Sự đối ngẫu của các điều kiện liên tục và rời rạc trong phạm trù môđun

Một số lớp vành và các đặc trng của chúng Chơng II Sự đối ngẫu của các điều kiện liên tục và điều kiện rời rạc của các môđun 2.1.. Hớng thứ nhất nghiêncứu vành bằng cách xét các cấu trú

Bộ giáo dục và đào tạo Tr

ờng đại học vinh

Luận văn đợc bảo vệ trớc Hội đồng chấm luận văn Thạc sỹ, tại Trờng Đạihọc Vinh, vào hồi…… giờ…… ngày…… tháng…….năm 200…

Có thể tìm đọc luận văn tại Th viện Trờng Đại học Vinh

1.1 Môđun con cốt yếu, môđun con đối cốt yếu

1.2 Môđun con bù - giao, môđun con bù - cộng

1.3 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ

1.4 Môđun noether, môđun artinian

1.5 Môđun đơn, môđun nửa đơn

1.6 Phạm trù σ[M]

1.7 Môđun suy biến

1.8 Một số lớp vành và các đặc trng của chúng

Chơng II Sự đối ngẫu của các điều kiện liên tục và điều

kiện rời rạc của các môđun

2.1 Một số kết quả đối ngẫu trong phạm trù môđun

2.2 Các kết quả đối ngẫu của các điều kiện (C1), (C2), (C3), và

(D1), (D2), (D3)

Kết luận của luận văn

Tài liệu tham khảo

77891111121314

1617

203940

Bảng các ký hiệu

Các ký hiệu về lý thuyết vành và môđun chủ yếu chúng tôi dựa theoAnderson - Fuller [4], Dung - Huynh - Smith - Wisbauer [5], Mohamed -

Mĩller [9], Sharpe - Vamos [13]

A ≤ M: A là môđun con của M

A ≤e M: A là môđun con cốt yếu của M

A << M: A là môđun con đối cốt yếu của M

A ⊆ M: A là tập hợp con của M

A ⊂⊕ M: A là hạng tử trực tiếp của môđun M

ACC: điều kiện chuỗi tăng

DCC: điều kiện chuỗi giảm

E(M): bao nội xạ của môđun M

EA(M) : bao A - nội xạ của môđun M

⊕: tổng trực tiếp của các môđun

N- xạ ảnh: thuộc tính xạ ảnh đối với môđun N

N - nội xạ: thuộc tính nội xạ đối với môđun N

RR: vành R xét nh môđun phải trên chính nó

σ[M]: phạm trù con đầy của Mod-R sinh bởi M

r(A): linh hoá tử của tập hợp A

Z(M): môđun con suy biến của môđun M

⊕ - bù, H - bù: các kiểu thuộc tính khả bù

K- bù: đối ngẫu của H- bù

Mở Đầu

Có hai hớng chính để nghiên cứu lý thuyết vành Hớng thứ nhất nghiêncứu vành bằng cách xét các cấu trúc nội tại của vành nh các vành con, cáciđêan, các phần tử luỹ đẳng, các phần tử luỹ linh, nghiên cứu căn và đế củavành, nghiên cứu các lớp vành thoả mãn một số tính chất nào đó nh vành giaohoán, vành địa phơng, vành noether, vành artinian,

Hớng thứ hai nghiên cứu các tính chất của vành xuất phát từ việc nghiêncứu các ảnh hởng qua lại giữa tính chất của vành với tính chất của các môđuntrên vành đó Hớng nghiên cứu này dẫn đến vấn đề nghiên cứu các lớp môđun

đợc lựa chọn để mô tả tính chất vành, theo hớng nghiên cứu này ta có hai bàitoán thờng đợc đặt ra nh sau:

Bài toán 1 Cho biết vành R có thuộc tính (T) và (A) là một lớp R- môđun

nào đó, có thể khẳng định gì về tính chất của lớp môđun (A) ?

