Hàm tử tor trong phạm trù các nhóm abel

Sự tương đương của các hàm tử Top với các hàm tử Tor trong ph m trù các nhóm abel... uận văn gồm 2 chương Chương 1: ây dựng hàm tử Tor trong phạm trù Module bằng phép giải xạ ảnh... P

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LỜI CAM ĐOAN

Tô tên Trần Qu c K ang, ọc v ên k oa Toán c u ên ng n s v

L t u t s Tô x n cam đoan uận văn t t ng ệp n công trìn ng ên cứu

k oa ọc t ực sự của bản t ân tô , được t ực ện dướ sự ướng dẫn của TS

Trần Huyên

Các thông tin tham k ảo trong đề t n được t u n ập từ n ững nguồn đáng t n cậ , đã được k ểm c ứng, được công b rộng rã v được tô tr c dẵn

rõ r ng ở mục t ệu t am k ảo Các k t quả ng ên cứu trong uận văn n do

c n tô t ực ện một các ng êm túc, trung t ực v k ông trùng ặp vớ các

LỜI CẢM ƠN

ể o n t n uận văn n tô x n c ân t n cảm ơn các T ầ Cô đã tận tìn ướng dẫn, g ảng d trong su t quá trìn ọc tập, ng ên cứu v rèn

u ện t trường ọc Sư p m TPHCM

Có được bản uận văn tót ng ệp n , bên c n sự nỗ ực của bản t ân, tô

đã n ận được sự g úp đỡ rất n ều từ các t ầ cô của P òng Sau Học v đặc

b ệt sự g úp đỡ của TS Trần Hu ên Tô x n gử ờ cảm ơn c ân t n v sâu sắc tớ t ầ , ngườ đã g ảng d tô từ bậc ọc v trực t p ướng dẫn, c ỉ bảo c o tô n ững k n t ức về mặt c u ên môn t ét t ực

Mặc dù đã có n ều c gắng để t ực ện đề t một các o n c ỉn n ất

n ưng vẫn còn n c về mặt k n t ức v k n ng ệm nên k ông t ể trán

k ỏ n ững t u sót n ất địn m bản t ân c ưa t ấ được Tô rất mong được

sự góp ý của quý T ầ , Cô để uận văn được o n c ỉn ơn

Tô x n gử ờ cảm ơn đ n quý T ầ , Cô trong Hộ đồng Bảo vệ Luận văn T c sĩ đã đóng góp ý k n, đưa ra n ững n ận xét v đán g á để uận văn được o n t ện

Tô x n c ân t n cảm ơn!

Học viên thực hiện

Trần Quốc Khang

MỤC LỤC

Lờ cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 D NG HÀM TỬ TOR TRONG PHẠM TRÙ MODU E B NG PH P GIẢI Ạ ẢNH 2

§1 Một vài khái niệm và k t quả về lý thuy t môđun v đ i s đồng đ ều 2

§2 Phép giải x ảnh của một môđun 9

§3 Xây dựng hàm tử xoắn nhờ phép giải x ảnh 13

§4 Các k t quả về hàm tử Tor n trong ph m trù các nhóm Abel 20

Chương 2 D NG HÀM TỬ TOR TRONG PHẠM TRÙ CÁC NH M ABE NHỜ CÁC BỘ BA 23

§1 Tính khớp phải của t c tenxơ 23

§2 Xây dựng nhóm abel Top G A .26 , 

§3 Sự tương đương của các hàm tử Top với các hàm tử Tor trong ph m trù các nhóm abel .39

KẾT LU N 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

MỞ ĐẦU

Các m tử Tor một trong n ững công cụ quan trọng trong n ều

ng n của Toán ọc ện đ : s , ìn ọc v G ả t c V ệc ng ên cứu sự

t ể ện của các m tử Tor n trong các p m trù k ác n au của Toán ọc

một trong n ững xu ướng ng ên cứu của các n Toán ọc Do n ững đặc t ù

k ác n au của mỗ p m trù m các m tử Tor có n ững t n c ất r êng b ệt

bên ngo v có n ững t n c ất c ung

Mục đ n c n của đề t đưa ra các các xâ dựng các m tử Tor trong p m trù các n óm Abe : Xem xét các t n c ất của m tử Tor trong

