Nhóm các mở rộng của nhóm abel

Kiến thức chuẩn bị

Phạm trù

Định nghĩa 1.1.1 Ta nói cho phạm trù P nghĩa là:

1 Cho lớp các phần tử của P , mỗi phần tử đó ta gọi là vật

2 Với mỗi cặp vật A B ,  P , cho tập  A B ,  là tập các cấu xạ (các xạ) từ A tới B Nếu f   A B , , ta kí hiệu f : A  B

3 Với mỗi bộ ba A B C , ,  P , ta có ánh xạ:

 g f ,   g f ,   g f g f ta gọi là tích (hợp thành) của f và g

Phép hợp thành thỏa hai điều kiện i Có tính kết hợp:

    h g f  h g f ii Với mọi vật A P , tồn tại 1 A   A A ,  có tính chất:

Xạ 1 A có tính chất trên được gọi là xạ đồng nhất của vật A.

Dãy khớp

Định nghĩa 1.2.1 Dãy các đồng cấu (hữu hạn hoặc vô hạn)

   A f   B g   C  (1) được gọi là dãy khớp tại môđun B nếu Im f  Ker g

Dãy khớp tại B nếu ảnh của đồng cấu vào tại đó bằng hạt nhân của đồng cấu ra Một môđun trong dãy các đồng cấu được gọi là môđun trung gian khi nó có đồng cấu vào và đồng cấu ra Dãy các đồng cấu (1) được xem là dãy khớp nếu nó khớp tại tất cả các môđun trung gian.

Ví dụ 1.2.2 Cho dãy xác định như sau:

Trong toán học, một đồng cấu h được coi là đẳng cấu nếu điều kiện Ker h = Y / Im h = 0 được thỏa mãn Điều này cung cấp một tiêu chuẩn rõ ràng để xác định khi nào một đồng cấu trở thành đẳng cấu.

0    X h   Y  0 là dãy khớp Định nghĩa 1.2.3 Dãy khớp ngắn

Dãy khớp ngắn là dãy khớp có dạng

Để kiểm tra tính khớp của dãy (2), cần xác định rằng đồng cấu f là đơn cấu, đồng cấu g là toàn cấu và Im f bằng Ker g Đây là một phần quan trọng trong định nghĩa về dãy khớp ngắn chẻ.

Dãy khớp các đồng cấu

   A f   B g   C  được gọi là chẻ ra tại môđun B nếu Im f là một hạng tử trực tiếp của B , tức là tồn tại môđun con B 1 sao cho BImf B 1

Một dãy khớp được gọi là chẻ, nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian Áp dụng định nghĩa trên cho dãy khớp ngắn ta có: Dãy khớp ngắn

0    A f   B g   C  0 là chẻ khi và chỉ khi dãy chẻ tại B

Các dãy khớp ngắn sau đây được sinh bởi tổng trực tiếp AB có thể xem là ví dụ điển hình về dãy khớp chẻ

Định lý 1.2.5 chỉ ra rằng đối với mỗi dãy khớp ngắn 0    A f   B g   C  0, ba phát biểu sau là tương đương: (i) Dãy là chẻ ra; (ii) Đồng cấu f có nghịch đảo trái; và (iii) Đồng cấu g có nghịch đảo phải.

Nhóm các mở rộng của nhóm Abel

Nhóm mở rộng

Định nghĩa 2.1.1 Cho hai nhóm A C , Nhóm B được gọi là một mở rộng của A theo

C nếu B chứa nhóm con A đẳng cấu với A và B A/  C Mở rộng này có thể được biểu diễn thông qua dãy khớp ngắn

: 0 0 e    A    B    C  (1) với  là đơn cấu nhúng,  là toàn cấu tự nhiên

Nhận xét 2.1.2 Vì  là toàn ánh nên  khả nghịch phải Ánh xạ nghịch đảo phải : g C  B của  là một ánh xạ ngang của mở rộng B nếu g   0  0

