de thi hsg mon toan 9 vong huyen

Thí sinh giải cách khác mà đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.. Điểm của bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn.[r]

KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2012 -2013

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề.

Đề thi có: 01 trang

Câu 1 (3 điểm)

Cho đa thức f(x) = x4+6x3+11x2+6x

a) Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì f(x) + 1 luôn có giá trị là một số chính

phương

Câu 2 (4 điểm)

a) Cho biểu thức

=çç - ÷÷ç÷ç - ÷÷

ç

Tính A khi

2 x

=

b) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0 Chứng minh rằng:

a +b +c = + +a b c

Câu 3 (4 điểm)

Giải các phương trình sau:

a) 3 ( )3 ( )3

x + -x 1 = 2x 1

-b) x 3+ - x 4- =1

Câu 4 (7 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi d và d' lần lượt là các tiếp tuyến với đường tròn tại A và B Điểm C thuộc đường thẳng d (C khác A) Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt d và d' thứ tự tại M và D

a) Chứng minh tam giác MCD cân và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b) Chứng minh rằng khi C di chuyển trên đường thẳng d thì tích AC.BD có giá trị không đổi

c) Điểm C ở vị trí nào trên đường thẳng d thì diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất ? Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R

Câu 5 (2 điểm)

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn

2

y yz z 1

2

+ + =

- Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P= + +x y z.

……Hết……

Họ và tên thí sinh:……….SBD:……

§Ò chÝnh thøc

HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN Hướng dẫn chấm có: 03 trang

A Một số chú ý khi chấm bài

- Hướng dẫn chấm dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải Thí sinh giải cách khác mà đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm

- Điểm của từng câu có thể được chia nhỏ đến 0,25đ Điểm của bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn

B Đáp án và thang điểm

Câu 1 (3 điểm)

Cho đa thức f(x) = x4+6x3+11x2+6x

a) Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì f(x) + 1 luôn có giá trị là một số chính

phương

a) Ta có f(x) = x x( 3+6x2+11x 6+ =) x xé( 3+x2) (+ 5x2+5x)+(6x 6+ )ù

x x 1 x 5x 6 x x 1 x 2 x 3

b) Ta có f(x) + 1 = x x 1 x( + )( +2 x 3)( + + =) 1 (x2+3x x)( 2+3x+ +2) 1

( 2 )2 ( 2 ) ( 2 )2

x 3x 2 x 3x 1 x 3x 1

Vì x ZÎ nên f(x) + 1 = ( 2 )2

x +3x 1+

có giá trị là số chính phương

1,5đ

Câu 2 (4 điểm)

a) Cho biểu thức

=çç - ÷÷ç÷ç - ÷÷

ç

Tính A khi

2 x

=

b) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0 Chứng minh rằng:

a +b +c = + +a b c

Ta có A = (x −1√x ):( √x − 1√x −

√x −1

√x(√x +1)) = x −1

√x :

x − 1−√x +1

√x (√x+1)

= x −1

√x : x −√x

√x (√x+ 1) = x −1

√x √x(√x +1)

√x (√x −1) = √x+1

¿2

¿

¿

¿

1đ

Với

( ) ( )2

2 2 3 2

4 3

A =

 3 1 12 3 3 3 3

2

0,5đ

b) Ta có

2

a b c a b c ab bc ac

1 1 1 2(a b c)

 

  

0

(vì a b c 0)  

1đ

2

          

Câu 3 (4 điểm)

Giải các phương trình sau:

a) 3 ( )3 ( )3

x + -x 1 = 2x 1- (1)

b) x 3+ - x 4- =1

a) Ta thấy x + (x - 1) = 2x - 1 Đặt x - 1 = y, phương trình (1) trở thành:

x y x y 3xy x y xy x y 0

x 2















  



 Vậy, phương trình (1) có tập nghiệm là

1

S 0;1;

2

 

 

0,75đ 0,25đ

x 3+ - x 4- = Û1 x 3+ = x 4 1- + Û x 3+ = - +x 3 2 x 4

-3 x 4 x 4 9 x 13

Câu 4 (7 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi d và d' lần lượt là các tiếp tuyến với đường tròn tại A và B Điểm C thuộc đường thẳng d (C khác A) Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt d và d' thứ tự tại M và D

a) Chứng minh tam giác MCD cân và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b) Chứng minh rằng khi C di chuyển trên đường thẳng d thì tích AC.BD có giá trị không đổi

c) Điểm C ở vị trí nào trên đường thẳng d thì diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất ?

a) Chỉ ra AB d và AB d ' C/m AOMBOD g.c.g   OM OD 1đ

CMD có CO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại C 0,5đ

Kẻ OHCD, C/m được OAMOHD (cạnh huyền - góc nhọn)

 OH = OA = R  CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) 1đ b) AOMBOD g.c.g   BD AM  AC.BD AC.AM 1đ COM

 vuông tại O, có OACM AC.AM OA 2 R2 1đ

2 AC.BD R

c) Theo Bất đẳng thức Cô-si, ta có AC BD 2 AC.BD 2R   1đ

Vì ABDC là hình thang vuông nên:

2 ABDC



Đẳng thức xảy ra khi AC = BD = R

Vậy, Min (SABCD) = 2

2R khi C cách A một khoảng bằng R.

1đ

Câu 5 (2 điểm)

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn

2

y yz z 1

2

+ + =

- Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P= + +x y z.

Ta có:

2

2

x2 y2 z2 2xy 2yz 2xz x2 y2 2xy x2 z2 2xz 2

x y z2 x y2 x z2 2 1 

1đ

Vì x y 2 0, x z  2  0 x, y,z nên từ (1) suy ra:

x y z  22  2 x y z    2

0,5đ

0,5đ

Vậy, MinP =

2

2 x y z

3



    

; MaxP =

2

2 x y z

3

   