Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tối ưu

Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tối ưu 1 1 MỞ ĐẦU 1 1Lí do chọn đề tài Mục tiêu của giáo dục là đào tạo nguồn nhân lực có trình độ ngày càng cao để phục vụ đất nước Trong[.]

1 MỞ ĐẦU :

1.1Lí do chọn đề tài

Mục tiêu của giáo dục là đào tạo nguồn nhân lực có trình độ ngày càng cao

để phục vụ đất nước Trong Luật giáo dục 2005 cũng khẳng định “Hoạt động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lí học đi đôi với hành, giáo dục phải kết hợp với lao động sản xuất, lí luận phải gắn liền với thực tiễn” Như vậy việc đổi mới giáo dục hiện nay giúp nội dung học tập gắn với thực tế nhằm phù hợp yêu cầu của xã hội

Toán học là môn học ngoài việc cung cấp kiến thức cơ bản còn giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng tư duy logíc, tư duy trừu tượng và phương pháp nghiên cứu khoa học, kích thích tính sáng tạo Ngoài ra Toán học còn có ứng dụng vào thực tế đời sống Thế nhưng việc vận dụng thực tế đôi khi không được giáo viên và học sinh quan tâm

Mục tiêu đặt ra là giải quyết các bài toán tối ưu vào cuộc sống để giảm chi phí hoặc tăng lợi nhuận đang là một vấn đề cần thiết trong xã hội Vấn đề này còn rất ít tài liệu hướng dẫn và phổ biến Vì thế tôi đã chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tối ưu” này giúp các em phần nào giải quyết và vận dụng

nó vào cuộc sống

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài là nghiên cứu một số bài toán ứng dụng để giải quyết vấn đề tối ưu trong thực tế cuộc sống đó là bài toán tối ưu trong lĩnh vực kinh doanh, xây dựng, y tế , giúp nâng cao hiệu quả kinh tế

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán tối ưu về thể tích, tính diện tích, về khoảng cách, chi phí tồn kho, áp dụng vào chăn nuôi, y tế,

Từ các bài toán tổng quát hoặc cụ thể áp dụng vào thực tế

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phân loại một số dạng toán tối ưu, cơ sở lí thuyết để giải quyết nó Vận dụng vào thực tiễn các dạng bài tập ứng dụng

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Bất đẳng thức trong tam giác xảy ra dấu bằng

Bất đẳng thức cosi và bunhiacopxki

Dùng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

2.2Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Những năm gần đây tình hình dạy và học môn Toán ở trương THPT Vĩnh Lộc đã đạt được những kết quả nhất định Tuy nhiên theo tôi việc vận dụng toán học vào thực tế còn hạn chế

Thứ nhất: Học sinh không biết chuyển yếu tố hình học sẵn có về các biểu thức đại số và sử dụng các kiến thức trên để tìm Max, min của biểu thức

Thứ hai: Học sinh còn lúng túng trong việc xác định dạng bài toán để áp

dụng

Từ thực trạng trên tôi xin đề xuất một số ví dụ cho từng loại, hệ thống và hướng dẫn cách vận dụng nhằm khắc phục tình trạng trên, nâng cao hiệu quả dạy học bộ môn

2.3 Cách giải quyết vấn đề : Một số bài toán tối ưu

2.3.1 Bài toán liên quan đến thể tích

Bài toán 1: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt ở bốn góc bốn

hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại như hình dưới để được cái hộp không nắp Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.

Bài giải

a

x

Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt, điều kiện

2

0  x a Thể tích của khối hộp là V(x)  x(a 2x) 2

Bài toán trở về việc tìm x )

2

; 0

 sao cho V(x) đạt GTLN.

