Iđêan tuyệt đối của nhóm abel không xoắn

Mục tiêu: Nghiên cứu mô tả iđêan tuyệt đối và cấu trúc nhóm RAI, afi trong nhóm Abel không xoắn rank 1 và một lớp nhóm Abel không xoắn hoàn toàn phân rã.. Nghiên cứu iđêan tuyệt đối và

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG

IĐÊAN TUYỆT ĐỐI CỦA NHÓM ABEL KHÔNG XOẮN

MÃ SỐ: CS2015.19.62

Cơ quan chủ trì: Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư phạm TPHCM

Chủ nhiệm đề tài: TS Phạm Thị Thu Thủy

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 05 / 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG

IĐÊAN TUYỆT ĐỐI CỦA NHÓM ABEL KHÔNG XOẮN

MÃ SỐ: CS2015.19.62

Xác nhận của cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài

DANH SÁCH NGƯỜI THAM GIA ĐỀ TÀI

Họ và tên Đơn vị công tác và lĩnh vực

chuyên môn

Nội dung nghiên cứu cụ thể

được giao

Phạm Thị Thu Thủy Khoa Toán Tin, trường ĐH Sư

phạm TPHCM Tiêu chuẩn nhóm RAI và afi hoàn toàn phân rã

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM C ỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Tp.HCM, ngày 02 tháng 05 năm 2017

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung:

− Tên đề tài: IĐÊAN TUYỆT ĐỐI CỦA NHÓM ABEL KHÔNG XOẮN

− Mã số: CS2015.19.62

− Chủ nhiệm: TS Phạm Thị Thu Thủy

− Cơ quan chủ trì: Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư phạm TPHCM

− Thời gian thực hiện: 09/2015-09/2016

2 Mục tiêu:

Nghiên cứu mô tả iđêan tuyệt đối và cấu trúc nhóm RAI, afi trong nhóm Abel không xoắn rank 1 và một lớp nhóm Abel không xoắn hoàn toàn phân rã

3 Tính mới và sáng tạo:

Các kết quả đã có về idean tuyệt đối của nhóm Abel, nhóm RAI, nhóm afi tập trung

ở lớp nhóm xoắn Nghiên cứu iđêan tuyệt đối và nhóm RAI, nhóm afi trên các nhóm

không xoắn hoàn toàn phân rã là cơ sở cần thiết để có cái nhìn tổng quát về các bài toán này trong lớp nhóm Abel không xoắn

4 Kết quả nghiên cứu:

Mô tả iđêan tuyệt đối chính của nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã đồng nhất và nêu điều kiện cần, điều kiện đủ để các nhóm Abel này là nhóm RAI, nhóm afi

5 Sản phẩm:

Phạm Thị Thu Thủy, Iđêan tuyệt đối của nhóm Abel không xoắn // Tạp chí Khoa

học trường Đại học Sư phạm TPHCM, Khoa học Tự nhiên và công nghệ, 03/2017, tập 15,

trang 68-75

6 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng:

Kết quả của đề tài có thể sử dụng để giảng dạy các chuyên đề về Lý thuyết nhóm Abel cho sinh viên Toán các khóa trên hoặc sinh viên cao học Toán

Xác nhận của cơ quan chủ trì Ngày 02 tháng 05 năm 2017

Chủ nhiệm đề tài

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM C ỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Tp.HCM, ngày 02 tháng 05 năm 2017

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

− Project title: ABSOLUTE IDEALS OF TORSION FREE ABELIAN GROUPS

− Code number: CS2015.19.62

− Coordinator: Dr Phạm Thị Thu Thủy

− Implementing institution: Mathematics and Informatics Department, Ho Chi Minh

City University of Education

− Duration: From 09/2015 to 09/2016

2 Objective(s):

Describe the absolute ideals and the structures of RAI-groups, afi-groups in the

class of Abelian torsion-free groups

3 Creativeness and innovativeness:

Most results on absolute ideals of Abelian groups, RAI-groups and afi-groups concentrate in the class of torsion Abelian groups The study of these problems in the class

of completely decomposable Abelian groups is the first step for further researches in the class of torsion-free Abelian groups in general

4 Research results:

Describe the absolute ideals of isotype completely decomposable Abelian groups and give a criterion for a group of this class to be an RAI-group or afi-group

