b Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng d luôn luôn đi qua một điểm cố ñònh.. là tọa độ điểm cố định mà d đi qua.[r]
Trang 1Câu 1: Cho đường thẳng d có phương trình: x m( 2) ( m 3)y m 8
a) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1).
b) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định
Giải:
a) Vì đường thẳng (d) đi qua P(-1;1) nên
(m2).( 1) ( m 3).1 m 8 5 m 8 m3
b) Gọi x y0; 0 là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua
Ta có: (m2)x0(m 3)y0 m 8 m.
Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là (-1;2)
Câu 2: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S
b c a a c b a b c
Giải:
Đặt
2 ( ; ; 0) 2
2
y x a
x b c a
x z
c
Ta có
.2 2 2 3
S
Dấu “ =” xẩy ra khi x = y = z a = b = c
Vậy S nhỏ nhất là 3 và xẩy ra khi a = b = c
Câu 3: Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1
Chứng minh :
2 2
2 2
a b
a b
Giải: * Vì a.b = 1 nên
a b
a b
* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cơ Si cho 2 số dương
Ta cĩ : a b 2 2 a b 2
Vậy
2 2
2 2
a b
a b
Câu 4: Tìm tất cả các số tự nhiên cĩ 3 chữ số abc sao cho :
Trang 2
2 2
1 2
abc n
cba n
với n là số nguyên lớn hơn 2
Giải: Viết được
2 2
Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5 99 (3)
Mặt khác : 100 n2 1 999101n2 100011 n 31
39 4n 5 119
(4)
Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26
Vậy số cần tìm abc 675
Câu 5 : Giải phương trình
3
√x2+26 +3√x +√x+3=8
Giải : Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của PT (1)
Với 0 ≤ x<1 thì:
3
√x2+26 +3√x +√x+3<√312
+26+3√1+√1+3=8 Nên PT vô nghiệm với 0 ≤ x<1
Với x >1 Thì:
3
√x2+26 +3√x +√x+3>√312
+26+3√1+√1+3=8 Nên PT vô nghiệm với x >1
Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 1
Câu 6: Giải các phương trình sau:
a) 3x2 + 4x + 10 = 2 14x 2 7
Giải: xác định đúng điều kiện:
;
x x
x24x 4 2x2 1 2 2x21 7 7 = 0
2 (x 2) ( 2x 1 7) 0
2
2
2 0
2 2
2
x x
x x
x
x
b) 4 4 x2 4 x416 4x 1 x2y2 2y 3 5 y
Giải: Điều kiện :
2 4
2 2
x x x
Từ (2) (x2 – 4)(x2 + 4) 0 x2 4 0 kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2 Thay vào (4): y2 – 2y + 1 0 ; Đúng với mọi giá trị của y.
Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5
Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5)
Trang 3c) x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0; (với x ; y nguyên)
Giải: Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0
x2 – 2y – 5 = 0 x2 = 2y2 + 5 x lẻ
Đặt x = 2k + 1 ; ( kZ ) 4k2 + 4k +1 = 2y2 + 5 2y2 = 4k2 + 4k – 4
y2 = 2(k2 + k – 1) y chẵn
Đặt y = 2n; (n Z ) 4n2 = 2(k2 + k – 1) 2n2 + 1 = k(k + 1) (*)
Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp) (*) vô nghiệm pt đã cho vô nghiệm
Câu 7: Chứng minh đẳng thức: 5 3 29 12 5 = cotg450
Câu 8: a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2
b/ Cho x +2y = 8 T ìm giá trị lớn nhất của B=xy
b/
2
2
max
8
y B
Câu 9: Giải phương trình
x x x b/ x2 4 x2 4 0
vậy nghiệm của pt là x=3
2
1
0 2
5
t
t x
x
Câu 10: Giải phương trình : x24x 7 (x4) x27
Giải: Đặt t = x , phương trình đã cho thành : 2 7 t24x(x4)t
t2 (x4)t4x (0 t x t )( 4) 0 t = x hay t = 4,
Do đó phương trình đã cho x27 4 hay x2 7 x
x2 + 7 = 16 hay
2 7 2 7
x
x2 = 9 x = 3
