(Sáng kiến kinh nghiệm) hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về đồ thị hàm số

Lí do chọn đề tài Trong chương trình môn Toán THPT, chủ đề Hàm số và đồ thị hàm sốchiếm một khối lượng lớn kiến thức và được giảng dạy ở cả lớp 10, lớp 11 vàlớp 12.. Có lẽ cũng vì lí do

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

II HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3 Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về đồ thị của hàm số 3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 17

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 17

3.1 Kết luận 17

3.2 Kiến nghị 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO 18

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ

ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình môn Toán THPT, chủ đề Hàm số và đồ thị hàm sốchiếm một khối lượng lớn kiến thức và được giảng dạy ở cả lớp 10, lớp 11 vàlớp 12 Học xong chương trình THPT học sinh phải nắm vững khái niệm hàmsố; khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số; đọc được đồ thị hàm số Các bài toán dạngnhận diện đồ thị của hàm số và giải quyết các bài toán liên quan giúp các emcủng cố và nắm vững các khái niệm và tính chất cơ bản của hàm số rất tốt

Từ khi Bộ Giáo dục và Đào tạo thay đổi từ hình thức thi tự luận sang hìnhthức thi trắc nghiệm khách quan trong kì thi THPT Quốc Gia đòi hỏi cần có cáccâu hỏi kiểm tra ở các mức độ vận dụng, vận dụng cao của người học mà hạnchế sử dụng máy tính cầm tay; hoặc quá khó học sinh chỉ biết “lụi” phương ánngẫu nhiên Với thế mạnh riêng của chủ đề hàm số và đồ thị, người ra đề cónhiều đất để sáng tạo các câu hỏi kiểm tra các mức độ tư duy cao mà không sa

đà vào đánh đố; không phải trắc nghiệm hóa các bài toán tự luận khó (như cácbài thi chọn học sinh giỏi quốc gia; thi Olympic quốc tế,…) không phù hợp vớitiêu chí của kì thi Các câu hỏi về đồ thị hàm số kiểm tra được năng lực tư duycao rất tốt Có lẽ cũng vì lí do này, trong các đề thi THPT Quốc Gia hàng nămcũng như các đề thi Khảo sát chất lượng ôn thi THPT Quốc gia của các Sở Giáodục và Đào tạo, của các trường THPT trên cả nước xuất hiện ngày cảng nhiềucác dạng toán về đồ thị hàm số

Khi tổ chức, hướng dẫn các em học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia,tôi nhận thấy sự lúng túng, khó khăn của các em khi giải các bài tập mức vậndụng và vận dụng cao liên quan đến đồ thị hàm số Bởi vậy, tôi lựa chọn đề tài

SKKN: “Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về đồ thị hàm số” Đề tài

này tôi đúc rút những kinh nghiệm bản thân về những dạng toán thường gặpgiúp các em học sinh lớp 12 giải được các dạng toán về đồ thị hàm số Đề tàiSKKN này là một góp ý, trao đổi của tác giả với các đồng nghiệp để nâng caochất lượng dạy học chủ đề hàm số và đồ thị

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là đưa ra những phương pháp giải cácdạng toán thường gặp về đồ thị hàm số giúp các em học sinh lớp 12, các em họcsinh chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc Gia áp dụng vào các bài tập về đồ thịhàm số ở mức độ vận dụng và vận dụng cao Đồng thời thông qua đó nâng caokhả năng tư duy, sáng tạo của học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các nội dung kiến thức và kĩ năng chủ

đề hàm số và đồ thị; các phép biến đổi đồ thị; tương giao giữa các đồ thị hàm số

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về chủ đề hàm số và đồ thị Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực của học sinh khi học và giải các

bài toán thuộc chủ đề hàm số và đồ thị đặc biệt là các bài toán liên quan đến đồthị của hàm số; những khó khăn mà học sinh thường mắc phải khi giải các dạngtoán về đồ thị

Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học

sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài

II HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN

VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Chủ đề hàm số và đồ thị học ở cả chương trình môn Toán lớp 10, lớp 11

và lớp 12 Cụ thể như sau:

Trong chương trình môn Toán 10: Chủ đề hàm số được học ở chương 2

(Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai); học sinh được học các khái niệm cơbản nhất về hàm số (tập xác định; sự đồng biến và nghịch biến của hàm số; đồthị hàm số; hàm số chẵn và hàm số lẻ; …) Các bài toán sử dụng đồ thị để biệnluận phương trình, bất phương trình cũng được học lồng ghép ở các bài học liênquan đến phương trình và bất phương trình

Trong chương trình môn Toán 11: Chủ đề hàm số được học ở ba chương

(Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác; Chương 4: Giớihạn; Chương 5: Đạo hàm)

Trong chương trình môn Toán 12: Chủ đề hàm số được tiếp nối chương

trình môn Toán 10 và 11 và được học ở chương 1 (Chương 1: Ứng dụng đạohàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số)

