Tài liệu Bài tập ôn HSG theo chủ đề

Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất?. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : b.. Đưa đẳng thức đã cho về dạng : tối giản... Vế trái c

GIẢI BÀI TẬP NÂNG CAO CHƯƠNG I ĐẠI SỐ 9 Bài 1: Chứng minh 7 là số vô tỉ

1 Giả sử 7 là số hữu tỉ  m

7 n

 (tối giản) Suy ra tối giản) Suy ra

2

2

m

n

chứng tỏ m 72 mà 7 là số nguyên tố nên m  7 Đặt m = 7k (tối giản) Suy ra k  Z), ta có m2 = 49k2 (tối giản) Suy ra 2) Từ (tối giản) Suy ra 1) và (tối giản) Suy ra 2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (tối giản) Suy ra 3) Từ (tối giản) Suy ra 3) ta lại có n2 7 và vì 7 là số nguyên tố nên n  7 m và n

Bài 2: Cho x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2

2- Cách 1 : Từ x + y = 2 ta có y = 2 – x Do đó : S = x2 + (tối giản) Suy ra 2 – x)2 = 2(tối giản) Suy ra x – 1)2 + 2 ≥ 2

Vậy min S = 2  x = y = 1

Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có :

(tối giản) Suy ra x + y)2 ≤ (tối giản) Suy ra x2 + y2)(tối giản) Suy ra 1 + 1)  4 ≤ 2(tối giản) Suy ra x2 + y2) = 2S  S ≥ 2  mim S = 2 khi x = y = 1

Bài 3:

a Cho a + b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3

b Cho a3 + b3 = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b

Giải:

a Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (tối giản) Suy ra 1 – a)3 = 3(tối giản) Suy ra a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ Dấu “=” xảy ra khi a = ½

Vậy min M = ¼  a = b = ½

b Đặt a = 1 + x  b3 = 2 – a3 = 2 – (tối giản) Suy ra 1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (tối giản) Suy ra 1 – x)3

Suy ra : b ≤ 1 – x Ta lại có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2

Bài 4:

b Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó

- Giải:

a Viết đẳng thức đã cho dưới dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0 (tối giản) Suy ra 1) Nhân hai vế của (tối giản) Suy ra 1) với

4 rồi đưa về dạng : a2 + (tối giản) Suy ra a – 2b)2 + (tối giản) Suy ra a – 2c)2 + (tối giản) Suy ra a – 2d)2 = 0 (tối giản) Suy ra 2) Do đó ta có :

a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 Suy ra : a = b = c = d = 0

b 2M = (tối giản) Suy ra a + b – 2)2 + (tối giản) Suy ra a – 1)2 + (tối giản) Suy ra b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998  M ≥ 1998

Dấu “ = “ xảy ra khi có đồng thời :

a b 2 0

a 1 0

b 1 0







  



Vậy min M = 1998  a = b = 1

Bài 5:

a Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :

b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 1

A



- Giải:

a Đưa đẳng thức đã cho về dạng : (tối giản) Suy ra x – 1)2 + 4(tối giản) Suy ra y – 1)2 + (tối giản) Suy ra x – 3)2 + 1 = 0

b

2

Bài 6:

a Giải phương trình : 3x26x 7  5x210x 21 5 2x x    2

b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.

- Giải:

3(tối giản) Suy ra x 1)  4 5(tối giản) Suy ra x 1) 16 6 (tối giản) Suy ra x 1)  

Vế trái của phương trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải không lớn hơn 6 Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1

b Bất đẳng thức Cauchy a b

ab

2



2

a b ab

2



  (tối giản) Suy ra *) (tối giản) Suy ra a, b ≥ 0)

Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dưới dạng (tối giản) Suy ra *) với hai số dương 2x và xy ta được :

2

2x xy

2



Dấu “ = “ xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức là khi x = 1, y = 2  max A = 2  x = 2, y = 2