Ta có V’(x) = (a-2x)2 + x.2(a-2x)(-2) = (a-2x)(a-6x) V’(x) = 0  x =

6

a

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên

 hàm số chỉ có một điểm cực trị là điểm CĐ x =

6

a

Nên tại đó hàm số V(x) đạt GTLN Vậy cạnh của các hình vuông bị cắt là x =

6

a

Bài toán 2: Cắt bỏ hình quạt tròn AOB (hình dưới) từ một mảnh các tông hình

tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (H1.3), 0 < x < 2 

a)Hãy biểu diễn bán kính r của hình tròn đáy và đường cao h của hình nón theo R và x Tính thể tích hình nón theo R và x.

x V’(x) V(x)

0 27

2a3

0

0

0

6

a

2

a

A,B r

R h

O

x V’(x) V(x)

0

3

27

3 2

R



0  2

3

6

b)Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất, và tính giá trị lớn nhất đó.[2]

Bài giải

a) Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón bằng độ dài cung AB của quạt tròn dùng làm phễu, nên ta có 2 = Rx  r =



2

Rx

2

2 2 2 2

2

R x R R r







24 3

2

3

V

b) Bài toán quy về tìm x (0; 2 ) sao cho tại đó V đạt GTLN

Ta có V’ =

2 2

2 2 2

3

4

) 3 8 (

x x

R









 với x (0; 2)  V’ = 0  x = 3 

6

2 Bảng biến thiên :

Vậy hình nón có thể tích lớn nhất khi x = 

3

6

2  1,63 MaxV = 3

27

3 2

R



Từ đây có thể áp dụng vào giải một loạt các bài toán trắc nghiệm

Bài toán 3: Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng

(H.12) Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20m rộng 5m.Gọi x (m) là độ dài cạnh BC Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất, tìm giá trị đó [2]

Bài giải:

5 m

20 m

x m

A'

C'

B'

B C

A

0 5 2 10

f’(x)

2



fx x) f(x)

0

f(x)

-x

250

Ta có đáy ABC là tam giác có các cạnh là 5 ; 5 ; x

4

1 ) 10 (

) 10 ( 4

1

x x

x x

x

Ta có thể tích lăng trụ V(x) = SABC.AA’ = 5x 100 x 2 (m3)

Hình lăng trụ có thể tích lớn nhất  hàm số f(x) = 5x 100 x 2 đạt GTLN với x

 (0; 10) Ta có f’(x) =

2

2 2

100

5 100

5

x

x x





f’(x) = 0  100 - x2 = x2  x2 = 50 x = 5 2

Bảng biến thiên:

Vậy V lăng trụ lớn nhất khi x = 5 2, khi đó V = 250 m3

2.3.2 Bài toán liên quan đến diện tích

Bài toán 1: Một hộp không nắp được làm từ

một mảnh các tông theo mẫu (hình vẽ) Hộp

có đáy là một hình vuông cạnh x(cm), chiều

cao h(cm) và có thể tích là 500cm 3 Tìm x sao

cho S(x) nhỏ nhất

Bài giải:

Ta có thể tích của khối hộp là:

2

500

x

Diện tích của mảnh các tông dùng làm hộp

2

2000

x

Bài toán quy về tìm x  ( 0 ;   ) sao cho tại đó S(x) đạt GTNN

2000

x

Suy ra bảng biến thiên sau:

x

x

h

h

x 0 10 +



S’(x) S(x)

0

+ + 



300

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy S(x) đạt GTNN tại x = 10 Vậy muốn tốn

ít nguyên liệu nhất ta lấy độ dài cạnh đáy của hình hộp là x = 10 cm

Bài toán 2: Một nhà máy cần sản xuất một bể nước bằng tôn có dạng hình hộp

đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng không nắp, có thể tích m4 3 Hãy tính kích thước của bể sao cho tốn ít vật liệu nhất.