5 Products:

Pham Thi Thu Thuy, Absolute ideal of completely decomposable Abelian groups //

Ho Chi Minh City University of Education, Journal of science, Special issue: Natural

sciences and technology, 03/2017, Vol 15, pp 68-75

6 Effects, transfer alternatives of research results and applicability: The results of

this project can be used as references or lectures on Abelian group theory for BS or MS students of mathematics major

Xác nhận của cơ quan chủ trì Ngày 02 tháng 05 năm 2017

Chủ nhiệm đề tài

M ỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 7

1 Giới thiệu 9

2 Vành trên nhóm Abel hoàn toàn phân rã 9

3 Iđêan tuyệt đối của nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã đồng nhất 12

KẾT LUẬN 16

LỜI MỞ ĐẦU

Một trong những câu hỏi đầu tiên đặt ra để hiểu rõ tính chất của các vành trên một nhóm Abel G là “vai trò của các nhóm con thay đổi như thế nào trong các vành khác nhau trên G?” Do đó, nhiều nghiên cứu đặc biệt quan tâm tới những nhóm con của G mà luôn

là iđêan, Nil iđêan hay vành con trong mọi vành trên G Những nhóm con như vậy được gọi là iđêan (Nil iđêan, vành con) tuyệt đối của nhóm G Trong số các nghiên cứu theo hướng này có thể kể tới các công trình của K McLean, E Fried, L Fuchs, A Chekhlov,

E Kompantseva, v.v

Nhiều bài toán được đặt ra bởi các nhà Toán học uy tín cho thấy sự cần thiết nghiên cứu iđêan tuyệt đối của nhóm Abel Năm 1973, trong tập 2 quyển “Nhóm Abel vô hạn” (“Infinite Abelian groups”), được coi là cẩm nang của lý thuyết nhóm Abel, L Fuchs đặt bài toán (vấn đề số 93): “Mô tả tất cả các nhóm Abel mà trên đó có thể xây dựng được cấu trúc vành sao cho mọi iđêan của nó đều là iđêan tuyệt đối.” Những nhóm như vậy được gọi là nhóm RAI Tính quan trọng của nhóm RAI còn thể hiện ở chỗ lớp nhóm này chứa nhiều nhóm đang rất được quan tâm nghiên cứu hiện nay như nhóm Nil và E-nhóm Nghiên cứu nhóm RAI, vì thế, cũng có thể mang lại những thông tin bổ ích về các lớp nhóm nói trên

Một trong những nhóm con có vai trò đặc biệt trong nhóm Abel G là các nhóm con hoàn toàn đặc trưng của nó, tức là các nhóm con bất biến đối với mọi đồng cấu trên G Mối liên hệ chặt chẽ giữa iđêan tuyệt đối và nhóm con hoàn toàn đặc trưng đã được L.Fuchs ghi chú trong quyển “Nhóm Abel vô hạn” [1] Một nhóm con hoàn toàn đặc trưng luôn là một iđêan tuyệt đối, nhưng chiều ngược lại không đúng Bài toán mô tả các nhóm Abel trong đó mọi iđêan tuyệt đối đều là một nhóm con hoàn toàn đặc trưng được E Fried đặt ra trong [2] và đạt được một số kết quả trong các công trình của E Fried và K McLean

Cần ghi chú là các kết quả đạt được về iđêan tuyệt đối, nhóm RAI và afi tập trung trong lớp nhóm xoắn và một số lớp nhóm hỗn hợp mà cấu trúc của nó liên quan chặt chẽ tới nhóm con xoắn của chính nó Tiêu chuẩn nhóm RAI xoắn được đưa ra và chứng minh hoàn chỉnh trong [6,7] McLean giải quyết bài toán mô tả nhóm afi trong lớp nhóm Abel xoắn hoàn toàn bắc cầu trong [5]

Tuy nhiên, đối với các lớp nhóm không xoắn các bài toán trên còn ít Gần đây, trong [4], Kompantseva E I và Fomin A A mô tả nhóm RAI trong một lớp con của lớp các nhóm không xoắn hầu như hoàn toàn phân rã Không khó để thấy được nguyên nhân:

sự hạn chế về kết quả trong nghiên cứu cấu trúc nhóm Abel không xoắn không cho phép chúng ta có cái nhìn toàn diện về vành trên chúng Việc nghiên cứu iđêan tuyệt đối và nhóm RAI, nhóm afi trên các nhóm không xoắn là cần thiết để có cái nhìn tổng quát về các vấn đề này Hơn nữa, các nghiên cứu ngày càng nhiều về các vành không xoắn của R Baer, R Beaumont và R Pierce, L Fuchs, Mader và Vinsonhaler, K Rangaswamy, A Fomin, E Blagaveshenskaya v.v cho thấy sự quan tâm của các nhà toán học đối với các tính chất của vành trên nhóm không xoắn