2.1.1 Xây dựng nhóm mở rộng từ hệ nhân tử

Mệnh đề 2.1.3 Cho hai nhóm A C , và B là một mở rộng của A theo C với

: 0 0 e    A    B    C  Cho g C :  B là một ánh xạ ngang của mở rộng

B Khi đó mọi phần tử bB có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

Vì g là nghịch đảo phải của  nên

Do đó b b    Ker  Im  A vì dãy (1) là khớp Suy ra tồn tại aA sao cho

Giả sử b có thể biểu diễn dưới dạng

Từ (1) và (2) suy ra    a     a  , mà  là đơn ánh nên aa

Mệnh đề 2.1.4 Cho A C , là nhóm và B là một mở rộng của A theo C với dãy khớp

: 0 0 e    A    B    C  Cho g C :  B là một ánh xạ ngang của mở rộng B Khi đó

2) Ánh xạ f u  , v     1  g u    g   v  g u   v   thỏa các tính chất

Cho u , v  C Vì  là toán cấu và g là nghịch đảo của  nên

0 Suy ra g u    g   v  g u   v   Ker   Im    A Vì  là đơn cấu nên tồn tại duy nhất phần tử aA thỏa

Rõ ràng quy tắc tương ứng mỗi cặp  u , v    C C với phần tử aA như trên là một ánh xạ

Vì g u      , g v , g u  v  thuộc nhóm Abel B có tính giao hoán nên ta được

Mà  là đơn cấu nên

Do tính giao hoán và kết hợp của phép toán trên B ta được

Mà  là đơn cấu nên

  0,   0    0    0 0 f u  g  g u  g  u  g  (3) Định nghĩa 2.1.5 Cho nhóm A và C Một ánh xạ f C C :   A thỏa

3) f   0, u  0 với u , , v w  C được gọi là hệ nhân tử của C lên A

Mệnh đề 2.1.6 Cho A C , là nhóm và B là một mở rộng của A theo C với

 ,  f u v là hệ nhân tử từ C vào A ứng với ánh xạ ngang g u   của mở rộng B

Vì  0 và g 1 C nên tác động toàn cấu  vào cả hai vế ta có u 1   u 2 u 0, từ đó

Mà  là đơn cấu nên a   a 1 a 2  f u u  1 , 2 

1 2 1 2 a   a a  f u  u Định lý 2.1.7 Cho hai nhóm A C , và một hệ nhân tử f từ C vào A Trên tập hợp

Khi đó B là một mở rộng của nhóm A theo C với f là hệ nhân tử của B ứng với ánh xạ ngang g u      u , 0

Cho    u a , , v , b   , w , c   B Vì f u  , v   f  v , u  nên ta có

Do đó phép cộng trên B có tính chất giao hoán

Do đó B có tính chất kết hợp

Do đó   0, 0 là phần tử 0 trong B

  u a ,      u , a f   u u ,     u     u , a   a f   u u ,   f   u u ,      0, 0 nên   u a , khả đối Vậy B là nhóm Abel

Ta chứng minh B là một mở rộng của A theo C Xét ánh xạ

Dễ thấy  là một đơn ánh và  là một toàn ánh Ta chúng minh  và  là đồng cấu

Vậy  là đơn cấu và  là toàn cấu Mặt khác, dễ thấy

Im  Ker  0  A nên dãy e : 0    A    B    C  0 là dãy khớp Suy ra B là một mở rộng của

, 0 u u là một ánh xạ ngang của B vì  g u       u , 0  u với mọi uC và g     0  0, 0 là phần tử 0 của B Hơn nữa ta có

2.1.2 Quan hệ tương đương giữa các hệ nhân tử và giữa các mở rộng Định lý 2.1.7 cho ta thấy bài toán mở rộng nhóm A theo C có thể giải quyết bằng cách tìm tất cả các hệ nhân tử từ C vào A

Mỗi hệ nhân tử tương ứng với một mở rộng duy nhất, nhưng ngược lại không đúng Một mở rộng B của nhóm A theo C có thể tương ứng với nhiều hệ nhân tử khác nhau, tùy thuộc vào cách chọn ánh xạ ngang g C:  B.