2

Giải:

a b

2

Bài 8:

a Cho a3 + b3 = 2 Chứng minh rằng a + b ≤ 2

b Chứng minh rằng :     x  y  x y 

Giải:

a Giả sử a + b > 2  (tối giản) Suy ra a + b)3 > 8  a3 + b3 + 3ab(tối giản) Suy ra a + b) > 8  2 + 3ab(tối giản) Suy ra a + b) > 8

 ab(tối giản) Suy ra a + b) > 2  ab(tối giản) Suy ra a + b) > a3 + b3 Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a2 – ab + b2

 (tối giản) Suy ra a – b)2 < 0, vô lí Vậy a + b ≤ 2

b Cách 1: Ta có :  x ≤ x ;  y ≤ y nên  x +  y ≤ x + y Suy ra  x +  y là số nguyên

quá x + y (tối giản) Suy ra 2) Từ (tối giản) Suy ra 1) và (tối giản) Suy ra 2) suy ra :  x +  y ≤ x y 

Cách 2 : Theo định nghĩa phần nguyên : 0 ≤ x -  x < 1 ; 0 ≤ y -  y < 1

Suy ra : 0 ≤ (tối giản) Suy ra x + y) – (tối giản) Suy ra  x +  y ) < 2 Xét hai trường hợp :

- Nếu 0 ≤ (tối giản) Suy ra x + y) – (tối giản) Suy ra  x +  y ) < 1 thì x y  =  x +  y (tối giản) Suy ra 1)

- Nếu 1 ≤ (tối giản) Suy ra x + y) – (tối giản) Suy ra  x +  y ) < 2 thì 0 ≤ (tối giản) Suy ra x + y) – (tối giản) Suy ra  x +  y + 1) < 1 nên

Bài 9:

a Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 1

A



b Tìm giá trị nhỏ nhất của : x y z

A

Giải:

a Ta có x2 – 6x + 17 = (tối giản) Suy ra x – 3)2 + 8 ≥ 8 nên tử và mẫu của A là các số dương , suy ra A > 0 do đó :

Vậy max A = 1

b Không được dùng phép hoán vị vòng quanh x  y  z  x và giả sử x ≥ y ≥ z.

Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x, y, z :

3

2

yx  (tối giản) Suy ra do x, y > 0) nên để

3

1

z x  x  (tối giản) Suy ra 1)

(tối giản) Suy ra 1)  xy + z2 – yz ≥ xz (tối giản) Suy ra nhân hai vế với số dương xz)

 xy + z2 – yz – xz ≥ 0  y(tối giản) Suy ra x – z) – z(tối giản) Suy ra x – z) ≥ 0  (tối giản) Suy ra x – z)(tối giản) Suy ra y – z) ≥ 0 (tối giản) Suy ra 2)

(tối giản) Suy ra 2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (tối giản) Suy ra 1) đúng Từ đó tìm được giá trị

Bài 10:

a) Giải phương trình : 4x220x 25  x2 8x 16  x218x 81

b Giải phương trình : 2 2

Giải:

a) Phương trình đã cho  | 2x + 5 | + | x – 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 – x |

 (tối giản) Suy ra 2x + 5)(tối giản) Suy ra 4 – x) ≥ 0  -5/2 ≤ x ≤ 4

b Điều kiện tồn tại của phương trình : x2 – 4x – 5 ≥ 0  x 1

x 5







Bài 11 :

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B 3 x x 

Giải :

47 Điều kiện : x ≤ 3 Đặt 3 x = y ≥ 0, ta có : y2 = 3 – x  x = 3 – y2

B = 3 – y2 + y = - (tối giản) Suy ra y – ½ )2 + 13

4 ≤

13

13

11

4

Bài 12 : Giải các phương trình sau :

Giải :

Cần nhớ cách giải một số phương trình dạng sau :

2

B 0



B 0

A 0

B 0





















a) Đưa phương trình về dạng : A  B

b) Đưa phương trình về dạng : A B

c) Phương trình cĩ dạng : A  B 0

d) Đưa phương trình về dạng : A B

e) Đưa phương trình về dạng : | A | + | B | = 0

g, h, i) Phương trình vơ nghiệm.