Bài toán 2 Cho R là một vành và (A) là một lớp các R- môđun nào đó.

Nếu mọi môđun thuộc (A) đều có một thuộc tính (P) xác định, khi đó có thểsuy ra đợc tính chất gì của vành R ?

Vấn đề sẽ trở nên thú vị nếu kết quả nghiên cứu hai bài toán trên dẫn đến một

điều khẳng định: Vành R có thuộc tính (T) khi và chỉ khi lớp R - môđun (A) cóthuộc tính (P) Trong trờng hợp đó ta nói rằng đã đặc trng thuộc tính (T) của vành

R bởi thuộc tính (P) của lớp R- môđun (A)

Về mặt lịch sử nghiên cứu thì hớng thứ nhất phát triển sớm hơn và đã thu đợcnhiều kết quả quan trọng, hớng thứ hai xuất hiện muộn hơn nhng đang là một h-ớng nghiên cứu đợc nhiều ngời quan tâm Từ năm 1960 lại nay nhiều tác giả đã thu

đợc các đặc trng cho các lớp vành, vành nửa đơn, vành noether, vành artinian, QF vành, vành PF, vành Co - H, , bằng các thuộc tính của các lớp môđun đợc lựachọn một cách thích hợp

-Vì những ứng dụng của các lớp môđun vào việc nghiên cứu đặc trng vành màviệc nghiên cứu các lớp môđun trở nên hấp dẫn và thu đợc nhiều kết quả mới

Trong các lớp môđun thì lớp các môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh có vaitrò quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành và môđun Từ trớc đến nay cáclớp môđun này vẫn là những đối tợng truyền thống đợc nghiên cứu liên tục Cáckết quả tìm thấy đợc sử dụng để mô tả cấu trúc vành.

Về sau các tác giả đã tìm cách mở rộng các lớp môđun trên để áp dụng vàoviệc nghiên cứu một số lớp vành rộng hơn Các lớp môđun liên tục và tựa liêntục đợc định nghĩa qua các điều kiện (C1), (C2), (C3) là các mở rộng thật sự củalớp môđun nội xạ

Cùng với việc mở rộng lớp môđun nội xạ, ngời ta cũng mở rộng lớpmôđun xạ ảnh Năm 1963 Mares đa ra khái niệm môđun bù - cộng, Fleury địnhnghĩa khái niệm môđun hổng năm 1974

Bằng cách sử dụng các điều kiện (D1), (D2), (D3) đối ngẫu với các điềukiện (C1), (C2), (C3), Mohamed và Singh (1977) đã định nghĩa môđun rời rạc,Oshiro (1983) định nghĩa khái niệm môđun tựa rời rạc Đối với vành hoànchỉnh, lớp môđun tựa rời rạc và môđun rời rạc là các mở rộng của lớp môđunxạ ảnh

Luận văn này đặt vấn đề nghiên cứu các lớp môđun thoả mãn các điềukiện liên tục và các lớp môđun thoả mãn các điều kiện rời rạc, trên cơ sở đốingẫu về định nghĩa và các thuộc tính, và nghiên cứu sự ứng dụng của các lớpmôđun đó vào việc nghiên cứu đặc trng cho các lớp vành quen biết nh lớp vànhnửa đơn, SI, SC, … Sự nghiên cứu các lớp môđun nói trên đợc thực hiện theo h-ớng chỉ ra một cách tờng minh sự đối ngẫu của các thuộc tính mà các môđunthuộc các lớp đó thoả mãn, đồng thời chỉ ra trong một số trờng hợp có thể dùng

sự đối ngẫu đó để từ một tính chất của lớp môđun này dự đoán một tính chấtcủa lớp môđun kia, thậm chí có thể dùng cách chứng minh của kết quả tronglớp môđun này gợi ý cho ý tởng chứng minh kết quả đối ngẫu với nó trong lớpmôđun kia

Theo hớng nghiên cứu trên, luận văn đợc trình bày thành hai chơng

Chơng I dành cho việc nhắc lại một số khái niệm và kết quả đã biết về cáclớp vành và môđun và sắp xếp các kết quả đó thành từng cặp đối ngẫu nhaunhằm làm cơ sở cho chơng sau.