p m trù các n óm Abe , c ứng tỏ rằng các các xâ dựng các m tử Tor

trong p m trù các n óm Abe tương đương vớ n au

uận văn gồm 2 chương

Chương 1: ây dựng hàm tử Tor trong phạm trù Module bằng phép

giải xạ ảnh

- Xây dựng p ép g ả x ản của một modu e v địn ng ĩa Tor n ư

dẫn xuất của các m tử Tensor

- ưa ra một s t n c ất cơ bản của các m tử Tor trong p m trù các

Chương 1 D NG HÀM TỬ TOR TRONG PHẠM TRÙ MODU E

B NG PH P GIẢI Ạ ẢNH

§1 Một vài khái niệm và kết quả

về lý thuyết môđun và đại số đồng điều 1.1 Kiến thức chuẩn bị

iii P đẳng cấu với h ng tử trực ti p của một môđun tự do

1.1.2 Tích tenxơ của hai môđun

1.1.2.1 Định nghĩa

Cho X R và R Y các môđun p ải và trái trên cùng vành hệ tử R T c tenxơ

của các môđun X và Y là các nhóm abel mà ta sẽ ký hiệu là X Y, sao cho có

ánh x song tuy n tính : X Y   X Y có tính chất là với bất kỳ ánh x song tuy n tính : X  Y G thì tồn t i và duy nhất đồng cấu f X:  Y G thỏa

1.1.2.3 Tích tenxơ của hai đồng cấu

Cho f X: X', :g Y Y' lần ượt là các R - môđun p ải và trái

Ký hiệu đồng cấu h f g t c tenxơ của a đồng cấu f và g cho bởi:

Cho R là vành tùy ý, một phức hợp dây chuyền K các R môđun ọ

K n,n n gồm các R – môđun K n và các R – đồng cấu n:K n K n1 được cho theo tất cả các s nguyên n,   n ơn nữa  n n10 đ ều kiện này tương đương với Im n1 kern N ư vậy phức hợp K là dãy vô tận về hai đầu

:

trong đó t c của a đồng cấu n i ti p nhau thì bằng 0

Phức K được gọ dương n u K n 0 khi n0

ẳng thức H n K 0 n u dãy K khớp t i các K n

Chu trình n – chiều của phức K là phần tử của môđun C K n kern, còn phần

tử n1K n1 t ì được gọi là bờ n – chiều K đó H n C n K n1 môđun

t ương của môđun các c u trìn t eo môđun con các bờ

Lớp ghép của chu trình c trong H n được kí hiệu là clsc

1.1.3.2 Biến đổi dây chuyền

Cho hai phức hợp K v K’, b n đổi dây chuyền f K: K' là họ các đồng cấu

:

n n n n

f K K  sao cho 'n f n f n1n với mọ n ều kiện n ng ĩa b ểu

đồ sau giao hoán:

ể giản tiện ơn k v t, ta sẽ không dùng chỉ s n ở n và dấu phẩy ở 'n

1.1.3.3 Đồng luân dây chuyền

Ta sẽ xét xem k n o t ì đ ều này xảy ra

Vì  đơn cấu nên khi thu hẹp  trên Im  sẽ đẳng cấu nên ta có thể đồng nhất phức K với phức  K là phức con của L

Xét chu trình cK thỏa clsc c Imn1 0 Imn1 trong L

Do đó ớp ghép l K n1 là chu trình của phức t ương L M

Giả sử m là một chu trình của M n1  m 0

Do  là toàn cấu nên có phần tử lL n1 thỏa  l m

 tồn t i chu trình cK n thỏa  c  l

Lớp đồng đ ều clscH n K không phụ thuộc vào sự lựa chọn l thỏa  l m,

nó được xây dựng duy nhất bởi lớp đồng đ ều của phần tử m

Do đó án x Eclsmclsc xác địn đồng cấu

1:

§2 Phép giải xạ ảnh của một môđun

Mọ môđun G môđun t ương 0

0

F G

được gọi là phép giải tự do của môđun G

Cụ thể, ta gọi phép giải x ản X trên môđun G p ức X

Nói cách khác phép giải x ảnh X của môđun G p ức X gồm các môđun x

ản treo trên môđun G m H n X 0 khi n0 và H0 X G

Ta kí hiệu phép giải x ảnh X của G là : X G

Phức X là tự do n u mọi X nn0 tự do

Bây giờ ta so sánh một phức x ảnh bất kỳ với một phép giả n o đó

1.2.1 Định lý (Định lý so sánh)