Mệnh đề 2.1.8 Cho A C , là nhóm và B là một mở rộng của A theo C với dãy khớp

: 0 0 e    A    B    C  Cho f 1 và f 2 là hai hệ nhân tử từ C vào A ứng với các ánh xạ ngang g g 1 , 2 Khi đó tồn tại ánh xạ h C: A thỏa h   0  0 và

Vì g g 1 , 2 là hai ánh xạ ngang của mở rộng B nên với mọi uC ta có

0 Suy ra g u 1    g 2   u  Ker  Im  A Mà  là đơn cấu nên đặt

Ta có h là ánh xạ từ C vào A nên

Vì  là đơn cấu nên ta có

Ngoài ta vì f 1   0, 0  f 2   0, 0  0 nên thay u v 0 vào đẳng thức trên, ta có

  0 0 h  Định lý 2.1.9 Cho A C , là nhóm Hệ nhân tử f f 1 , 2 từ C vào A được gọi là tương đương nếu tồn tại ánh xạ h C: A thỏa h   0  0 và

Hệ biến đổi từ C vào A được định nghĩa qua ánh xạ (u, v) = h(u) + h(v) - h(u + v) với h: C → A và h(0) = 0 Hai hệ nhân tử được coi là tương đương nếu chúng chênh lệch nhau một hệ biến đổi Định nghĩa 2.1.10 nêu rõ rằng A là nhóm và B1, B2 là các mở rộng của A theo C.

Hai mở rộng B1 và B2 được xem là tương đương nếu tồn tại một đẳng cấu β: B1 → B2 sao cho sơ đồ giao hoán giữ nguyên Theo Định lý 2.1.11, hai mở rộng B1 và B2 của nhóm A theo nhóm C sẽ tương đương khi và chỉ khi chúng được xây dựng từ các hệ nhân tử tương đương.

Cho hai mở rộng B 1 ,B 2 của A theo C

' : 0 2 0 e    A  B    C  ứng với hai nhân tử tương đương Ta có

1 , 2 , f u u   h u  u   h u  h u   f u u  (1) với mọi u u ,  C Theo định lý 2.1.7, ta có

Dễ thấy  là song ánh Ta chứng minh  bảo toàn phép toán Thật vậy

Nên  là một đẳng cấu

Mặt khác, xét sơ đồ

Vậy sơ đồ giao hoán nên B B 1 , 2 tương đương

Ngược lại, giả sử B B 1 , 2 là hai mở rộng tương đương của A theo C và biểu đồ sau giao hoán

Gọi g C 1 : B 1 là một ánh xạ ngang của mở rộng B 1

Vì  2 là đơn cấu nên suy ra

Do đó f 1 và f 2 tương đương nhau

2.1.3 Hệ biến đổi và mở rộng chẻ Định nghĩa 2.1.12 Tổng trực tiếp AC là một mở rộng của A theo C ứng với dãy khớp chẻ

Mở rộng AC được gọi là mở rộng chẻ của A theo C

Nhận xét 2.1.13 Nếu chọn ánh xạ ngang g u    u với mọi u  C thì hệ nhân tử ứng với g là

0 Ngược lại hệ nhân tử f u  , v   0 với mọi u , v  C ứng với mở rộng B C A với

   u a ,  u a   ,    u  u a  ,  a   chính là tổng trực tiếp CA Định lý 2.1.14 CA là một mở rộng của A theo C khi và chỉ khi hệ nhân tử f có dạng f u  , v   h u       h v  h u  v  trong đó h C :  A

Theo nhận xét 2.1.13, Blà mở rộng chẻ khi và chỉ khi B nhận f(u, v) = 0 là một hệ nhân tử, có nghĩa là mọi nhân tử f của B đều tương ứng với.