3

Bài giải

Gọi x, h là chiều rộng đáy và chiều cao của khối hộp x, h  (0; +)

2x

h

x

Ta có chiều dài đáy là 2x ; Thể tích V = 2x.x.h = 2x 2 h=4/3  h = 2 2

3

2

2V  x x

Diện tích vật liệu làm khối hộp là S = Sđ + Sxq = 2x.x + 6x.h

 S(x) = 2x 2 +

x

4

Xét hàm số S(x) = 2x 2 +

x

4

với x  (0; +)

S’(x) =4x - 42

x , S’(x) =4x - 42

x = 0 x = 1.

Bảng biến thiên:

x 0 1 +

S’(x)

S(x)

0

6

Từ bảng biến thiên suy ra MinS = 6 khi x = 1 h =2/3

Vậy để tốn ít vật liệu nhất thì bể cần làm có kích thước là: đáy có chiều rộng là 1

m, chiều dài là 2m, chiều cao của khối hộp là 2m

3

Bài toán 3: Người ta muốn sản xuất những cái hộp hình trụ đứng tròn xoay kín

hai đáy với thể tích cho trước bằng V Hãy tìm kích thước của hộp sao cho tốn ít vật liệu nhất [1]

Bài giải

Gọi bán kính đáy của hình trụ là x (x > 0), chiều cao là h, theo công thức tính thể tích khối trụ ta có :V = 2 2

x

V h h x



Độ lớn của vật liệu làm hộp là diện tích toàn phần của hình trụ có chiều cao

h bán kính đáy x, khi đó

Stp = 2xh + 2x2 = 2 x2 +

x

V

2

Xét hàm số f(x) = 2x2 +

x

V

2 , x > 0

Ta có: f’(x) = 4x - 22

x

V ; f’(x) = 0  x =



2

3 V Bảng biến thiên:

x 0 3 +

2

V

S’(x)

S(x)

0

-+ +  + 

Từ bảng biến thiên suy ra S(x) nhỏ nhất khi x =



2

3 V Vậy để tốn ít vật liệu nhất thì hộp hình trụ phải có bán kính đáy x =



2

3 V , chiều cao h = 2x.[4]

Bài toán 4: Tìm diện tích lớn nhất của hình

chữ nhật nội tiếp trong nửa hình tròn bán kính

R, nếu 1 cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo

đường kính hình tròn?

HD: Gọi MQ = x là độ dài cạnh hình chữ nhật

không nằm dọc theo đường kính hình tròn Độ

dài cạnh còn lại:

PQ = 2 R2 x2 suy ra diện tích hình chữ nhật : S = 2x R2 x2

Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số x2 , R2 x2ta được :

Sx2 R2 x2 R2

Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất bằng R2 khi 2 2 2 2

2

x R x  x R

Cách 2: Khảo sát hàm S(x) =2x R2 x2 trên (0; R) ta cũng có kết quả như trên

Ví dụ áp dụng : Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có bán kính R=3, người ta

muốn cắt ra một hình chữ nhật (xem hình) có diện tích lớn nhất Diện tích lớn nhất có thể có của miếng tôn hình chữ nhật là

A 9 B 7 C 6 2 D 6 3

HD: Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x Chiều dài hình chữ nhật là

2 R x  2 9 x

Diện tích hình chữ nhật là S = x 2 9 x2  2 x2 (9 x2 ) x2   (9 x2 ) 9 

Dấu “=” xảy ra … MaxS = 9 Chọn A

h x

Bài toán 5: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả

thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

HD:Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là SS MNPQ  4xy

MP

Ta có 2x AB MN   AB 20 2 BD 20 2 40 20 2      0 x 20 10 2 

AB AD BD   x y 

2 800 80 2 4 2 800 80 2 4 2

Thế vào  1  S 800 4  x 800 80  x 2 4  x2  800 4 800  x2  80x3 2 4  x4

Xét hàm số f x  800x2  80x3 2 4  x4, với x0; 20 10 2   có

f x'  1600x 240x2 2 16  x3  16 100 15x  x 2 x2

 

0; 20 10 2

2

x x

x

Khi đó 5 34 15 2 chính là giá trị thỏa mãn bài toán

2

Bài toán 6: Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một cái hàng rào

hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng một mét Tìm diện tích lớn nhất của khu đất rào được.

