Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số fx ta cần tìm một hàm gx sao cho nguyên hàm của các hàm số fx gx dễ xác định hơn so với fx.. Từ đó suy[r]
Trang 1TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT
1.ÔN TẬP:
Dạng 1 Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ
Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì
( ) 0
a a
f x dx
Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì 0
( ) 2 ( )
a
f x dx f x dx
Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau:
Bước 1: Phân tích
0
0
0
0
( ) ; a ( )
a
Bước 2: Tính tích phân
0
( )
a
bằng phương pháp đổi biến Đặt t = – x.
– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K I = J + K = 0
– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K I = J + K = 2K
Dạng 2 Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:
0
1
x
f x dx f x dx a
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.
0
0
0
0
Để tính J ta cũng đặt: t = –x.
Dạng 3 Nếu f(x) liên tục trên 0;2
thì
(sin ) (cos )
Để chứng minh tính chất này ta đặt: t2 x
Dạng 4 Nếu f(x) liên tục và f a b x( )f x( ) hoặc f a b x( ) f x( )
thì đặt: t = a + b – x
Đặc biệt, nếu a + b = thì đặt t = – x
nếu a + b = 2 thì đặt t = 2 – x
Dạng 5 Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x) dễ xác định hơn so với f(x) Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x) Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x), tức là:
1 2
( ) ( ) ( )
Trang 2Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra
1 ( ) ( ) ( ) 2
F x A x B x C
là nguyên hàm của f(x).
2.BÀI TẬP:
BÀI 1 Tính các tích phân sau (dạng 1):
a)
7 5 3
4
4 4
1 cos
x
b)
2
2 2
cos ln(x x 1 x dx)
c)
1 2 1 2
1 cos ln
1
x
x
d)
1
2 1
ln x 1 x dx
e)
1
4 2
x dx
f)
1 4 2 1
sin 1
x
g)
5 2
2
sin
1 cosx dx
x
h)
2
2 2
4 sin
xdx x
i)
2
2 2
cos
4 sin
x
BÀI 2 Tính các tích phân sau (dạng 2):
a)
1 4
12x x dx1
b)
1 2 1
1
1 2x dx x
c)
1
2
1( x 1)( 1)
dx
d)
2
sin
3x 1xdx
3
3
2
2 1
1
dx
x
x
f)
1
2
1(4x 1)( 1)
dx x
g)
2
2
sin sin3 cos5
1 x
e
h)
6 6 4
4
sin cos
6x 1
i)
2 2 2
2
sin
1 2x
BÀI 3 Tính các tích phân sau (dạng 3):
a)
2
0
cos
cos sin
n
(n N * ) b)
7 2
7 7 0
sin sin cos
c)
2 0
sin sin cos
d)
2009 2
2009 2009
0
sin
e)
4 2
4 4 0
cos cos sin
f)
4 2
4 4 0
sin cos sin
BÀI 4 Tính các tích phân sau (dạng 4):
.sin
4 cos
x
cos
4 sin
x
c)
2 0
1 sin ln
1 cosx dx
x
d)
4
0
ln(1 tan ) x dx
e)
2
3 0
.cos
f)
3 0
.sin
g) 01 sin
x
h) 0
sin
2 cos
x
sin
1 cos
x
Trang 3k)
4
0
sin 4 ln(1 tan )x x dx
sin
9 4 cos
x
m)
4 0
sin cos
BÀI 5 Tính các tích phân sau (dạng 5):
a)
2
0
sin
sin cos
b)
2 0
cos sin cos
c)
2 0
sin sin cos
d)
2
0
cos
sin cos
e)
4 2
4 4 0
sin sin cos
f)
4 2
4 4 0
cos sin cos
g)
6 2
6 6
0
sin
sin cos
h)
6 2
6 6 0
cos sin cos
i)
2 2 0
2sin sin2x xdx
k)
2
2 0
2 cos sin 2x xdx
l)
1 1
x
e e
m)
1 1
x
n)
1
1
x
e e
o)
1 1
x