MỤC TIÊU ĐỀ TÀI Nghiên cứu mô tả iđêan tuyệt đối và cấu trúc nhóm RAI, afi

trong lớp nhóm Abel không xoắn

CÁCH TIẾP CẬN Việc nghiên cứu iđêan tuyệt đối và nhóm RAI, nhóm afi trong

lớp nhóm không xoắn bắt đầu từ các nhóm có cấu trúc cơ bản nhất: nhóm không xoắn rank 1 và tổng trực tiếp của chúng: các nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã (completely decomposable torsion-free groups) Nhóm Abel hoàn toàn phân rã được xác định duy nhất bởi hệ cơ sở của nó Đây là điều kiện quan trọng để mô tả vành trên nhóm Abel hoàn toàn phân rã, từ đó có thể mô tả các ideal tuyệt đối và giải quyết các bài toán đặt ra trên lớp nhóm này

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Suy luận lý thuyết

PHẠM VI NGHIÊN CỨU: nhóm Abel không xoắn hoàn toàn phân rã đồng nhất

Trong báo cáo này, mọi nhóm được đề cập đều là nhóm Abel Do đó, để đơn giản,

từ "nhóm" trong bài này mặc định được hiểu là "nhóm Abel"

1 GIỚI THIỆU

: G G G

µ × → Để đơn giản, ta thường dùng ký hiệu × cho phép nhân, nghĩa là

( , )

a b× =µ a b Nhóm G cùng với một phép nhân × trên nó được gọi là một vành trên nhóm G, ký hiệu là ( , )G ×

nếu A là iđêan trong mọi vành trên G

Nhóm RAI là nhóm Abel mà trên đó có thể xây dựng được một vành trong đó mọi iđêan đều là iđêan tuyệt đối Vấn đề mô tả nhóm RAI được đặt ra bởi Fuchs L trong [3,

vấn đề 93]

Nhóm Abel được gọi là nhóm afi nếu mọi iđêan tuyệt đối A của nó đều là nhóm con hoàn toàn đặc trưng, nghĩa là ϕ( )A ⊆A với mọi tự đồng cấu ϕ∈End G( )

Ta sẽ sử dụng một số khái niệm và kết quả sau trong [6] và [7]

là iđêan tuyệt đối nhỏ nhất chứa g Để phân biệt, ta ký hiệu iđêan chính sinh bởi g trong vành ( , )G × là 〈 〉g ×

i Nhóm G là nhóm RAI

ii Trên G tồn tại vành ( , )G × sao cho 〈 〉g × là iđêan tuyệt đối với mọi g∈G

iii Trên G tồn tại vành ( , )G × sao cho 〈 〉 = 〈 〉g × g AI với mọi g∈G

đặc trưng của G với mọi g∈G

2 VÀNH TRÊN NHÓM ABEL HOÀN TOÀN PHÂN RÃ

nguyên dương n lớn nhất sao cho n

p∣g trong G được gọi là p-cao độ của phần tử g

trong G và ký hiệu là ( )

( )

G p

h g ; nếu số nguyên dương n như vậy không tồn tại thì ta nói ( )

( )

G

p

h g = ∞

Để đơn giản, nếu ta chỉ xét cao độ của phần tử trong một nhóm cố định, ta sẽ chỉ dùng ký hiệu h g p( ) cho p-cao độ của phần tử g Cho p p1, 2,…là tất cả các số nguyên tố được xếp theo thứ tự tăng dần Khi đó dãy ( ) ( 1( ), 2( ), , ( ), )

n

dãy cao độ hay đặc trưng của phần tử g trong nhóm G Như vậy, một dãy cao độ chỉ có

thể chứa các số nguyên và ký hiệu ∞

Hai dãy cao độ được gọi là tương đương nếu chúng chỉ có hữu hạn (hoặc không có)

các vị trí khác nhau, và tại các vị trí đó đều phải là các số nguyên Dễ thấy, quan hệ trên

giữa các dãy cao độ thực sự là một quan hệ tương đương Ta gọi mỗi lớp tương đương các

dãy cao độ là một dạng Dạng của phần tử g∈G là dạng chứa χ( )g và ký hiệu là t g( )