k) Đặt x 1 = y ≥ 0, đưa phương trình về dạng : | y – 2 | + | y – 3 | = 1 Xét dấu vế trái

l) Đặt : 8x 1 u 0 ; 3x 5 v 0 ; 7x 4 z 0 ; 2x 2           t 0







Bài 13:

a Giải bất phương trình : x2 16x 60 x 6  

c Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng :

x2(tối giản) Suy ra x2 + 2y2 – 3) + (tối giản) Suy ra y2 – 2)2 = 1 (tối giản) Suy ra 1)

- Giải :

a Điều kiện :

(x 6)(x 10) 0

x 6

x 6 0

x 6





Nghiệm của bất phương trình đã cho : x ≥ 10

b Điều kiện x2 ≥ 3 Chuyển vế : x2 3 ≤ x2 – 3 (tối giản) Suy ra 1)

2 2

x 2

 



c Ta cĩ x2(tối giản) Suy ra x2 + 2y2 – 3) + (tối giản) Suy ra y2 – 2)2 = 1  (tối giản) Suy ra x2 + y2)2 – 4(tối giản) Suy ra x2 + y2) + 3 = - x2 ≤ 0

Do đĩ : A2 – 4A + 3 ≤ 0  (tối giản) Suy ra A – 1)(tối giản) Suy ra A – 3) ≤ 0  1 ≤ A ≤ 3

Bài 14

a Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số : 0,9999 9 (tối giản) Suy ra 20 chữ số 9)

b Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của : A = | x - 2| + | y – 1 | với | x | + | y | = 5

c Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1

Giải :

a Đặt

20 chữ số 9

0,999 99  

Vậy

20 chữ số 9 20 chữ số 9

0,999 99 0,999 99      

a) +Tìm giá trị lớn nhất Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b |.

+ Tìm giá trị nhỏ nhất Áp dụng | a – b | ≥ | a | - | b

c Ta cĩ : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2 Suy ra :

x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (tối giản) Suy ra 1)

3.

3 (tối giản) Suy ra 2).

Từ (tối giản) Suy ra 1) , (tối giản) Suy ra 2) : min A = 1

3 3



Bài 15: Trong hai số : n n 2 và 2 n+1 (tối giản) Suy ra n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ?

Giải:

Bài 16: Cho P 14 40 56 140 Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai

Giải:

Bài 17:

a Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng : x 1 y 2 y 1 x 2 1

b Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của : A 1 x  1 x

c Tìm giá trị lớn nhất của : M  a  b2 với a, b > 0 và a + b ≤ 1

Giải:

2

b Xét A2 để suy ra : 2 ≤ A2 ≤ 4 Vậy : min A = 2  x = ± 1 ; max A = 2  x = 0

c Ta cĩ : M  a  b 2  a b 2 a  b2 2a 2b 2 

1

2

a b 1



 

Bài 18: CMR trong các số 2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd        cĩ ít nhất hai số dương (tối giản) Suy ra a, b, c, d > 0)

Giải:

- Xét tổng của hai số :

Bài 19:

a Giải phương trình : x 2 3 2x 5    x 2  2x 5 2 2

b Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì

b)

2

2

1

Giải:

a Nhân 2 vế của pt với 2, ta được : 2x 5 3   2x 5 1 4    5/2 ≤ x ≤ 3

b Biến đổi tương đương :



(tối giản) Suy ra a b)(tối giản) Suy ra a ab b)

ab

Bài 20: Cho hằng đẳng thức :

Áp dụng kết quả để rút gọn :

Bài 21: Tìm x và y sao cho : x y 2   x  y 2

- Giải:

2(x y 2)   xy Lại bình phương hai vế rồi rút gọn : (tối giản) Suy ra 2 – y)(tối giản) Suy ra x – 2) = 0

Đáp : x = 2 , y ≥ 0 , x ≥ 0 , y = 2

Bài 22:

a Tìm giá trị nhỏ nhất của : (tối giản) Suy ra x a)(tối giản) Suy ra x b)

A

x

b Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5

c Tìm giá trị lớn nhất của A = x + 2 x

- Giải:

a Ta có

2

x

min A =  a b2 khi và chi khi

ab

x

x 0









 



b Ta xét biểu thức phụ : A2 = (tối giản) Suy ra 2x + 3y)2 Nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