Câu 11: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4xy = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
2x 2y 12xy
x y
Giải: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4xy = 1
Giải: a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2
2 2
2
2
min
2
2
2
A
A
Giải:
ptvn
Trang 4Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
2x 2y 12xy
x y
Ta có A =
2
2x 2y 3.4xy 2x 2y 3 x y xy 2.(x y) 4xy 3
2
2.(x y) 1 3 2.(x y) 1 3 2.(x y) 2 x y 2(x y) 2
2 2(x y)
x y
=
1
2 (x y)
x y
Xét
1 (x y)
x y
Áp dụng Cosi cho 2 số (x+y) và (
1
x y ) ta có:
(x+y) + (
1
x y ) ≥ 2
1
x y ( )
x y
= 2
Do đó: A =
1
2 (x y)
x y
Vậy Min A = 4 (x+y) = (
1
x y ) (x+y)2 =1
x + y = ±1
Kết hợp với điều kiện 4xy = 1 ta được x = y = -
1 2
x = y =
1 2
Câu 12: Cho sè thùc x > 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
S= x2-x+
1 2
x
Giải: S= x 2 - x+
1 2
= x - x + = x - + 4 x - 2 + + 8 - = x - + 4 x - 2 + +
Ta cã
0
4(Cosi)
2 5
x
-2
4 x - 2 + 1
x - 2
Trang 5MinS = 4 +
7
4 =
23
4 khi x=2,5
Câu 13: Cho x2 + 2y2 + z2 -2xy - 2yz + zx - 3x - z +5 = 0.TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc
S = x3 + y7 + z2010
<=>
1
2(x2 + 4y2 + z2 -4xy - 4yz + 2zx) +
1
2 ( x2 – 6x + 9) +
1
2( z2 – 2z +1) = 0 <=>
1
2(x - 2y + z)2 +
1
2( x - 3)2 +
1
2(z - 1)2 = 0 => x = 3 ; y = 2 ; z = 1 => S = x3 + y7 + z2010 =33 + 27 + 12010 = 92
Câu 14: Cho x,y l à các số dương thoả mãn : x + y = 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
2 2 33
P x y
xy
Giải: Từ x+y=4
Áp dụng BĐT Côsi ta có: xy
2
4 4
x y
Do đó
33 33
4
xy
Mặt khác: x2+y2=(x y )2-2xy=16-2xy 16 2.4 =8( do xy 4)
Vậy P
33 65 8
Do đó : MinP=
65
4 , đạt được khi x=y=2
Câu 14: Cho 2 số dương x, y có x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải: Ta có:
2 2
B
2
2
2
x y
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của B là B = 9 1
x y
x y
1 2
x y
Câu 15: Rút gọn biểu thức
A
Trang 6
2 3 2 2 2 3 2 2
Câu 16: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số n3+2 n
n4+3 n2+1là phân số tối giản.
Giải: Để C/m:Phân số tối giản ta C/mTử và mẫu chỉ có ước chung lớn nhất là 1
Gọi d là Ước chung của n3+2n và n4+3n2+1.Ta có n3+2n ⋮ d ⇒ n(n3
+2 n)⋮ d=> n4+2 n2⋮ d (1)
n4+3n2+1-(n4+2n2)= n2+1⋮ d ⇒¿
Từ (1) và (2)=>(n4+3n2+1)- (n4+2n2) ⋮ d ⇒ 1⋮ d ⇒ d=1
Câu 17: Chứng minh rằng phân số 2n 2n+12
−1Tối giản với mọi n là số tự nhiên
HD:Gọi d là UCLN(2n+1,2n2-1)=>2n+1 ⋮d và 2n2-1 ⋮d => n(2n+1)-(2n2-1) ⋮ d => n +1⋮ d
Câu 18: Chứng minh rằng phân số :n5+n+1
n4+n2+1 không tôi giản với mọi n là số nguyên dương
HD:Tử và mẫu có chứa nhân tử chung là n2+n+1>1
Câu 19: Tìm nghiệm nguyên của PT : x2 4xy5y2 16
Giải: Ta cĩ : x2 4xy5y2 16
(x 2 )y 2y2 16 4 202 0242
0
x y y
4
x y y
Giải các hệ PT trên và thử lại, ta được 4 nghiệm nguyên là : (x;y)
( 4;0);(4;0);(4;8);( 8; 4)
Câu 20: Tìm các nghiệm nguyên của PT : (x3)(y4) 3 xy
Giải: Ta cĩ : (x3)(y4) 3 xy y x(2 3) 4 x12
18 2
y
x
(vì x Z 2x 3 0 )
Do x, y là các số nguyên nên 18 phải chia hết cho (2x 3)
(2x 3) là ước số của 18.
(2x 3) 1; 2; 3; 6; 9; 18
Từ đĩ ta tính được các giá trị nguyên của x là : 2; 1; 3; 0; 6; 3
Các giá trị tương ứng của y là : 20;16; 8; 4 ; 4; 0
Vậy PT (7) cĩ các nghiệm nguyên ( ; )x y (2; 20);(1; 16);(3;8);(0; 4);(6; 4);( 3;0)
.