1 , 0 f u v  , hay tồn tại hệ nhân tử 

Nghĩa là f u  , v  là một hệ nhân tử

Mệnh đề 2.1.15 Cho A C , là nhóm và B là một mở rộng của A theo C với

: 0 0 e    A    B    C  Khi đó B là mở rộng chẻ khi và chỉ khi mọi hệ nhân tử tương ứng với B đều là hệ biến đổi

CA là một mở rộng của A theo C tương ứng với dãy khớp chẻ

Gọi g là hàm đại diện của hệ nhân tử f Theo định nghĩa 2.1.1, g u    g   v

Ngược lại, nếu hàm h C: A với h   0  0 thì dễ dàng kiểm tra được f u  , v  có dạng

 ,        f u v  h u  h v  h u  v là một hệ nhân tử thỏa tập các cặp  u ,  h u    là phần bù của  A trong B, điều này tương đương với dãy khớp chẻ

Từ đó ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 2.1.16 Nếu dãy khớp e : 0    A    B    C  0 là chẻ thì hệ nhân tử f có dạng f u  , v   h u       h v  h u  v  trong đó h C :  A

Mệnh đề 2.1.17 Cho hai nhóm A C , Khi đó tập hợp Fact  C A ,  các hệ nhân tử từ C vào A cùng với phép toán

 f  f   u , v   f u  , v   f   u , v   u , v  C  tạo thành một nhóm Abel

Hệ nhân tử f  f  từ C vào A cho thấy phép toán + là phép toán hai ngôi trên tập các hệ nhân tử này Phép toán này có tính chất kết hợp và giao hoán, đồng thời hệ nhân tử 0 là phần tử trung hòa Hệ nhân tử đối của f là  f, từ đó suy ra rằng Fact  C A ,  tạo thành một nhóm.

Mệnh đề 2.1.18 Tập hợp Tran  C A ,  các hệ biến đổi là một nhóm con của Fact  C A , 

Theo định lý 2.1.19, có sự tồn tại của một tương ứng 1-1 giữa lớp tương đương các mở rộng của A theo C và các phần tử của nhóm thương Fact(C, A) / Tran(C, A) Định nghĩa 2.1.20 chỉ ra rằng, với A là nhóm trong C, thì Ext(C, A) = 0 khi và chỉ khi mọi dãy khớp 0 → A → B → C → 0 là chẻ.

Theo mệnh đề 2.1.15, một mở rộng được gọi là mở rộng chẻ nếu và chỉ nếu tất cả các hệ nhân tử tương ứng đều là các hệ biến đổi.

Fact C A ,  Tran C A , Điều này tương đương với Ext  C A ,   0

Mở rộng dưới dạng các dãy khớp ngắn

Ta sẽ định nghĩa nhóm mở rộng Ext(CA) của A theo C thông qua dãy khớp ngắn, với mỗi mở rộng của A theo C được xem như một dãy khớp.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xây dựng một phạm trù với các đối tượng là các dãy khớp ngắn, bắt đầu bằng việc định nghĩa đồng cấu giữa hai dãy khớp ngắn Cụ thể, cho A C là nhóm và hai dãy khớp e và e, chúng ta sẽ xem xét các mối quan hệ giữa chúng để hiểu rõ hơn về cấu trúc của phạm trù này.

: 0 ' 0 e    A     B     C    Cấu xạ giữa hai dãy khớp e và e, là bộ ba     , ,  các đồng cấu nhóm là cho sơ đồ giao hoán

Từ đó ta có thể xây dựng phạm trù  là các dãy khớp ngắn như sau:

 Vật là các dãy khớp ngắn

Ta định nghĩa   e e , là tập hợp tất cả các cấu xạ từ e vào e

 Phép hợp thành của cấu xạ    , ,  từ e vào e và      , ,  từ e và e là

Định nghĩa 2.2.2 xác định rằng, cho e là mở rộng của A theo C và e là mở rộng của A theo C Hai dãy khớp e và e được gọi là tương đương, ký hiệu ee, nếu A bằng A C và C bằng C, đồng thời tồn tại một cấu xạ từ e vào e, ký hiệu là (1, 1, A  C).