(tối giản) Suy ra am + bn)2 ≤ (tối giản) Suy ra a2 + b2)(tối giản) Suy ra m2 + n2) (tối giản) Suy ra 1) Nếu áp dụng (tối giản) Suy ra 1) với a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có :

A2 = (tối giản) Suy ra 2x + 3y)2 ≤ (tối giản) Suy ra 22 + 32)(tối giản) Suy ra x2 + y2) = 13(tối giản) Suy ra x2 + y2)

A2 =  2 2x 3 3y2 rồi áp dụng (tối giản) Suy ra 1) ta có :

2x 3y 5









x y 1 2x 3y 5









c Điều kiện x ≤ 2 Đặt 2 x = y ≥ 0, ta có : y2 = 2 – x

2

Bài 23:

a Giải phương trình : x 2 x 1   x 2 x 1 2  

b Giải phương trình : 3x221x 18 2 x  27x 7 2

c Giải phương trình : 3x26x 7  5x210x 14 4 2x x    2

- Giải:

a Điều kiện x ≥ 1 Phương trình biến đổi thành :

Kết luận : 1 ≤ x ≤ 2

b Điều kiện : x2 + 7x + 7 ≥ 0 Đặt x27x 7 = y ≥ 0  x2 + 7x + 7 = y2

 (tối giản) Suy ra x + 1)(tối giản) Suy ra x + 6) = 0 Các giá trị x = - 1, x = - 6 thỏa mãn x2 + 7x + 7 ≥ 0 là nghiệm của (tối giản) Suy ra 1)

c Vế trái : 3(x 1) 24 5(x 1) 29  4 9 5

bất đẳng thức này đều trở thành đẳng thức Kết luận : x = - 1

Bài 24 : Chứng minh các số sau là số vô tỉ : 3 2 ; 2 2 3

- Giải :

a) Giả sử 3 2 = a (tối giản) Suy ra a : hữu tỉ)  5 - 2 6 = a2 

2

5 a 6

2



b) Giải tương tự câu a.

Bài 25 : Chứng minh x 2  4 x 2.

- Giải :

thức :

- Giải :

- Cách 1 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Ta có :

x 1 y 2 y 1 x 22 x2 y 1 y 1 x2   2  2 Đặt x2 + y2 = m, ta được : 12 ≤ m(tối giản) Suy ra 2 - m)  (tối giản) Suy ra m – 1)2 ≤ 0  m = 1 (tối giản) Suy ra đpcm)

Cách 2 : Từ giả thiết : x 1 y 2  1 y 1 x 2 Bình phương hai vế :

x2(tối giản) Suy ra 1 – y2) = 1 – 2y 1 x 2 + y2(tối giản) Suy ra 1 – x2)  x2 = 1 – 2y 1 x 2 + y2

0 = (tối giản) Suy ra y - 1 x 2 )2  y = 1 x 2  x2 + y2 = 1

Bài 27 :

a Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 2 x 1   x 2 x 1 

b Tìm GTNN, GTLN của A 1 x  1 x

- Giải :

a Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | min A = 2  1 ≤ x ≤ 2

b Xét A2 = 2 + 2 1 x 2 Do 0 ≤ 1 x 2 ≤ 1  2 ≤ 2 + 2 1 x 2 ≤ 4

c Tập xác định :

2 2

1 x 3 (x 1)(3 x) 0





(tối giản) Suy ra 1) Xét hiệu : (tối giản) Suy ra - x2 + 4x + 12)(tối giản) Suy ra - x2 + 2x + 3) = 2x + 9 Do (tối giản) Suy ra 1) nên 2x + 9 > 0 nên A > 0

A2 = (tối giản) Suy ra x + 2)(tối giản) Suy ra 6 – x) + (tối giản) Suy ra x + 1)(tối giản) Suy ra 3 – x) - 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)    =

= (tối giản) Suy ra x + 1)(tối giản) Suy ra 6 – x) + (tối giản) Suy ra 6 – x) + (tối giản) Suy ra x + 2)(tối giản) Suy ra 3 – x) – (tối giản) Suy ra 3 – x) - 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)   