Dễ thấy, nếu G là một nhóm không xoắn hạng 1, thì mọi phần tử khác 0 đều phụ thuộc tuyến tính với nhau và có dãy cao độ tương đương Do đó, các phần tử khác 0 trong nhóm G không xoắn hạng 1 đều có cùng một dạng, được gọi là dạng của nhóm G không

xo ắn hạng 1 và ký hiệu là t G( ) Thực tế, hai nhóm không xoắn hạng 1 đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng dạng Mệnh đề sau dễ dàng có được từ [3, Định lý 85.1]

khác 0 bất kỳ của G thì G=Re với ( )

i

s i

u

p

∏ , hiển nhiên, R có dạng t

Ngược lại nếu R là nhóm hữu tỉ bất kỳ có dạng t=t G( ) ta luôn có thể chọn duy nhất trong G một phần tử e sao cho G=Re 

2.3 Định nghĩa Cho χ =1 ( ,k k1 2,…) và χ =2 ( ,s s1 2,…) là hai dãy cao độ lần lượt có dạng t1 và t2 Ta định nghĩa:

i Tích của hai dãy cao độ: χ χ1 2 = (k1 +s k1 , 2 +s2 , … )

ii Giao của hai dãy cao độ: χ1 ∩χ2 = (min{ , }, min{ , },k s1 1 k s2 2 … )

iii Tích và giao của hai dạng: t t1 2 =t(χ χ1 2 ) và t1∩ =t2 t(χ1∩χ2)

Dãy cao độ χ(dạng t ) được gọi là lũy đẳng khi và chỉ khi χ2 =χ (t2 =t) Dễ thấy dãy cao độ χlũy đẳng khi và chỉ khi χ chỉ chứa 0 và ∞ Và dạng t lũy đẳng nếu các phần

tử đại diện của nó chỉ chứa hữu hạn (hoặc không có) các số nguyên khác 0

2.5 Định nghĩa: Ta nói χ1=( ,k k1 2,… ≤) χ2 =( ,s s1 2,…) nếu k i ≤s i với mọi i∈I Ta nói t1 ≤t2 nếu tồn tại χ ∈1 t1 và χ ∈2 t2 sao cho χ1≤χ2

Dễ thấy, quan hệ so sánh dãy cao độ và dạng đều là các quan hệ thứ tự không toàn

phần

được dưới dạng tổng trực tiếp của các nhóm không xoắn hạng 1

i I

∈

=⊕ là nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã với G i là c ác nhóm không xoắn hạng 1 Bộ các dạng {t i =t G( i)}i I∈ là một bất biến của nhóm G , nghĩa là không phụ thuộc vào cách phân tích G thành tổng trực tiếp của các nhóm không xoắn hạng 1

i I

∈

=⊕ là nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã thì G có thể biểu diễn dưới

∈ ∈

=⊕ =⊕ với R i là nhóm hữu tỉ dạng t i =t G( i) Tập hợp { }e i i I∈ tạo thành một

hệ độc lập tuyến tính tối đại, gọi là cơ sở, của nhóm G và mọi phần tử g∈G có thể được

biểu diễn duy nhất dưới dạng

1 1 2 2 n n

g=r e +r e +…+r e với r i k ∈R i k

i I

∈

=⊕ Khi đó, với mọi

bộ { }a i i I∈ các phần tử của G thỏa χ( )a i ≥χ( ) ( )e i χ e j với mọi i j, ∈I , tồn tại duy nhất một vành ( , )G × trên G sao cho e i× =e j a ij

Chứng minh

Cho { }a i i I∈ là bộ các phần tử của G thỏa χ( )a i ≥χ( ) ( )e i χ e j Ta xét quy tắc nhân như sau: Cho

,

x r e y s e G

=∑ =∑ ∈ , với mọi i j, ∈I ta có χ(a ij) ≥χ( ) ( )e i χ e j và

,

i i j j

r e r e ∈G nên r s i j∣a i hay r s a i j ij∈G Ta đặt

, 1

n

i j ij

i j

x y r s a

=

× = ∑ Dễ thấy, × là một đồng cấu song tuyến tính từ G G× vào G, nên ( , )G × là một vành trên G Hơn nữa vì mọi phần tử đều biểu diễn duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của các e I i, ∈I và phép nhân bất kỳ đều là song tuyến tính trên G nên phép nhân × ở trên là duy nhất 