N u  :GG' đồng cấu, : X G là phức x ảnh trên G và ' : X'G'là phép giải của G’ K đó tồn t i bi n đổi dây chuyền f X:  X' thỏa

' f

  và bất kỳ hai bi n đổi dây chuyền n ư t đồng luân Ta nói bi n

đổi f treo trên đồng cấu 

Chứng minh

Vì X0 môđun x ản v ' : X0 G' to n cấu nên đồng cấu :X0 G'

có thể phân tích qua f0:X0 X0' sao cho ' f0 , tức b ểu đồ sau g ao oán

0

0

' 0 '

Bằng quy n p, g ả sử ta xâ dựng được các đồng cấu f m:X m X m' sao c o

b ểu đồ sau đâ g ao oán

1

1

1 '

Vì X n x ản v dòng dướ k ớp nên tồn t đồng cấu f n :X n Y n thỏa

Áp dụng giả thi t quy n p và do hình vuông thứ hai bên trá g ao oán ta được

§3 Xây dựng hàm tử xoắn nhờ phép giải xạ ảnh

Hàm tử Ext nC A,  có thể được tính nhờ phép giải x ảnh X của môđun C n ư

là H nHom X A Một các tương tự ta sẽ t n toán đ i với  ,   Tor G A n , 

gọi là tích xoắn n – chiều trên R của môđun G v A

Ta sẽ chỉ ra rằng địn ng ĩa n t t, có ng ĩa Tor n RG A,  không phụ thuộc vào cách chọn phép giải x ảnh của môđun G

T eo định lý 9 của §1, tổn t i các bi n đổi dây chuyền :f X  X' và

Vậy H nX AH nX'A

Vì vậy nhóm Tor n RG A,  không phụ thuộc vào việc lựa chọn phép giải x ảnh

X mà chỉ phụ thuộc vào G và A

Trong một s trường hợp khi không cần nhấn m nh vành hệ tử R hoặc vành R

đã được chỉ rõ ta có thể vi t gọn là Tor G A và khi n ,  n1 ta ghi là Tor G A  , 

1.3.3 Tích xoắn hai đồng cấu

Cho  :GG' đồng cấu của các R – môđun p ải và :AA' đồng cấu

của các R – môđun trá G ả sử : X G, ': X'G' tương ứng là phép giải

x ảnh của G v G’ K đó t eo định lý 9 tồn t i bi n đổi dây chuyền f giữa X

v X’ treo trên  thỏa ' f0 và 'n f n  f n1  n, n 0 theo biểu đồ sau

n ư sau

ặt mỗi R- môđun p ảiGMod R tương ứng với nhóm Tor G A n , 

Với mỗ đồng cấu  :GG', : X G, ': X'G' tương ứng là

phép giải x ảnh của G v G’ K đó tồn t i bi n đổi dây chuyền f giữa X v X’

treo trên  ặt tương ứng đồng cấu  vớ đồng cấu nhóm

là phép giải x ảnh của G mà Tor G A không phụ thuộc vào việc chọn phép n , 

giải x ảnh của G nên dãy trên có thể dùng để địn ng ĩa Tor G A va do đó n , 

với X nn0đều môđun x ảnh

Vì môđun x ản môđun dẹt nên chúng bảo toàn tính khớp của hàm tử tenxơ,

do đó với mỗi n ta có dãy khớp

0 X n  A X n A'X n  A"0

Từ đó ta được dãy khớp ngắn các phức

0   X A X A' X A"0

Lấ dã đồng đ ều của dãy khớp trên và áp dụng k t quả đã n ắc l i ở bài 1 ta

có dãy vô tận các môđun đồng đ ều sau cũng

§4 Các kết quả về hàm tử Tor n trong phạm trù các nhóm Abel

Ta xem xét một vài tính chất đặc trưng của hàm tử Tor n trong ph m trù này

Ta đã F môđun tự do, cho ta dãy khớp ngắn

trong đó R môđun con của môđun tự do F trên vành chính nên R cũng

môđun tự do N ư vậy dãy khớp trên có thể xem n ư p ép g ải tự do độ dai bằng hai và nó cũng là phép giải x ản độ dài bằng hai của A