HD: Phân tích: ta đặt các kích thước của hàng rào như hình vẽ:

Từ đề bài ban đầu ta có mối quan hệ sau: Do bác nông dân trả 15 000 000 đồng

để chi trả cho nguyên vật liệu và đã biết giá thành từng mặt nên ta có mối quan hệ: 3 50000 2 60000 15000000x  y 

 15x 12y 1500 150 15 500 5

Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng công thức:

x

Đến đây ta có ba cách để tìm giá trị lớn nhất của diện tích:

Cách 1: Xét hàm số trên một khoảng, vẽ BBT và kết luận GTLN:

Xét hàm số   1 2  trên

5 500 2

.Ta có BBT:

  1   

2

f x   x f x   x

x 0 50 100

 

'

f x + 0 

 

f x 6250

Cách 2: Nhẩm nhanh như sau: Ta biết rằng A g x 2  A với mọi x, nên ta có thể

100 2.50 2500 2500

f x   x x   x x 

5  2

2500 5 6250

Hoặc bấm máy tính phần giải phương trình bậc hai và ấn bằng nhiều lần máy sẽ hiện như sau:

Vậy ta có kết quả của bài toán

Cách 3: Áp dụng BĐT côsi15x 12y 1500 2 15 12  x y  180xysuy ra :

1500

6250 180

Sxy 

Vậy diện tích lớn nhất của khu đất rào được 6250(m2)

2.3.3 Bài toán liên quan đến quãng đường

Ta xét các bài toán:

Bài toán 1: Cho đường thẳng d, hai điểm A và B nằm về hai phía của d Tìm M

trên đường thẳng d sao cho MA + MB là ngắn nhất

Bài giải: Lấy một điểm M’ bất kì thuộc d, nối M’A, M’B Trong tam giác M’AB

ta có: M A M B'  ' AB

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, M’ thẳng hàng suy ra M’ trùng với M là giao điểm của AB và d

M /

A

B

M (d)

Bài toán 2: Cho đường thẳng d, hai điểm A và B nằm cùng một phía của d Tìm

M trên đường thẳng d sao cho MA + MB là ngắn nhất

Bài giải:

E

A

F

A'

B

M (d)

Lấy một điểm A’ đối xứng với A qua d, M’ bất kì thuộc d, M  d I A B'

Khi đó : MA = MA’ , M’A = M’A’

Xét tam giác M’A’B ta có: M A M B A B' ' '  '

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : A’,M’, B thẳng hàng suy ra : M’ trùng M

Vậy MA+ MB = MA’+ MB =A B M A M B'  ' '  ' Từ đây suy ra cách xác định vị trí điểm M

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, M’ thẳng hàng suy ra M’ trùng với M là giao điểm của AB và d

Vận dụng vào giải bài toán thực tế sau :

Bài 1: Hai nhà máy A và B nằm ở hai bên một con sông có chiều rộng bằng 2

Người ta xây cầu qua sông Biết A và B lần lượt cách con sông một khoảng bằng

1 và 3 Khoảng cách giữa 2 nhà máy theo đường chim bay bằng 10 Hãy xác định

vị trí xây cầu sao cho sao cho quãng đường đi từ A đến B qua con sông này là ngắn nhất.