Chơng II chủ yếu đợc viết trên cơ sở tổng hợp các kết quả của [9], [15].Nội dung chính của chơng này là trình bày các kết quả đối ngẫu với nhau tronghai lớp môđun (tựa) liên tục và (tựa) rời rạc cùng một số ứng dụng của chúngvào nghiên cứu vành và môđun

Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh, dới sự hớngdẫn của thầy giáo TS Chu Trọng Thanh Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chânthành và sâu sắc trớc sự giúp đỡ tận tình của thầy, giúp chúng tôi mạnh dạn suynghĩ trong quá trình nghiên cứu đề tài

Nhân dịp này, chúng tôi xin cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán,khoa Sau đại học của trờng Đại học Vinh, nhóm seminar vành và môđun, cáchọc viên lớp Cao học 10 - Đại số, gia đình và tất cả các bạn bè đã tạo điều kiệngiúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Cuối cùng, do năng lực nghiên cứu còn nhiều hạn chế nên luận văn sẽkhông thể tránh khỏi những tồn tại, chúng tôi mong nhận đợc sự góp ý chântình của thầy giáo, cô giáo cùng tất cả các bạn

Chơng I

Các kiến thức cơ sở về lý thuyết vành và môđun

Trong luận văn này chúng tôi chỉ xét các vành R kết hợp, có đơn vị Phạmtrù các môđun phải đơn nguyên trên R đợc ký hiệu là Mod-R Các

R- môđun phải M sẽ đợc nói gọn là môđun M Khi vành R đợc xét nh mộtmôđun phải trên chính nó ta sẽ ký hiệu là RR Các khái niệm, tính chất cơ bản

và ký hiệu về lý thuyết vành và môđun chủ yếu chúng tôi sử dụng trong các tàiliệu tham khảo, Anderson - Fuller [4], Dung - Huynh - Smith - Wisbauer [5],Mohamed - Mĩller [9], Sharpe - Vamos [13]

1.1 Môđun con cốt yếu, môđun con đối cốt yếu

1.1.1 Định nghĩa Cho A là một môđun con của M A đợc gọi là môđun

con cốt yếu (essential) trong M nếu với mỗi môđun con X ≠ 0 của M ta luôn có

A ∩ X ≠ 0 Trong trờng hợp này ta cũng nói M là một mở rộng cốt yếu

(essential extension) của A và đợc ký hiệu là A ≤e M

Một mở rộng cốt yếu M của A đợc gọi là mở rộng cốt yếu thực sự (proper

essential extension) nếu M ≠ A

Môđun M đợc gọi là đều (uniform) nếu mọi môđun con khác 0 của M là

môđun con cốt yếu của M

Môđun con A đợc gọi là đóng (closed) trong M nếu A không có một mở

rộng cốt yếu thực sự trong M Nói khác đi, A gọi là đóng trong M nếu với mọimôđun con B của M mà A ≤e B thì B = A

Môđun con B của M đợc gọi là bao đóng (closure) của môđun con A trong

M nếu B là môđun con tối đại trong M sao cho A là cốt yếu trong B

Nhận xét (xem [9]) Bao đóng của môđun con A trong M luôn tồn tại.

1.1.2 Định nghĩa Giao của tất cả các môđun con cốt yếu của môđun M

đợc gọi là đế (socle) của M và ký hiệu là Soc(M).

Nhận xét (xem [4]) Soc(M) = ∑ { K ≤ M  K tối tiểu trong M }

1.1.3 Định nghĩa Cho A là môđun con của M Môđun A đợc gọi là bé

(small) hay đối cốt yếu (superfluous) trong M nếu với mọi môđun con thực sự

X của M thì A + X ≠ M, và đợc ký hiệu là A << M

Môđun M sao cho mọi môđun con thực sự của M là môđun bé trong M

đ-ợc gọi là môđun hổng (hollow).