C o các n óm abe G v A xem n ư  môđun

K đó đẳng cấu sau là tự nhiên

Dãy khớp trên là một phép giải x ảnh thậm chí là tự do của môđun q

Do đó ta có Tor q,Akeri1A  aA qa| 0qA

1.4.6 Tính chất

Cho G là nhóm abel hữu h n sinh và A là nhóm abel bất kỳ

K đó Tor G A là nhóm xoắn ặc biệt,  ,  Tor G A ,  là tổng trực ti p của các nhóm con xoắn của A

Do đó Tor G A là nhóm xoắn Hơn nữa,  ,  Tor G A là tổng trực ti p của các  , 

nhóm con xoắn của G

Chương 2 D NG HÀM TỬ TOR TRONG PHẠM TRÙ CÁC

NH M ABE NHỜ CÁC BỘ BA

Trong c ương I ta để ý rằng các hàm tử Tor trong pham trù các nhóm abel chỉ

cần xem xét trên Tor1 Trong c ương n , ta sẽ tìm cách xây dựng khác hàm tử 1

Tor này nhờ nhóm sinh bởi các bộ ba từ sự đán g á t n k ông k ớp về bên

trái của các hàm tử tenxơ

§1 Tính khớp phải của tích tenxơ

Ta đã b t t c tenxơ bảo toàn tính khớp phải của dãy khớp nhờ định lý sau

2.1.1 Định lý

Cho f X: X' và :g Y Y' là các toàn cấu R – môđun p ải và R – môđun trá K đó, t c tenxơ f g X:  Y X'Y' là toàn cấu n óm, đồng thời

h t nhân ker f g là nhóm con của X Y được sinh bởi các phần tử x y

trong đó xker f hoặc ykerg, tức là

Tức là 1A  đồng cấu 0 nên k ông đơn cấu

Ví dụ này dẫn ta đ n một nhận xét: Vớ môđun con X Y không thể khẳng

Ta sẽ mô tả các phần tử của ker 1 A

ó các p ần tử ax sao cho tồn t i phần tử y mà với cùng một s nguyên

m ta có  x my và ma0 K đó:

N ư vậy phần tử ax phụ thuộc vào a m,  và  y z

Hơn nữa, mz m y  my    x 0 (Do dãy khớp E)

Ở đâ ta v t am thay cho ma vì có thể xem nhóm A n ư môđun p ải trên

§2 Xây dựng nhóm abel Top G A  , 

2.2.1 Tích xoắn các nhóm

Vớ các n óm abe G, A c o trước, ta xác định tích xoắn Top G A là nhóm  , 

abel có các phần tử sinh là tất cả các bộ ba g m a, ,  trong đó m , gm0trong G và ma0 trong A thỏa các hệ thức cộng t n v trượt với các nhân tử

Thật vậy, giả sử G không xoắn

Xét phần tử sinhg m a, , Tor G A ,  thỏa gm 0 ma

Từ địn ng ĩa ta t ấy các phần tử sinh g m a, ,  của Top G A ,  có tính chất cộng t n t eo g v a V nó cũng có t n c ất cộng tính theo m

ặt mỗi vật Ab tương ứng với nhóm Top G A  , 

ặt mỗ đồng cấu : AA' tương ứng vớ đồng cấu nhóm

Vậy Top G , là hàm tử hiệp bi n

Tương tự, Top,A cũng m tử hiệp bi n

Từ hệ thức (2.2) suy ra   * * * nên ta có đẳng cấu

N ư vậ để tính Top G A của các nhóm hữu h n sinh, ta chỉ cần t n đ i với  , 

các nhóm cyclic hữu h n A

Vậy  và  đồng cấu ngược của nhau nên  đẳng cấu

Khi c địn n óm c c c G t ì đẳng cấu  là tự n ên t eo A n ưng p ụ thuộc vào việc chọn phần tử sinh của G

