ) nghịch biến trên  1;2

D Hàm số g(x ) đồng biến trên 2;

 Định hướng: Vẫn là yêu cầu suy ra tính chất của hàm số hợp nên hướng tiếp

cận bài toán của học sinh cũng tương tự như ví dụ 3 nhưng biểu thức hàm hợpphức tạp hơn

quan sát đồ thị hai hàm số trên ta có:

+) Vậy y=−2 f (2−x )+x2 nghịch biến trên (

2.3.1.3 Phương pháp: Qua một số ví dụ trên rút ra phương pháp chung cho bài

toán từ đồ thị hàm số của hàm số y=f '

(x) để suy ra tính đồng biến, nghịch biếncủa hàm số y=kf (u)+g(x) với k là hằng số

 Tính y '

=kf '(u)+g '

(x)

 Tìm mối liên hệ giữa đồ thị hàm số f '(x ) và f '

(u), sau đìm mối liên hệ giữa đồthị hàm số f '

Bài 1 Cho hàm số y=f (x ) xác định, liên tục trên  và

có đạo hàm f '(x) Biết rằng hàm số f '(x) có đồ thị như

hình vẽ bên Mệnh đề nào sau đây đúng

A Hàm số y=f (x ) đồng biến trên khoảng (2;0)

B Hàm số y=f (x ) nghịch biến trên khoảng 0;

C Hàm số y=f (x ) đồng biến trên khoảng  ; 3 .

D. Hàm số y=f (x ) nghịch biến trên khoảng

 3; 2 .

Bài 2 Cho hàm số f(x) xác định trên  và có đồ thị

hàm số y=f '(x) là đường cong trong hình bên Mệnh đề

nào dưới đây đúng?

A Hàm số f ( x )nghịch biến trên khoảng1;1 

B Hàm số f ( x )đồng biến trên khoảng 1; 2 

C Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng 2;1 

D Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng 0; 2 

Bài 3: Cho hàm số y  f x( ) Đồ thị của hàm số

có bao nhiêukhoảng nghịch biến

đạo hàm y' f x'  có đồ thị như hình bên Khẳng định

nào sau đây đúng?

A Hàm số y  f x 

đồng biến trên ;0 và 2; .

2.3.2 Đồ thị hàm số y=f '(x) và cực trị của hàm số y=f (x ).

2.3.2.1 Một số kiến thức liên quan

 Nếu hàm số y=f ( x ) có đạo hàm trên (a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0thì f '

 Nếu f '

(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu, nếu

f '(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 thì x0 là điểm cực đại.

 Định hướng Quan sát đồ thị hàm số y=f '(x ) nhận xét về số giao điểm của

đồ thị và trục hoành, phần đồ thị nằm phía trên, phía dưới trục hoành để kếtluận về dấu của hàm số y=f (x ) tương ứng

 Cách giải +) f '(x )=0 có 4 nghiệm phân biệt nhưng chỉ có 3 nghiệm làm chođạo hàm f '(x) đổi dấu nên hàm số chỉ có 3 điểm cực trị Chọn C.

Ví dụ 2 : Cho hàm số y=f (x ) xác định và có đạo

hàm f '(x) Biết rằng hình vẽ bên là đồ thị của

hàm số f '

(x)

Khẳng định nào sau đây là đúng về cực trị của

đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm nào?

 Cách giải Tại x=1 hàm số f '(x) đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số f (x)

đạt cực tiểu tại x=1 Chọ đáp án B.

Ví dụ 3 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f x( )

có đồ thị như hình vẽ Hàm số

3 2

y=f '(x) như hình vẽ Hàm số y=f (2 x2+1)

có bao nhiêu điểm cực trị?

2.3.2.3 Phương pháp Để tìm cực trị của hàm số y=kf (u)+g(x) từ đồ thị hàm số

y=f '(x ) gồm các bước sau

 Tìm đạo hàm của hàm số y '=(kf (u)+g(x ))'

−12

Bài 1 Đồ thị sau đây là của hàm số y=f '(x ) Khi

đó hàm số y=f (x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A xCT   B 1 CT

1x

2



C x CT   2 D xCT  0

2.3.3 Đồ thị hàm số y=f '(x) và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y=f (x )

2.3.3.1 Một số kiến thức liên quan

 Dấu hiệu nhận biết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng bảng biến thiên.