1.1.4 Định nghĩa Cho môđun M, ta gọi căn (radical) của môđun M là

giao của tất cả các môđun con tối đại của M, ký hiệu J(M)

Nhận xét ( xem [4]) J(M) = ∑ { L ≤ M L là đối cốt yếu trong M }.

1.2 Môđun con bù - giao, Môđun con bù - cộng

1.2.1 Định nghĩa Cho A là môđun con của M Môđun con A' của M tối

đại trong số các môđun con của M có giao với A bằng không đợc gọi là bù -giao (complement) của A trong M.

Môđun con B của M đợc gọi là môđun con bù - giao (complement

submodule) nếu tồn tại một môđun A của M sao cho B là bù - giao của A trongM

Nhận xét (xem [9]) Bù - giao của một môđun trong M luôn tồn tại nhng

nói chung không duy nhất.

1.2.2 Tính chất 1) Cho A là môđun con của M, môđun B là bù - giao

(ii) Nếu A là môđun con đóng trong B và B là môđun đóng trong M thì A

là môđun con đóng trong M.

(iii) Nếu A là môđun con của M và B là môđun con đóng trong M sao cho A ∩ B = 0 và A ⊕ B ≤e M thì B là một bù - giao của A trong M.

1.2.3 Định nghĩa Cho A là một môđun con của M Môđun con P của M

tối tiểu trong số các môđun con của M thoả mãn điều kiện A + P = M thìmôđun P đợc gọi là bù - cộng (supplement) của A trong M.

Môđun con B của M đợc gọi là môđun con bù - cộng (supplement

submodule) nếu B là bù - cộng của một môđun con nào đó của M.

Nhận xét (xem [1]) Nếu M = A ⊕ B thì B vừa là bù giao, vừa là bù cộng của A trong M.

-Khác với bù - giao của một môđun con, bù - cộng của một môđun controng M có thể không tồn tại Ví dụ trong môđun ZZ không có môđun con khác

0 nào có môđun con bù - cộng

1.2.4 Tính chất Cho A và P là môđun con của M thì P là bù - cộng của

A nếu và chỉ nếu M = A + P và A ∩ P << P.

1.2.5 Định nghĩa Môđun M thoả mãn điều kiện với mọi môđun con A và

B của M sao cho A + B = M, A chứa bù - cộng của B trong M thì ta nói M là

môđun khả bù (supplemented).

1.2.6 Định nghĩa Môđun M thoả mãn điều kiện mọi môđun con A của M

có bù - cộng trong M đợc gọi là môđun khả bù yếu (weakly supplemented).

1.3 Môđun xạ ảnh, Môđun nội xạ

1.3.1 Định nghĩa Giả sử M, N là các R- môđun Môđun M đợc gọi là

N-xạ ảnh (N - projective) nếu với mỗi môđun con X của môđun N, mọi đồng cấu

f: M → N/X có thể nâng đợc thành đồng cấu từ M đến N

Mf

Nếu môđun M là M- xạ ảnh thì ta nói M là môđun tựa xạ ảnh (hoặc tự xạ

ảnh) (quasi - projective) Môđun M đợc gọi là xạ ảnh (projective) nếu nó là

N-xạ ảnh, với mọi môđun N

Các môđun M và N đợc gọi là xạ ảnh tơng hỗ (hoặc xạ ảnh lẫn nhau)

(relatively projective) nếu M là N- xạ ảnh và N là M- xạ ảnh

1.3.2 Định nghĩa Cho môđun M, nếu tồn tại môđun xạ ảnh P cùng với

môđun con X bé trong P sao cho M ~ P/X thì P đợc gọi là bao xạ ảnh của M.