Mệnh đề 2.2.3 Cho e là mở rộng của nhóm A theo C và  : C   C là đồng cấu bất kỳ

Khi đó tồn tại một mở rộng của A theo C (chính xác đến quan hệ tương đương), kí hiệu là e để biểu đồ sau giao hoán

Ta có tồn tại cái kéo lại với B     u b u  ,    C b  ,  B u ,     b 

Vì  là toàn cấu nên theo tính chất 1.3.4,  là toàn cấu Mặt khác, theo bổ đề 1.3.1, ta có Ker v   Ker  Im  A Với mọi aA ta có   a , 0   B  vì  a  B , 0  C  và

Vì vậy tồn tại đơn cấu

Hơn nữa     A   A    0  Ker     0  Ker   nên sơ đồ sau đây có các dòng là khớp và các hình vuông giao hoán

Giả sử e là một mở rộng của A theo C để sơ đồ giao hoán

Theo cách xây dựng e, hình vuông bên phải của sơ đồ (1) là cái kéo lại, trong khi hình vuông bên phải của sơ đồ (2) giao hoán Theo tính chất (ii) của định lý 1.3.2, tồn tại duy nhất đồng cấu : B   B  để biểu diễn sơ đồ giao hoán.

         Nên theo tính chất (ii) của định lý 1.3.2 về tính duy nhất của đồng cấu, ta có

 Mặt khác   v1 C  Vì vậy  1 , ,1 A  C   là đồng cấu từ e vào e để sơ đồ sau giao hoán

Mệnh đề 2.2.4 Cho e là một mở rộng của nhóm A theo C và :AA là đồng cấu bất kỳ

Khi đó tồn tại một mở rộng A theo C (chính xác đến quan hệ tương đương), kí hiệu là  e để biểu đồ sau giao hoán

Ta có tồn tại cái đẩy đi với

 thực sự là một ánh xạ vì giả sử  a b 1  , 1   H   a b 2  , 2   H Khi đó

  Hơn nữa dễ thấy  là toàn ánh (vì B    A  B  / H ) và là đồng cấu Do đó  là toàn cấu và từ cách xây dựng  ta có

      Cuối cùng vì  là đơn cấu nên theo tính chất 1.3.5,  cũng là đơn cấu

Mặt khác Im  Ker vì với mọi aA, ta có

         Suy ra Im   Ker  Hơn nữa với  a b  ,    H Ker   , ta có    b  0 Suy ra

Ker Im b     Do đó tồn tại aA thỏa b  a Khi đó

Suy ra Im   Ker  Vậy Im   Ker  Khi đó sơ đồ sau đây có các dòng là khớp và các hình vuông giao hoán

Giả sử e là một mở rộng của A theo C để sơ đồ sau giao hoán

Theo cách xây dựng, hình vuông bên trái của sơ đồ (1) là cái kéo lại, trong khi hình vuông bên trái của sơ đồ (2) giao hoán Do đó, theo tính chất (ii) của định lý 1.3.5, tồn tại duy nhất đồng cấu : B   B  để biểu đồ sau giao hoán.

                 nên theo tính chất (ii) của định lý 1.3.5 về tính duy nhất của đồng cấu, ta có

      Mặt khác 1 A   Vì vậy  1 , ,1 A   C  là đồng cấu từ e vào e để sơ đồ sau giao hoán

Mệnh đề 2.2.5 khẳng định rằng nếu e là một mở rộng của nhóm A theo C và  : C   C là đồng cấu bất kỳ, thì hệ nhân tử f(u, v) của mở rộng e sẽ dẫn đến hệ nhân tử f((u), (v)) của mở rộng e.

Gọi g C :  B là ánh xạ ngang của mở rộng e thỏa

   ,    g u    u g   u  Khi đó    g u        u g ,    u    u  và g     0  0, 0 nên g  là ánh xạ ngang của e Xét hệ nhân tử f  ứng với g

Vì  là đơn cấu nên

 ,       ,  f   u v  f  u   v Vậy f       u  ,  v   là một hệ nhân tử của e

Mệnh đề 2.2.6 nêu rằng cho e là một mở rộng của nhóm A theo C và :AA là đồng cấu bất kỳ Trong trường hợp này, nếu f u   , v là hệ nhân tử của mở rộng e, thì  f u   , v sẽ trở thành một hệ nhân tử của mở rộng e.