HD:

Cách 1: Ta có hình vẽ : MN là vị trí xây cầu

Quãng đường đi từ A đến B qua con sông này

ngắn nhất khi tổng AM + BN nhỏ nhất Bỏ qua

chiều rộng con sông, khi hai bờ sông nhập một

(xem hình 2) ta có CD = 8 Áp dụng bài toán 1

điểm M cần tìm là giao điểm của AB và CD Ta

có: CM AC CM 2

CD  BD  

Cách 2: Đặt CM x và MD y, theo giả thiết ta có CM MD x y    8

Xét các tam giác vuông AHE và BKF, ta được

1 9







Vì độ dài cầu EF là không đổi nên để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất theo con đường AMNB thì AM MN NB ngắn nhất Hay AM BN ngắn nhất

Ta có PAM BN  x2   1 y2  9 với x y  8,x 0,y 0

Hướng 1: Sử dụng bất đẳng thức 2 2 2 2   2 2 với mọi

a b  c d  a c  b d

, , ,

a b c d ¡

0, , , ,

a b  c d  a c  b d  ad bc  a b c d ¡

Sử dụng bất đẳng thức trên, ta được 2 2 2 2   2 2

P x   y   x y   

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi suy ra

1 3

x  y x 2, y 4 

Hướng 2: : Với x y       8 y 8 x P f x  x2   1 x2  16x 64, với 0  x 24

Có '  2 2 3 , x    0;8 ; ' 0 2



Do đó min f x  5 5  x 2

Bài 2: Cho hai vị trí , cách nhau A B 615m , cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ Khoảng cách từ và từ đến bờ sông lần lượt là A B 118m và 487m Một người đi từ đến bờ sông để lấy nước mang về Đoạn đường ngắn nhất mà A B người đó có thể đi

HD:

Cách 1: Ta có hình vẽ như “bài toán 2”

Áp dụng “bài toán 2” điểm M

cần tìm là giao điểm của A’B

và EF Ta có:

605

Chúng ta có thể tham khảo thêm cách giải sau:

Cách 2: Giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về B dễ dàng

tính được BD = 369, EF = 492. Ta đặt EM = x, khi đó ta được:

MF = - x AM = x + BM = - x +

Như vậy ta có hàm số f x( ) được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB:

với

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f x( ) để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm M

Ta có : ( )

492

f x

'( ) 0 58056605 58056369 58056

605

x

-ï

ïî

Hàm số f x( ) liên tục trên đoạn éêë0; 492ùúû

So sánh các giá trị của f(0), 58056 ,

605

f æçç ö÷÷

÷

Ta có giá trị nhỏ nhất là 58056 779, 8

605

f æçç ö÷÷» m

÷

Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m.

Bài toán 3: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ điểm A trên bờ đến một

điểm B trên một hòn đảo Hòn đảo cách bờ biển 6 km Giá để xây đường ống trên

bờ là 500000 triệu và 1300000 triệu mỗi km dưới nước B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’vuông góc với bờ biển Khoảng cách từ A đến B’ là 9 km Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất Khi đó C cách A một đoạn bằng bao nhiêu

Hướng dẫn: Đặt B’C = x, x 0;9 suy ra : BC = x2  36 , AC = 9-x

Chi phí xây dựng đường ống là : C(x) = 1300000 x2  36 500000 9   x( triệu)

6 km

9 km

bờ biển

C

A

B

B/

biển đảo

Hàm C(x) xác định và liên tục trên [0 ; 9] và C’(x) =

2

13

36

x x





2

C x   x x   x

 0 12.300.000; 5 11.700.000;  9 14.060.000

2

 

 

Vậy chi phí thấp nhất khi x = 2,5 Khi C cần cách A một khoảng 6,5 km

2.3.4 Một số bài toán ứng dụng thực tế khác

Bài toán 1: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm Chi phí gửi trong

kho là 10$ một cái mỗi năm Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ?

HD: Gọi x là số ti vi mà cửa hàng đặt mỗi lần (x 1; 2500, đơn vị cái)

Số lượng ti vi trung bình gửi trong kho là nên chi phí lưu kho tương ứng là x

2

x

Số lần đặt hàng mỗi năm là 2500 và chi phí đặt hàng là:

Khi đó chi phí mà cửa hàng phải trả là:

Lập bảng biến thiên ta được: C min  C 100  23500