Vớ địn ng ĩa trên t ì  là ánh x vì không phụ thuộc vào cách biểu diễn phần

tử của môđun t ương

Ta kiểm tra  bảo toàn các hệ thức (2.2.1) đ n (2.2.4)

Ta thấy rằng tích xoắn được sinh ra là do tính không khớp của  Ta đ đ n định lý sau:

E g m zk g m z (2.2.7) trong đó k g m z , ,   g x ker 1 G  với mg 0 mz và x là phần tử

thuộc X thỏa  x my và  y z

Chứng minh

Hiển nhiên,E* đồng cấu do địn ng ĩa E* g m z, , k g m z , , thỏa các đồng nhất thức tử (2.1.1) đ n (2.1.4) đã đề cập ở c ương II §1

Do E*g m z, , k g m z , , ker 1 G  nên ImE* ker 1 G

Ta cũng dễ dàng kiểm traIm* ker E*

Ta chứng minh bao hàm thức ngược l i

Ta chỉ ra rằng để chứng m n đều này ta chỉ cần chứng m n trong trường hợp

Do hình vuông bên trái giao hoán nên ta có

hay ker 1 G ImE* Vậy dãy khớp t i GX

Ti p theo do G hữu h n sinh nên G là tổng trực ti p của các nhóm cyclic Vì cả

Top và  đều bi n tổng trực ti p thành tổng trực ti p nên dãy (2.2.6) là tổng trực ti p của các dã tương ứng với các h ng tử cyclic của G

N u G thì mọi tích xoắn đều bằng 0 và dãy n i tớ đẳng cấu với chính dãy khớp ngắn E đã c o

N u G a là nhóm cyclic hữu h n cấp q, dựa v o các đẳng cấu đã b t về

Tor và  , ta có biểu đồ giao hoán sau

hay kerE# Im nên dã cũng k ớp t i qZ

Vì các ánh x  và  đẳng cấu nên do dòng dưới là khớp cũng dẫn đ n tính khớp của dòng trên

§3 Sự tương đương của các hàm tử Top với các hàm tử Tor

trong phạm trù các nhóm abel

Ta sẽ chỉ ra rằng cách xây dựng Tor trong c ương I mà cụ thể là trong ph m trù

các nhóm abel chỉ là Tor1 mà ta vẵn kí hiệu là Tor o n to n tương đương với các hàm tử Top được xây dựng nhờ vào các bộ ba trong c ương II

Theo k t quả c ương II ta có dãy khớp

Mà Tor G K , Tor G F , 0 vàTop G K , Top G F , 0 do K, F là các

môđun tự do, từ đó ta có b ểu đồ sau

2.3.2 Định lý

Các đ ều kiện sau c o n óm G tương đương

(i) G không có phần tử nào cấp hữu h n ngoài 0

(ii) Tor G A ,  0 với mỗi nhóm abel A

(iii) N u : X  Y đơn cấu thì 1G:GX  G Y cũng đơn cấu (iv) Bất kỳ dãy khớp ngắn n o cũng được bảo toàn tính khớp k tenxơ với

G

Chứng minh

   i  ii : G không có phần tử nào cấp hữu h n

Xét phần tử sinh g m a, , Tor G A ,  thỏa gm 0 ma

p

p E

hay 1G  đơn cấu

   iii  iv : Cho G là R – môđun p ải và dãy khớp ngắn

KẾT LU N

Trong luận văn n , tô đã trìn b a các xâ dựng hoàn toàn khác

nhau của hàm tử Tor, và khi xét trong ph m trù các n óm Abe , tô đã c ứng

m n được một s tính chất đặc trưng của hàm tử Tor trong ph m trù này

N ưng dù với cách xây dựng n o, c úng cũng có n ững tính chất tương tự

n au ặc biệt, c úng tô đã c ứng m n được sự tương đương của hai cách xây dựng này hoàn toàn tự nhiên

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Saunders Mac Lane (1975), Homology, Springer

2 Baer, R (1940), Abelian Group that Are Direct Summands of Every

Containing Abelian Group, Bull AMS 46

3 Eilenberg, S (1955), On the Homology Theory of Abelian Groups,

Can J Math

4 Whitney, H (1938), Tensor Products of Abelian Groups, Duke Math

5 Freyd, P (1960), Functor Theory, Dissertation, Princeton University