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy đa phần học sinh làm được các bài toánkhảo sát và vẽ đồ thị hàm số, nhưng sử dụng đồ thị một hàm số để giải các bàitoán liên quan thì các em lại gặp khó khăn Chẳng hạn bài toán: “Cho đồ thị hàm

số  C y: f x  , tìm m để phương trình f u x     có nghiệm” nhiều emm

không giải được

Sự xuất hiện ngày càng nhiều dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số trongcác đề thi THPT Quốc Gia chính thức của Bộ Giáo dục và Đào tạo cũng như các

đề thi Khảo sát lớp 12 môn Toán (Các đề thi thử) của các Sở Giáo dục và Đàotạo; của các trường THPT trên toàn quốc đòi hỏi nhu cầu tổng kết các dạng toán

đó Trên cơ sở các dạng toán cơ bản, học sinh sẽ dễ dàng tiếp cận và giải đượccác bài toán khó hơn về đồ thị.

Qua tham khảo các Đề thi thử và Đề thi chính thức của kì thi THPT QuốcGia, tác giả chia thành năm dạng toán sau đây

 Dạng 1: Đồ thị hàm số và bài toán xét biện luận số nghiệm của mộtphương trình

 Dạng 2: Đồ thị hàm số và chiều biến thiên của hàm số

 Dạng 3: Đồ thị hàm số và bài toán cực trị

 Dạng 4: Đồ thị hàm số và bài toán so sánh các giá trị của hàm số

 Dạng 5: Đồ thị hàm số và bài toán tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.SKKN này tác giả đưa ra một số ví dụ cho mỗi dạng, qua đó giúp học sinhlàm tốt các bài toán tương tự của mỗi dạng Các ví dụ này được trích từ các Đềthi thử của một số trường và Sở Giáo dục và Đào tạo trên toàn quốc

2.3 Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về đồ thị của hàm số

2.3.1 Dạng 1: Đồ thị hàm số và bài toán xét biện luận số nghiệm của một phương trình

Ví dụ 1 ( Trích Đề thi thử trường THPT

Yên Khánh A - lần 4 -2019) Cho hàm số

 

f x liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

bên Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m để phương trình f  4 x2 m có nghiệm

thuộc nửa khoảng   2 ; 3 là

A 1;3. B 1; f  2  .

C 1;3. D 1;f  2  .

Phân tích và cách giải bài toán:

 Một dạng toán quen thuộc học sinh thường gặp là “Dựa vào đồ thị  C

của hàm số yf x , tìm tham số mđể phương trình f x   cóm

nghiệm ”

Cách giải bài toán: Số nghiệm của phương trình f x   là số giaom

điểm của đồ thị  C hàm số y f x  và đường thẳng d y m:  Do đó,

để phương trình f x   có nghiệm ta tìm m m để  C và đường thẳng d

cắt nhau

 Khi ta thay biến x bởi hàm số u u x   , ta chuyển bài toán về dạng “Dựa

vào đồ thị  C của hàm số y f x , tìm tham số mđể phương trình

 

f u x  có nghiệm ”.m

Cách giải bài toán: Trước hết ta tìm tập giá trị của hàm số u u x   , giả

sử tập giá trị đó là tập X Khi đó, phương trình f u x     có nghiệmm

khi và chỉ khi đường thẳng d y m:  cắt đồ thị  C y: f x  tại điểm có

hoành độ x X

Lời giải Chọn A

Ví dụ 2 (Trích Đề thi thử trường THPT

Thăng Long Hà Nội - 2019) Cho hàm số

 

y f x liên tục trên  và có đồ thị như

hình vẽ bên Tập tất cả các giá trị của m để

có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu

giá trị nguyên của m để phương trình

Với t   3;3 , quan sát đồ thị, ta thấy  5 f t   , suy ra 1 10 2 f t   2

Do đó để phương trình 2.f 3 3 9x2 30x 21  m 2019 có nghiệm, với

y f x và đường thẳng y5h song song với trục hoành.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f x   có 4 nghiệm phân biệt5h

2.3.2 Dạng 2: Đồ thị hàm số và chiều biến thiên của hàm số

Bình Giang - Hải Dương - Lần 2 - 2109)

Cho hàm số yf x  có liên tục trên

 Đặt t  2 x thì f 2 x   trở thành x f t    Từ tương giaot 2giữa đồ thị hai hàm số y f x  và y x  2 ta tìm được nghiệm của bất

phương trình f 2 x   x

Lời giải Chọn B

Do đó, hàm số y g x   nghịch biến trên 1;2 a  với 0 2  a1.