Xét ánh xạ ngang g C :  B của mở rộng e ứng với hệ nhân tử f u   , v thỏa

Do đó g là một ánh xạ ngang của mở rộng  e Khi đó hệ nhân tử của  e ứng với g là

Vì  là đơn cấu nên f    u , v  f u   , v

Mệnh đề 2.2.7 Cho e là một mở rộng của nhóm A theo C và :AA,  : C   C là các đồng cấu bất kỳ Khi đó

Gọi f u   , v là hệ nhân tử của mở rộng e Khi đó theo mệnh đề 2.2.6, ta có

 f u v là hệ nhân tử của mở rộng e Theo mệnh đề 2.2.5, ta có    f  u , v  là hệ nhân tử của mở rộng    e

Tiếp theo, nếu f u   , v là hệ nhân tử của mở rộng e thì theo mệnh đề 2.2.5 ta được

 ,  f   u v là hệ nhân tử của mở rộng e Theo mệnh đề 2.2.6, ta có    f  u , v  là hệ nhân tử của mở rộng     e

Mở rộng của A theo C tạo thành một nhóm, và chúng ta cần mô tả phép toán trên nhóm này thông qua dãy khớp ngắn Trong phần này, ánh xạ chéo sẽ được sử dụng để thực hiện điều đó.

   với u   u u , và ánh xạ tựa chéo

   với  a a 1 , 2  a 1  a 2 Định nghĩa 2.2.8 Tổng trực tiếp của các mở rộng

Mệnh đề 2.2.9 Cho các mở rộng

2 : 0 2 2 2 0 e   A   B   C   Gọi f u 1  1 , v 1  và f 2  u 2 , v 2  lần lượt là hệ nhân tử của mở rộng e 1 và e 2 F là hệ nhân tử của mở rộng e 1 e 2 Khi đó

Gọi g g 1 , 2 :CB lần lượt là hàm đại diện tương ứng với hệ nhân tử f 1 và f 2 Khi đó ta có

 v   v   v với u i , v i  C i   1, 2  Gọi F là hệ nhân tử của e 1 e 2 và gọi

Do đó  g 1  g 2  u 1 , v 1    1 2    1 u 1 , v 1  Suy ra g 1 g 2 là ánh xạ ngang của hệ nhân tử F Khi đó với mọi   u 1 , v 1   , u 2 , v 2       C C C C , ta được

Mà 12 là đơn cấu nên F   u u 1 , 2   , v v 1 , 2     f u 1  1 , v 1   , f 2 u 2 , v 2  

Mệnh đề 2.2.10 Cho e 1 và e 2 là mở rộng của A theo C Khi đó

2 : 0 0 e      A  B   C  là hai mở rộng của A theo C Khi đó ta có mở rộng

Mở rộng  e 1  e 2   C và mở rộng  A  e 1  e 2   C được thể hiện ở sơ đồ sau:

Ta cần chứng minh nếu f 1 và f 2 lần lượt là hệ nhân tử của mở rộng e 1 và e 2 thì

1 2 f  f là hệ nhân tử của mở rộng  A  e 1  e 2   C

Theo mệnh đề 2.2.5, nếu F   u u 1 , 2   , v v 1 , 2   là hệ nhân tử của e 1 e 2 thì hệ nhân tử

F của mở rộng  e 1  e 2   C là F   C   u 1 ,  C   v 1  Với mọi  u 1 , v 1    C C , ta có

Suy ra  f u 1  1 , v 1   , f 2 u 1 , v 1   là hệ nhân tử của mở rộng  e 1  e 2   C

Tương tự ta có hệ nhân tử F của mở rộng  A  e 1  e 2   C là  A F u   1 , v 1  Với mọi

Do đó  f u 1  1 , v 1   f 2  u 1 , v 1   là hệ nhân tử của  A  e 1  e 2   C Vậy f 1  f 2 là hệ nhân tử mở rộng  A  e 1  e 2   C hay e 1  e 2   A  e 1  e 2   C