Bao xạ ảnh của một môđun không phải bao giờ cũng tồn tại, chẳng hạn môđun Q

Z-1.3.3 Định nghĩa Giả sử M và N là các R- môđun Môđun M đợc gọi là

N- nội xạ (N - injective) nếu với mỗi môđun con X của N và mọi đồng cấu f: X

→ M mở rộng đợc thành đồng cấu từ N đến M

Nếu môđun M là M- nội xạ thì ta nói M là môđun tựa nội xạ (hoặc tự nội xạ) (quasi - injective) Môđun M đợc gọi là môđun nội xạ (injective) nếu nó là

N- nội xạ với mọi môđun N

Các môđun M và N đợc gọi là nội xạ tơng hỗ (hoặc nội xạ lẫn nhau)

(relatively injective) nếu M là N- nội xạ và N là M- nội xạ

1.3.4 Định nghĩa Đối với mỗi môđun M đều có một mở rộng cốt yếu nội

xạ, ký hiệu là E(M) Môđun E(M) đợc gọi là bao nội xạ (injective hull) của M.

1.4 Môđun noether, môđun artinian

Mf

1.4.1 Định nghĩa Cho X là một tập hợp sắp thứ tự bởi ≤ (tơng ứng, ≥), ta nói X thoả mãn điều kiện chuỗi tăng (tơng ứng, giảm) nếu mọi chuỗi tăng

X1 ≤ X2 ≤ X3 ≤ … (tơng ứng, chuỗi giảm

X1 ≥ X2 ≥ X3 ≥ … )tồn tại chỉ số n sao cho Xn = Xn+1 = …

Điều kiện chuỗi tăng (tơng ứng, chuỗi giảm) đợc ký hiệu là ACC

(ascending chain condition) (tơng ứng, DCC (descending chain condition)).Môđun M đợc gọi là môđun noether (tơng ứng, artian) nếu tập hợp các

môđun con của nó thoả mãn ACC (tơng ứng, DCC) theo quan hệ bao hàm.Vành R đợc gọi là noether phải (tơng ứng, artian phải) nếu RR là môđunnoether (tơng ứng, artian)

1.4.2 Tính chất 1) Mọi môđun con và môđun thơng của môđun noether

(tơng ứng, artian) là môđun noether (tơng ứng, artian).

2) Các phát biểu sau đây đối với môđun M là tơng đơng:

(i) M là môđun noether (tơng ứng, artian);

(ii) Mọi môđun con (tơng ứng, môđun thơng) của M là hữu hạn sinh

(t-ơng ứng, hữu hạn đối sinh);

(iii) Mọi họ khác rỗng các môđun con của M chứa phần tử tối đại (tơng ứng, tối tiểu).

1.5 Môđun đơn, môđun nửa đơn

1.5.1 Định nghĩa Môđun MR khác không đợc gọi là đơn (simple) nếu M

chỉ có hai môđun con tầm thờng là 0 và M

Một R- môđun M đợc gọi là môđun nửa đơn (semisimple) nếu nó là tổng

của những R- môđun đơn

Vành R đợc gọi là vành nửa đơn (semisimple ring) nếu RR là môđun nửa

đơn

1.5.2 Tính chất Đối với môđun M , , các mệnh đề sau đây tơng đơng: (i) M là môđun nửa đơn;

(ii) M đợc sinh ra bởi các môđun đơn;

(iii) M là tổng của họ nào đó các môđun con đơn;

(iv) M là tổng của các môđun con đơn của M;

(v) Mỗi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M;

(vi) Mọi dãy khớp ngắn 0 → K → M → N → 0 của các R- môđun phải chẻ ra.