Bảng 1

y f x cắt trục Ox tại ba điểm lần lượt có

hoành độ , ,a b c như hình vẽ Mệnh đề nào dưới

2-3

4

31

Ví dụ 2 Cho hàm số y=f (x ) có đạo hàm f '

(x) liêntục trên  và đồ thị của hàm số f '(x) trên đoạn

Ví dụ 3 Cho hàm số y=f (x ) liên tục trên R Đồ thị

của hàm số y=f '(x) như hình bên Đặt

g ( x )=2 f ( x )−( x+1)2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

21-2

4

3

D Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g(x ) trên 3;3 

Định hướng Để tính được các giá trị min f(x) trước tiên quan sát đồ thị hàm

2.3.3.3 Phương pháp: Để tìm cực trị của hàm số y=kf(u(x))+g (x) từ đồ thị hàm

số y=f '(x ) gồm các bước sau

Tìm đạo hàm của hàm số y '

=(kf(u(x ))+g (x))'

Quan sát đồ thị và lập BBT, so sánh một số giá trị của hàm số

Quan sát đồ thị để so sánh diện tích hình phẳng để so sánh một số giá trị

Từ đó rút ra kết luận của bài toán

2.3.3.4 Bài tập rèn luyện.

Bài 1 Cho hàm số y=f (x ) Đồ thị hàm số như

hình y=f '(x ) vẽ bên Đặt M=max[−2;6 ]f (x)

Bài 2 Cho hàm số y=f¿) có đồ thị y=f '(x ) cắt

trục Ox tại ba điểm có hoành độ a<b<c như

Bài 5 Cho hàm số y=f (x ) có đồ thị y=f '(x )

2.4 Hiệu quả của đề tài

 Trong quá trình giảng dạy nội dung từ đồ thị hàm số y=f '(x ) suy ra một sốtính chất của hàm số y=f (x ), bản thân tôi và đồng nghiệp đã hình thành chomình phương pháp để truyền đạt kiến thức, kĩ năng cho học sinh một cách dễhiểu nhất, tạo cho học sinh niềm đam mê khi học nội dung này

 Đối với học sinh, các em nắm vững kiến thức Đạo hàm, Ứng dụng đạo hàm,Tích phân, Ứng dụng tích phân Đặc biệt rất tự tin khi gặp dạng toán nàytrong các đề thi thử THPTQG

 Để kiểm tra tính hiệu quả của đề tài tôi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng

có chất lượng tương đương nhau là học sinh lớp 12A1, 12A6 trường THPTDương Đình Nghệ - Thiệu hóa Trong đó lớp 12A6 chưa được tiếp cậnphương pháp đã sử dụng trong đề tài, kiểm tra bằng hình thức trắc nghiệm,thời gian làm bài 15 phút với kết quả thu được như sau

Lớp Sĩ số Điểm < 5 5 Điểm<8 Điểm 8

 Đối với đồng nghiệp trong trường tôi cũng đã triển khai ở các buổi sinh hoạtchuyên môn và được các đồng chí đánh giá cao về hiệu quả trong quá trìnhgiảng dạy, ra đề thi trắc nghiệm và hướng dẫn học sinh làm bài thi trắcnghiệm môn Toán

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận.

Thực tế giảng dạy, áp dụng ở các lớp 12 trường THPT Dương Đình Nghệ

-Thiệu Hóa Tôi đã thu được các kết quả khả quan, không chỉ giúp cho học sinhnắm vững kiến thức đạo hàm, ứng dụng đạo hàm, tích phân, ứng dụng tích phân

mà con giúp học sinh tránh được các sai lầm trong việc giải toán Ngoài ra, họcsinh còn phát hiện, tìm tòi các cách giải hay đối với việc giải các bài toán trongsách giáo khoa và sách bài tập và phân tích được các phương án gây nhiễu trong

đề thi trắc nghiệm giúp các em tự tin hơn trong khi học và làm bài thi trắcnghiệm.

3.2 Kiến nghị

 Nhà trường cần tổ chức nhiều hơn các buổi trao đổi phương pháp giảng dạycho toàn thể cán bộ giáo viên

 Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng nên được công bố rộng rãi

 Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng họctập

 Qua việc nghiên cứu một vấn đề nhỏ này tôi hy vọng cùng các đồng nghiệp

có thể góp phần nhỏ cải tiến, đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 4 năm 2018.

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, không sao chép nội dung của người

khác

(Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Thị Minh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa giải tích 11 Nâng cao – Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) - Nhà xuất

6 Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet

7 Tham khảo đề thi THPTQG môn toán năm 2017