Dãy khớp của Ext

Bổ đề 2.3.1 Bổ đề con rắn

Cho sơ đồ giao hoán, với hai hàng giữa và tất cả các cột là khớp

Khi đó tồn tại ánh xạ     1 , 2 , , 1 2 để hàng đầu và hàng cuối là khớp và ánh xạ : Ker Coker

    là đồng cấu nối để dãy sau là khớp

0   Ker  Ker  Ker    Coker  Coker   Coker   0

Ta sẽ chứng minh dãy

0   Ker  Ker  Ker   là khớp Xét

 Lấy aKer 1 Khi đó 1 a0 hay  a  0 Mà  là đơn cấu nên a0 Do đó

Ker10 hay  1 là đơn cấu

 Với mọi aKer, ta có

Suy ra   1 1 0 Do đó Im 1 Ker 1

 Lấy bKer 1 Suy ra  1 b0 hay b0 Do đó b  Ker  Im Khi đó tồn tại aA sao cho

Do đó, nếu    a  0 và   là đơn cấu, thì ta có a0, suy ra a thuộc Ker Điều này dẫn đến b thuộc Im 1, hay Ker 1 nằm trong Im 1 Tóm lại, Ker 1 chính là Im 1, từ đó chứng minh rằng dòng đầu là khớp.

Tiếp theo ta sẽ chứng minh

Lấy b ImKer 2 Khi đó

Suy ra b      b  Ker   hay b   Im   Ker   Do đó

Ta thấy các lập luận ở trên đều có thể thay bằng tương đương Vậy Im 2 Ker 2

Do đó  2 là toàn cấu Vậy ta đã chứng minh xong dòng cuối là khớp

Tiếp theo ta xác định đồng cấu nối  Lấy c  Ker Vì  là toàn cấu nên tồn tại bB thỏa b c

Vì c  Ker nên  c  0 Suy ra

 b  hay   b  0 Suy ra  b  Ker   Im  Do đó tồn tại aA sao cho a b

Ta sẽ chứng minh  là ánh xạ Giả sử

Ta cần chứng minh a 1 Ima 2 Im Vì  b 1  b 2   0 nên

Khi đó tồn tại aA sao cho

Mà  là đơn cấu nên

Ta đi chứng minh tính khớp tại Ker , tức là chứng minh Im 1 Ker

 Với mọi b  Ker, ta có

Mà   là đơn cấu nên a 0 Do đó

 Lấy cKer Suy ra c0 hay a Im0 với aA thỏa    a  b Do đó tồn tại aA thỏa a a

Suy ra b  a  Ker Khi đó

Suy ra cIm 1 hay Ker Im 1 Vậy Im 1 Ker

Ta đi chứng minh tính khớp tại Coker, tức là chứng minh Im Ker 2

 Với mọi cKer , ta có

Do đó   2 0 Suy ra Im Ker 2

 Lấy a   Im Ker2  a   A   Suy ra 2  a Im0 hay   a Im

Do đó tồn tại bB thỏa    a  b Khi đó

 b   c Ker vì  c  b   b     a  0 Suy ra a ImIm hay Ker 2 Im Vậy Im Ker 2

0    A  A    A   0 là dãy khớp, toàn cấu

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh   1  :F 1 F 3 A 2 là toàn cấu Cho aA 2 , suy ra

  Vì  3 là toàn cấu nên tồn tại x 3 F 3 sao cho

  Tiếp theo ta chứng minh Ker  1    Ker1  Ker3 Xét sơ đồ sau:

Ta chứng minh dòng đầu là khớp chẻ Xét ánh xạ

: Ker Ker j      và  : Ker  1    Ker3

 j là ánh xạ vì với mọi x 1 Ker 1 , ta có

  là ánh xạ vì với mọi  x x 1 , 3   Ker  1  , ta có

 Ta chứng minh dòng đầu khớp Dễ thấy j là đơn cấu và  là toàn cấu

 Vì 0   Ker3   F 3    A 3   0 1   là dãy khớp mà F 3 tự do nên Ker 3 tự do Do đó Ker 3 xạ ảnh