1.6 Phạm trù σ[M]

1.6.1 Phạm trù con đầy Cho C là một phạm trù và D là phạm trù con

của nó D đợc gọi là phạm trù con đầy của C nếu với mọi vật A, B ∈ D luôn

có HomD (A, B) = HomC (A, B)

1.6.2 Hệ sinh Môđun N đợc gọi là môđun sinh bởi M nếu N là ảnh đồng

cấu của một tổng trực tiếp các bản sao môđun M

Môđun M đợc gọi là hệ sinh của Mod-R nếu mọi môđun N ∈ Mod-R đợcsinh bởi M

1.6.3 Phạm trù σ[M] Phạm trù con của Mod-R gồm tất cả các môđun

con của các môđun sinh bởi M đợc ký hiệu là σ[M] σ[M] là một phạm trù con

đầy của Mod-R

Mỗi môđun N ∈ σ[M] có một mở rộng cốt yếu M- nội xạ trong σ[M], kýhiệu là EM(N), và gọi là bao M- nội xạ của N

Bao nội xạ, bao M- nội xạ của mỗi môđun N ∈ Mod-R là duy nhất, saikhác một đẳng cấu

1.7 Môđun suy biến

1.7.1 Định nghĩa Cho M là một R- môđun và A là tập hợp con của M Ta

Cho M là một môđun và m là phần tử của M

(i) Nếu r(m) là một iđêan phải cốt yếu của R thì ta gọi m là phần tử suy biến của R.

(ii) Tập hợp các phần tử suy biến của M làm thành một môđun con gọi là

môđun suy biến (singular submodule) của M, ký hiệu là Z(M).

(iii) Nếu môđun M có Z(M) = M thì ta nói M là môđun suy biến (singular

module)

(iv) Nếu môđun M có Z(M) = 0 thì M đợc gọi là môđun không suy biến

(non - singular module)

Vành R đợc gọi là không suy biến phải (right non - singular ring) nếu RR

là môđun không suy biến

Cho trớc môđun M có thể xảy ra M suy biến nếu Z(M) = M; M không suybiến nếu Z(M) = 0 và M không phải là môđun suy biến mà cũng không phải làmôđun suy biến nếu M ≠ Z(M) ≠ 0

1.7.2 Định nghĩa Cho M và N là các R- môđun phải Môđun N đợc gọi

là M- suy biến (M- singular) nếu tồn tại môđun K ∈ σ[M], và môđun con cốtyếu L trong K sao cho N ~ K/L

Khi M = RR thì khái niệm môđun R- suy biến trùng với khái niệm môđunsuy biến trình bày ở trên

Mọi môđun M- suy biến đều thuộc phạm trù σ[M] Mặt khác, mọi môđunM- suy biến là môđun suy biến Lớp các môđun M- suy biến đóng kín đối vớiviệc lấy môđun con, môđun thơng và tổng trực tiếp

1.7.3 Định nghĩa Môđun M đợc gọi là SI- môđun (tơng ứng, SC- môđun)

nếu mọi môđun M- suy biến là M- nội xạ (tơng ứng, liên tục)

Vành R đợc gọi là SI- vành phải ( tơng ứng, SC- vành phải) nếu RR là môđun (tơng ứng, SC- môđun )

SI-1.8 Một số lớp vành và các đặc trng của chúng

Ngoài các lớp vành nửa đơn, artinian, noether đã đợc định nghĩa ở trên,trong mục này chúng tôi đa ra định nghĩa của một số lớp vành thờng gặp khác

1.8.1 Vành chính qui Một vành R đợc gọi là chính quy (regular) nếu a ∈

aRa với mọi a ∈ R

1.8.2 Vành tựa Frobenius Một vành R tựa nội xạ phải và trái, artinian

phải và trái đợc gọi là vành tựa Frobenius (viết tắt là QF- vành)

Sau đây chúng tôi trình bày một số các đặc trng của các lớp vành quen biếtqua các thuộc tính của các lớp môđun đã đợc giới thiệu ở trên Những kết quả

đợc trình bày ở đây có thể xem nh những ví dụ tiêu biểu cho hớng nghiên cứu

R- môđun phải nội xạ là nội xạ.