Dễ thấy, chỉ có đáp án B thỏa mãn vì 1;0  1;2 a  với 0 2  a1

Từ giả thiết f  0  nên 0 g 0 3f  0  03 0

Dựa vào đồ thị của hàm số yf x  và y x ta có bảng biến thiên của hàm2

Từ đó ta suy ra bảng biến thiên của hàm số yg x  3f x   x3 như sau:

Vậy hàm số y3f x   x3 đồng biến trên khoảng 0;2 

2.3.3 Dạng 3: Đồ thị hàm số và bài toán cực trị

Phân tích và cách giải: Để giải dạng toán này, ta chú ý tới các điểm sau

 Hàm số y f x  đạt cực trị tại điểm x0 thì y f x  liên tục trên

khoảng a b nào đó với ;  x0a b;  và f x  đổi dấu khi x qua x0.

 Nếu đồ thị hàm số yf x  cắt đường thẳng (không tiếp xúc) y m tại

điểm x0thì f x   mđổi dấu khi x qua x0.

Lời giải Chọn B

x y

O

1

24

Ta có bảng xét dấu của 2 x f1 x2 sau

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số y f 1 x2 có 3 điểm cực trị.

Phân tích và cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số y f x  ta lập được bảng biến

thiên của hàm số y f x  trên đoạn 2;10 Trên cơ sở bảng biến thiên của

hàm số y f x  trên đoạn 2;10 và giả thiết f  0  f  6 f  5  f  10 ,chúng ta xác định được giá trị lớn nhất của hàm số yf x  trên 2;10.

Lời giải

Chọn D

Bảng biến thiên của hàm số y f x  trên 2;10

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của yf x  trên 2;10chỉ có

thể tại x 0 hoặc tại x 10

Ta có f  0  f  6 f  5  f  10  f  0  f  10 f  5  f  6 .

Mà f  5  f  6 0 f  0  f  10  0 f  0  f  10 .

Vậy giá trị lớn nhất của y f x  trên 2;10bằng f  10 .

Ví dụ 11 (Trích Đề thi THPT Quốc Gia

Từ bảng biến thiên suy ra g 1 g 3 , g 1 g 3

Ta so sánh g 3 và g  3 : Hàm số đồng biến trên khoảng 3;1 , suy ra

 1  0

g g  g 1 g 3 g 0 g 3 g 1 g 3  g 3 g 3 Vậy g 1 g 3 g 3 .

2.3.5 Dạng 5: Đồ thị hàm số và bài toán tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

 Do đó, số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y g x   là số nghiệm của

phương trình f x  f2 x  16 0 thỏa mãn điều kiện x 1.

Lời giải Chọn B

Điều kiện xác định của hàm số  

  2 

116

x a x b  f x  có ba nghiệm phân biệt   4 x 1; x a ; x b 

đồ thị hàm số y g x   có 3 tiệm cận đứng x 1; x a ; x b .

Vậy đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận đứng

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

SKKN đã được tác giả triển khai dạy cho học sinh lớp 12A năm học 2018– 2019 của trường THPT Tống Duy Tân ở các tiết tự chọn Sau khi học nội dungnày, tác giả nhận thấy các em học sinh tiếp nhận tốt nội dung kiến thức được đềcập Thông qua các ví dụ được trình bày, các em có thể giải các bài toán tương

tự và tìm ra cách giải các bài toán cụ thể cùng chủ đề

SKKN cũng được các thầy cô bộ môn toán trường THPT Tống Duy Tângiảng dạy các tiết dạy tự chọn toán lớp 12, dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi vànhận được phản hồi tốt SKKN được các thầy cô sử dụng làm tài liệu giảng dạyhữu ích

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Những dạng toán về đồ thị được trình bày trong SKKN này là những dạngtoán cơ bản và thường gặp, các ví dụ được tác giả chọn lựa phù hợp và tiêu biểu,giúp học sinh nắm vững cách giải lớp các bài toán liên quan Nội dung SKKN

là tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, là tài liệu thamkhảo phục vụ cho công tác giảng dạy đối với giáo viên

3.2 Kiến nghị

Xuất phát từ tâm nguyện của một giáo viên đang từng ngày giảng dạy chohọc sinh, tôi mong muốn nếu đề tài của tôi được đánh giá tốt thì cần được phổbiến một cách rộng rãi để tài liệu đến tay những giáo viên và học sinh yêu thíchmôn toán

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dụcViệt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)

2 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục ViệtNam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)

3 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Đại số và giải tích 11 11 nâng cao, Nhàxuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)

4 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Đại số và giải tích 11, Nhà xuất bản Giáodục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)

5 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản Giáodục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)

6 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục ViệtNam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)

7 Các Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 Năm 2018 Các Đề thi thử THPTQuốc gia năm 2019 của các trường THPT, các Sở Giáo dục và Đào tạotrên cả nước

DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC

CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Đỗ Đường Hiếu

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Tống Duy Tân

Cấp đánh giá xếp loại

(Ngành GD cấphuyện/tỉnh;

Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B,hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Hướng dẫn học sinh giải bài

trình bậc hai chứa tham số

và thỏa mãn điều kiện phụ

Ngành GD cấp

3 Xây dựng hệ thống bài tập

dạy học chủ đề ứng dụng

hình học của tích phân theo

định hướng phát triển năng