de thi hsg mon toan 9 huyen tien hai 20142015

b Chứng minh rằng nếu mỗi số tự nhiên a và b đều là tổng của hai số chính phương thì ab cũng là tổng của hai số chính phương.. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.[r]

Phòng giáo dục - đào tạo

Tiền hải Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014Môn: Toán 9

(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (4 điểm)

a) Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món phương trỡnh: x2 3x 1 y  2

b) Chứng minh rằng nếu mỗi số tự nhiờn a và b đều là tổng của hai số chớnh phương thỡ

ab cũng là tổng của hai số chớnh phương

Bài 2 (4 điểm)

a) Rỳt gọn A

b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A với x 4  7 và y 4  7

2) Đa thức f(x) khi chia cho x 5 được số dư là 14 và khi chia cho x 1 được số dư là 2

Tỡm đa thức dư trong phộp chia đa thức f(x) cho đa thức: x2 4x 5

Bài 3 (4,0 điểm)

Cho phương trỡnh: x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 7 = 0 (m là tham số)

a) Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt

b) Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 thỏa món |x1 – x2|= 12

c) Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức: A = x12x225x x1 2

cú giỏ trị nhỏ nhất Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú

Bài 4 (6,0 điểm)

Cho tam giỏc nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường trũn tõm O bỏn kớnh R Vẽ cỏc đường cao AD, BE, CF Vẽ đường kớnh AK của đường trũn tõm O

a) Chứng minh: AB.AC = AD.AK và SABC =

AB.BC.CA 4R b) Chứng minh: OA vuụng gúc với EF

c) Vẽ đường trũn (I) đi qua B, C và tiếp xỳc với AB tại B Gọi M là giao điểm của cạnh

AC với đường trũn (I), N là giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng BK Chứng minh rằng bốn điểm A, B, N, M thuộc một đường trũn

Bài 5 (2,0 điểm)

Cho tam giỏc ABC vuụng tại A D là một điểm nằm trong tam giỏc sao cho CD = CA

M là một điểm trờn cạnh AB sao cho

2



N là giao điểm của MD và đường cao

AH của ABC Chứng minh DM = DN

–––––––––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––––––––––

Phòng giáo dục - đào tạo

Tiền hải kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014 đáp án và biểu điểm chấm môn : Toán 9

(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 05trang)

Bài 1 (4,0 điểm)

a) Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món phương trỡnh: x2 3x 1 y  2

b) Chứng minh rằng nếu mỗi số tự nhiờn a và b đều là tổng của hai số chớnh phương thỡ ab cũng

là tổng của hai số chớnh phương

a)

(2điểm

)

 2x 2y 3 2x 2y 3    5

Lớ luận, lập bảng tỡm được cỏc cặp (x, y) là : (0; -1); (0; 1); (3; -1), (3; 1) 0.5 Vậy cỏc cặp số (x, y) cần tỡm là: (0; -1); (0; 1); (3; -1), (3; 1) 0.25

b)

(2điểm)

Vỡ a và b đều bằng tổng của hai số chớnh phương nờn ta cú thể viết:

a = m2 + n2, b = c2 + d2 (m, n, c, d là cỏc số nguyờn) 0.25

Ta cú: ab = (m2 + n2)(c2 + d2) = m2c2 + m2d2 + n2c2 + n2d2 0.5

= (m2c2+n2d2+2mcnd)+(n2c2+m2d2 – 2mcnd) 0.5

Vậy nếu mỗi số tự nhiờn a và b đều là tổng của hai số chớnh phương thỡ

Bài 2(4 điểm):

a Rỳt gọn A

b Tớnh giỏ trị của biểu thức A với x 4  7 và y 4  7

2) Đa thức f(x) khi chia cho x 5 được số dư là 14 và khi chia cho x 1 được số dư là 2

Tỡm đa thức dư trong phộp chia đa thức f(x) cho đa thức: x2 4x 5

1.a

0,25

xy

0,25

  2 2



0,25



2

2







0,5

=

xy



0,25

1.b

(0.75điểm)