(ii) R là vành noether phải nếu và chỉ nếu mọi tổng trực tiếp đếm đợc của các bao nội xạ của các R- môđun phải đơn là nội xạ.

Chơng II

Sự đối ngẫu của các điều kiện liên tục và điều kiện

rời rạc của các môđun

Các môđun nói đến trong chơng này đều đợc giả định là các môđun trênvành R, với R là một vành cho trớc.Vì vậy khi nói đến môđun chúng ta hiểu đó

là môđun trong phạm trù Mod-R

Trong chơng này chúng tôi trình bày một số kết quả về các môđun đốingẫu nhau là môđun (tựa) liên tục và môđun (tựa) rời rạc Môđun liên tục vàmôđun tựa liên tục đợc định nghĩa lần đầu tiên bởi Mohamed và Bouhy qua các

điều kiện (C1), (C2), (C3) Chúng là những mở rộng của khái niệm môđun nộixạ Khái niệm môđun rời rạc và môđun tựa rời rạc đợc định nghĩa một cách đốingẫu qua các điều kiện (D1), (D2), (D3) Gần đây một số tác giả đã thay thế các

điều kiện (C1) và (D1) bằng một số điều kiện yếu hơn để xét lớp môđun rộnghơn

Năm 1988 M A KaMal và B J Mĩller đã xét các môđun với các điềukiện (1- C1) Năm 1992 P F Smith và A Tercan xét các môđun với điều kiện(C11) Ngoài ra một số tác giả khác nh Lê Văn Thuyết, Nguyễn Việt Dũng, ĐinhVăn Huỳnh và Birkenmeier còn đề xuất các mở rộng khác của môđun CS

nh f- CS, FES, FCS, FC11 Trong phần sau đây chúng tôi sẽ đa ra một số địnhnghĩa của các khái niệm mở rộng của môđun CS

Ta nói môđun M thoả mãn điều kiện (1 - C 1 ) nếu mọi môđun con đều cốt

yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

Ta nói môđun M thoả mãn điều kiện (C 11 ) nếu mọi môđun con A của M

tồn tại môđun con bù giao A' của A sao cho A' là hạng tử trực tiếp của M

Các điều kiện (1 - C1) và (C11) thực sự là yếu hơn điều kiện (C1) Một sốkết quả về môđun với (C11) đợc trình bày trong [14] Một cách đối ngẫu thìMohamed và Mĩller [9] xét điều kiện H- bù và ⊕- bù Các điều kiện này yếu

hơn điều kiện (D1) Trong chơng này chúng tôi có sử dụng các điều kiện nóitrên để đặc trng cho môđun tựa liên tục và môđun tựa rời rạc

2.1 một số kết quả đối ngẫu trong phạm trù môđunTrong phạm trù môđun có nhiều khái niệm đợc xây dựng thành từng cặp

đối ngẫu nhau Trong chơng I chúng tôi đã hệ thống hoá lại một số kiến thức cơ

sở về môđun và đã sắp xếp chúng thành từng cặp đối ngẫu với nhau Trong phầnsau đây chúng tôi tiếp tục làm rõ sự đối ngẫu của các khái niệm và tính chất củacác môđun theo quan điểm nhìn chúng trong mối quan hệ đối ngẫu nhau

2.1.1 Tính chất của môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu

1) Cho K, H, N ≤ M sao cho K ≤ N ≤ M và H ≤ M thì;

(i) K ≤e M ⇔ K ≤e N và N ≤e M.

(ii) H ∩ K ≤e M ⇔ H ≤e M và K ≤e M.

(iii) Nếu f: M → N là đồng cấu môđun và A ≤e N thì f -1 (A) ≤e M.

(iv) N/K ≤e M/K ⇒ N ≤e M.

2) Cho M là R- môđun và S là vành các tự đồng cấu của M, S = End(M)

và ∆ = { f ∈ S  Ker(f) ≤e M } Khi đó ∆ là iđêan (hai phía) của S.