Suy ra  khả nghịch trái Khi đó dãy (1) là khớp chẻ hay

Bổ đề 2.3.3 Cho e là mở rộng của nhóm A theo C và : A  A  , : C  C  là các đồng cấu

1 e là mở rộng chẻ khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu : C   B thỏa  

2 e là mở rộng chẻ khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu  : B  A  thỏa   u

1 Giả sử tồn tại đồng cấu : C   B thỏa   Khi đó ta chứng minh sơ đồ sau là giao hoán với

Thật vậy với mọi a  A u ,   C ta có

Vậy sơ đồ trên giao hoán Do đó theo Mệnh đề 2.2.3, ta có a   e  nên e là mở rộng chẻ của A theo C

Ngược lại giả sử e là mở rộng chẻ của A theo C Đặt g C :    A C  với g : u  0,  u   Khi đó

1 C pg  Đặt   g Với mọi uC ta có

2 Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta được ý 2

Bổ đề 2.3.4 Cho phép giải tự do của nhóm C

1 : 0 0 e      A   F  C  và phép giải nội xạ của nhóm A

1 Tồn tại ánh xạ tự nhiên  * : Hom  A A  ,   Ext  C A ,  để dãy sau khớp

2 Tồn tại ánh xạ tự nhiên * : Hom  C C ,    Ext  C A ,  để dãy sau khớp

1 Cho ánh xạ   : Hom  A    ,  Ext  C ,   như sau: với hai nhóm

G H  G H ta xét sơ đồ trong đó

 Khi đó với mọi f  Hom  A G  ,  ta có

Sơ đồ (1) giao hoán cho thấy ánh xạ  * là một ánh xạ tự nhiên, với việc xét  A : Hom  A A  ,   Ext  C A , 著 Để đơn giản, ký hiệu  A  bằng  * và chứng minh rằng  * là toàn cấu Trong bối cảnh này, e được xem là một mở rộng của A theo C.

Vì e 1 : 0      A   1 F  1 C  0 là một phép giải tự do của C nên tồn tại đồng cấu   1 , 1 để sơ đồ sau giao hoán

Do đó từ Định lý 2.2.6 ta có e 1 1 e hay e   *   1 Vậy  * là toàn cấu, ta có dãy khớp

Ngoài ra, từ tính khớp trái của Hom   , A  và e 1 là dãy khớp ngắn, ta có dãy khớp

Cuối cùng, ta chứng minh Im 1   Ker  Điều này suy ra trực tiếp từ bổ đề 2.3.3, theo đó mở rộng

: 0 0 e    A    B    C  là chẻ khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ  : F  A để sơ đồ sau giao hoán Điều này tương đương với việc   1  1 Im 1 

0   Hom C A ,    Hom F A ,    Hom A A  ,   Ext C A ,   0 khớp

2 Chứng minh tương tự ta có dãy

0   Hom C A ,    Hom C D ,    Hom C C ,     Ext C A ,   0 là khớp Định lý 2.3.5 Định lý Cartan - Eilenberg

Cho 0    A    B    C  0 là dãy khớp Khi đó dãy

     đều là dãy khớp với mọi nhóm G, tất cả các ánh xạ là tự nhiên

Lấy phép giải tự do của A và C:

0H F  C 0 Áp dụng bổ đề 2.3.2, suy ra

0H H  F F  B 0 là phép giải tự do Theo bổ đề 2.3.4, ta có các dãy khớp

0F  F F F 0 là dãy khớp chẻ nên suy ra các dãy sau khớp

Xét sơ đồ giao hoán với hai dòng khớp và các cột khớp, áp dụng Bổ đề 2.3.1 (Bổ đề con rắn), ta có thể rút ra được các kết quả quan trọng từ Hom H G và Hom H G, cũng như các mối quan hệ giữa chúng.

Chứng minh tương tự, ta được