= (tối giản) Suy ra x + 1)(tối giản) Suy ra 6 – x) + (tối giản) Suy ra x + 2)(tối giản) Suy ra 3 – x) - 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)    + 3

d a) Điều kiện : x2 ≤ 5

* Tìm giá trị lớn nhất : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

A2 = (tối giản) Suy ra 2x + 1 5 x 2 )2 ≤ (tối giản) Suy ra 22 + 11)(tối giản) Suy ra x2 + 5 – x2) = 25  A2 ≤ 25

c a

b

C B

A

x 0











Với x = 2 thì A = 5 Vậy max A = 5 với x = 2

2

b) Xét biểu thức phụ | A | và áp dụng các bất đẳng thức Bunhiacôpxki và Cauchy :

2

2

2











Do đó : - 1000 < A < 1000

min A = - 1000 với x = - 10 ; max A = 1000 với x = 10

Bài 28:

- Giải các phương trình sau :

Giải:

(tối giản) Suy ra x 3) (tối giản) Suy ra x  3) 0 Đáp số : x = 3

b) Bình phương hai vế, đưa về : (tối giản) Suy ra x2 + 8)(tối giản) Suy ra x2 – 8x + 8) = 0 Đáp số : x = 4 + 2 2

c) Đáp số : x = 20.

e) Chuyển vế : x 2 x 1 1    x 1 Bình phương hai vế Đáp số : x = 1

g) Bình phương hai vế Đáp số : 1

h) Đặt x 2 = y Đưa về dạng y 2  y 3 = 1 Chú ý đến bất đẳng thức :

y 2  3 y  y 2 3 y 1   Tìm được 2 ≤ y ≤ 3 Đáp số : 6 ≤ x ≤ 11.

i) Chuyển vế : x 1 x  1 x, rồi bình phương hai vế Đáp : x = 0 (tối giản) Suy ra chú ý loại x = 16

25 )

k) Đáp số : 16

25

l) Điều kiện : x ≥ 1 hoặc x = - 1 Bình phương hai vế rồi rút gọn :

2 2(tối giản) Suy ra x 1) (tối giản) Suy ra x 3)(tối giản) Suy ra x 1)   x  1 Bình phương hai vế : 8(tối giản) Suy ra x + 1)2(tối giản) Suy ra x + 3)(tối giản) Suy ra x – 1) = (tối giản) Suy ra x + 1)2(tối giản) Suy ra x – 1)2  (tối giản) Suy ra x + 1)2(tối giản) Suy ra x – 1)(tối giản) Suy ra 7x + 25) = 0

25 x

7

m) Vế trái lớn hơn x, vế phải không lớn hơn x Phương trình vô nghiệm.

n) Điều kiện : x ≥ - 1 Bình phương hai vế, xuất hiện điều kiện x ≤ - 1 Nghiệm là : x = - 1.

o) Do x ≥ 1 nên vế trái lớn hơn hoặc bằng 2, vế phải nhỏ hơn hoặc bằng 2 Suy ra hai vế bằng 2, khi

đó x = 1, thỏa mãn phương trình

p) Đặt 2x 3  x 2 y ; 2x 2  x 2 z (tối giản) Suy ra 1) Ta có :

Từ đó z x 2 (tối giản) Suy ra 2) Từ (tối giản) Suy ra 1) và (tối giản) Suy ra 2) tính được x Đáp số : x = 2 (tối giản) Suy ra chú ý loại x = - 1)

q) Đặt 2x2 – 9x + 4 = a ≥ 0 ; 2x – 1 ≥ b ≥ 0 Phương trình là : a 3 b  a 15b Bình phương

; 5 2

Bài 29 : Chứng minh rằng, n  Z + , ta luôn có : 1 1 1 1 2 n 1 1

Giải:

 

1 2(tối giản) Suy ra 2 1) 2(tối giản) Suy ra 3 2) 2(tối giản) Suy ra 4 3) 2(tối giản) Suy ra n 1 n )

= 2(tối giản) Suy ra n 1 1)  (tối giản) Suy ra đpcm)

Bài 31 :

a Tìm GTNN và GTLN của biểu thức 1 2

A



b Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 1

A

5 2 6 x

d Tìm giá trị lớn nhất của A x 1 x  2

e Tìm giá trị lớn nhất của A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1