1 ) Cho A, B, C’ ≤ M sao cho A ≤ B ≤ M và C ≤ M thì

(i) B << M ⇔ A << M và B/A << M/A.

(ii) C + A << M ⇔ C << M và A << M.

(iii) A << B và B ≤ C ⇒ A << C.

(iv) A << M , A ≤ B và B ⊂⊕ M ⇒ A << B.

(v) Nếu f: M → N là đồng cấu môđun và A << M thì f(A) << f(M).

2’) Cho M là R- môđun Ký hiệu ∇ = { f ∈ S  Im(f) << M } Khi đó ∇

là iđêan (hai phía) của S.

2.1.2 Tính chất của môđun xạ ảnh và môđun nội xạ

1) (i) Nếu M là N- xạ ảnh và A là môđun con của N thì M là A- xạ ảnh

và N/A- xạ ảnh.

(ii) Nếu M là N- xạ ảnh thì mọi toàn cấu f: N → M đều chẻ ra Trờng hợp đặc biệt, nếu môđun N là không phân tích đợc thì f là một đẳng cấu (iii) Tổng trực tiếp của một họ bất kỳ các môđun N- xạ ảnh là một môđun N- xạ ảnh.

2) Giả sử môđun M có sự phân tích M = S ⊕ T Khi đó các điều kiện sau

đây là tơng đơng:

(i) S là T- xạ ảnh;

(ii) Đối với mọi môđun con N của M sao cho M = N + T tồn tại một môđun con S' của M sao cho S' ⊆ N và M = S' ⊕ T;

Nếu M là môđun khả bù thì (i) và (ii) tơng đơng với

(iii) Mỗi môđun con bù - cộng của T trong M là bù - giao của T trong M Trong trờng hợp này mọi môđun bù - cộng của T trong M cũng là bù trực tiếp.

1’) (i) Nếu M là N- nội xạ và A là môđun con của N thì M là A- nội xạ

2’) Giả sử môđun M có sự phân tích M = M 1⊕ M 2 Khi đó các điều kiện sau đây tơng đơng:

(i) M 2 là M 1 - nội xạ;

(ii) Đối với mỗi môđun con N của M mà N ∩ M 2 = 0, tồn tại môđun con N' của M sao cho N ⊆ N' và M = N' ⊕ M 2

(iii) Mỗi môđun con bù - giao của M 2 trong M là môđun con bù trực tiếp với M 2 trong M

2.1.3 Các điều kiện (C 1 ), (C 2 ), (C 3 ) và (D 1 ), (D 2 ), (D 3 )

Đối với môđun M cho trớc, chúng tôi thờng xét các điều kiện sau:

(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.Nói cách khác, với mọi môđun con A của M luôn luôn tồn tại sự phân tích

M = M1 ⊕ M2 sao cho A ≤ M1 và A + M2 ≤e M

(C2) Nếu B là môđun con của M và A là hạng tử trực tiếp của M sao cho A

đẳng cấu với B Khi đó B cũng là hạng tử trực tiếp của M

(C3) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M sao cho A ∩ B = 0 thì

A ⊕ B cũng là hạng tử trực tiếp của M

Nhận xét (xem [9]) Điều kiện (C1) còn tơng đơng với điều kiện sau:

Mọi môđun con đóng của M là hạng tử trực tiếp của M.

Môđun M thoả mãn điều kiện (C1) đợc gọi là CS- môđun hoặc là môđun

mở rộng (extending) Môđun M thoả mãn các điều kiện (C1) và (C3) đợc gọi làmôđun tựa liên tục (quasi - continuous) Môđun M thoả mãn các điều kiện (C1)

và (C2) đợc gọi là môđun liên tục (continuous)

Vành R đợc gọi là CS- vành phải (tựa liên tục phải, liên tục phải) nếu