Ta có: x 4  7ĐKXĐ, y 4  7ĐKXĐ Thay vào biểu thức

A=

xy



ta có:

A=

0,25

Tính đúng được A =

2 3



Vậy với x 4  7; y 4  7 thì A =

2 3



0,5

2

(1,5điểm)

Vì f(x) chia cho x – 5 dư 14 nên f(5) = 14

Gọi thương và dư của phép chia f(x) cho x2 – 4x – 5 là g(x) và ax+b

ta có:

f(x) = (x2 – 4x – 5).g(x) + ax + b = (x – 5)(x + 1).g(x) + ax + b 0,25

Ta có hệ phương trình:

5a b 14

a b 2





  

 Giải hệ được a = 2, b = 4

0,25

Vậy dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức x2 – 4x – 5 là 2x + 4 0,25

Bài 3(4 điểm):

Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 7 = 0

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn |x1 – x2|= 12

c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức: A = x12x225x x1 2

có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

a)

Ta có: a = 1; b = –2(m + 1)  b’ = –(m + 1); c = m2 – 4m + 7

Vì a = 1 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt Û ' >0

Hay (m+1)2 – (m2 – 4m + 7) > 0 Û m > 1

Vậy với m > 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

1,0

Û m  1

0,25

Hai nghiệm của phương trình là x1, x2, theo Vi-ét ta có:

1 2

2

1 2





Ta có: |x1 – x2| = 12 Û (x1 – x2)2 = 144 Û x12x22 2x x1 2 144 0,25

Û (x1x )2 2  4x x1 2 144Þ [2(m+1)]2 – 4(m2 – 4m + 7) = 144 0,25

Û 4m2 + 8m + 4 – 4m2 + 16m – 28 = 144

Vậy m=7 thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn |x1 – x2|= 12 0,25

c)

Theo câu b, phương trình có nghiệm khi m  1

Hai nghiệm của phương trình là x1, x2, theo Vi-ét ta có:

1 2

2

1 2







Ta có:

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2

2

0,25

Vậy với m = 1 thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn Amin=28 0,25

Bài 4(6 điểm):

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Vẽ đường kính AK của đường tròn tâm O

a) Chứng minh: AB.AC = AD.AK và SABC =

AB.BC.CA 4R b) Chứng minh: OA vuông góc với EF

c) Vẽ đường tròn (I) đi qua B, C và tiếp xúc với AB tại B Gọi M là giao điểm của cạnh

AC với đường tròn (I), N là giao điểm của đường thẳng AH và đường thẳng BI Chứng minh rằng bốn điểm A, B, N, M thuộc một đường tròn

N

M

K

F

E

D

C B

A

H

O

a)

+) Theo câu a ta có:

AD

suy ra ABC

AB AC BC

S

.

Vậy SABC =

AB.BC.CA 4R

1

Mà AKC KAC 90   0 AEF KAC 90   0 Vậy OA  EF 1

c)

+) Chứng minh được EAF EHF 180   0  EAF MNB 180   0  đpcm 0,5

Bài 5(2 điểm):

Cho tam giác ABC vuông tại A D là một điểm nằm trong tam giác đó sao cho CD=CA;

M là một điểm trên cạnh AB sao cho

2



N là giao điểm của MD và đường cao

AH của ABC Chứng minh DM = DN

S

I N D

M

E

C B

A

Vẽ đường tròn (C,CA) cắt đường thẳng BD tại E

Þ BA là tiếp tuyến của đường tròn

Ta có: BA2 = BD.BE = BH.BC nên tứ giác DHCE nội tiếp

0,75

Þ BHD BEC CDE CHE     AHD AHE  Þ HA là phân giác của

góc DHE

Mà AH  BC nên HA, HB tương ứng là phân giác trong và phân giác

ngoài của góc DHE do đó nếu I là giao của AH và BE thì

(*)

0,5

Mà theo giả thiết:

2

nên MN // AE

do đó:

;

0,5

Kết hợp với (*) ta có:

DM DN