3 IĐÊAN TUYỆT ĐỐI CỦA NHÓM KHÔNG XOẮN HOÀN TOÀN PHÂN RÃ ĐỒNG NHẤT

đều có cùng một dạng

Dễ thấy, nếu G là một nhóm không xoắn đồng nhất dạng t lũy đẳng thì ta luôn có

thể chọn được một hệ cơ sở { }e i i I∈ sao cho i

i I

∈

=⊕ , χ( )e i lũy đẳng và R là một nhóm

hữu tỉ dạng t

Bổ đề sau dễ dàng được suy ra từ [3, Mệnh đề 85.4]

quy tắc ϕ là tự đồng cấu trên G khi và chỉ khi ϕ có dạng ( )x m x

n

ϕ = với m n, ∈¢ và n không chia hết cho các số nguyên tố p i mà k i∈¢ 

hoàn toàn phân rã đồng nhất dạng t với t không lũy đẳng thì

i mọi nhóm con của G đều là iđêan tuyệt đối và G là nhóm RAI;

ii G là nhóm afi khi và chỉ khi hạng của G là 1 và t k hông chứa ∞

Chứng minh

i Giả sử ( , )G × là một vành trên G và a b, là hai phần tử khác 0 bất kỳ của G Vì

Gđồng nhất và t không lũy đẳng nên 2

( ) ( )

t a =t b = <t t Mặt khác 2

( ) ( ) ( )

t a b× ≥t a t b =t Vì

G lũy đẳng dạng t nên a b× =0 Vậy trên G chỉ tồn tại duy nhất vành tầm thường Hiển nhiên khi đó mọi nhóm con của G đều là iđêan tuyệt đối vàG là nhóm RAI

ii Giả sử G là nhóm không xoắn hạng 1 có dạng t không chứa ∞ Cho ϕ là một

tự đồng cấu trên G và a∈G Vì t không chứa ∞ nên từ Bổ đề 3.2 suy ra ϕ( )a =ma với

m∈¢ Do đó ϕ( )a ∈〈 〉a AI Vậy theo Định lý 1.3 nhóm Glà nhóm afi

Giả sử r G( ) 1> Khi đó G có thể biểu diễn dưới dạng G=Re1⊕Re2⊕A với R là nhóm hữu tỉ dạng t Xét ánh xạ ϕ: G→G với ϕ(re1 ) =re2 và ϕ( )x =0 nếu x∉Re1 Rõ ràng

ϕ là tự đồng cấu của G và ϕ(Re1) =Re2Re1, nên Re1 không là nhóm con hoàn toàn đặc

Giả sử r G( ) 1= và t chứa ∞ Không mất tính tổng quát, giả sử ∞ đứng ở vị trí đầu

tiên của t Theo Bổ đề 3.2, quy tắc tương ứng ϕ: G→G với

1

1 ( )x x p

ϕ = là một tự đồng

cấu của G Cho a∈G và a≠0 Khi đó rõ ràng

1

1 ( )a a a p

ϕ = ∉〈 〉, nên 〈 〉a không là nhóm con hoàn toàn đặc trưng của G Mặt khác, theo chứng minh ở phần trên, ta có 〈 〉a là iđêan tuyệt đối của G Vậy G không là nhóm afi 

trưng tương đương Khi đó G(χ1∩χ2)=G(χ1)+G(χ2)

Chứng minh

Cho g∈G(χ1∩χ2) Đặt χ =1 ( ,k k1 2,…) và χ =2 ( , ,l l1 2 …) Vì χ và 1 χ2 tương đương nên chỉ tồn tại tồn tại hữu hạn giá trị *

i∈ ¥ sao cho k i ≠l i, hơn nữa tại các vị trí đó ,

i i

k l ∈¢ Đặt i

k i

l k

<

l i

k l

<

=∏ Rõ ràng UCLN m n( , ) 1= nên tồn tại u v, ∈¢ sao cho 1

um vn+ = Khi đó g=(um g) +(vn g)

Ta chứng minh (um g) ∈G(χ1) Cho i∈ ¥* Nếu k i ≤l i thì k i =min{ , }k l i i Mà

1 2

g∈G χ ∩χ nên ( ) ( )

k ≤h g ≤h umg Nếu k i >l i thì từ cách xây dựng m ta có k i

i

p ∣m,

i

k ≤h umg Vậy χ(umg)≥χ1 hay (um g) ∈G(χ1) Chứng minh tương tự ta có 2

(vn g) ∈G(χ )

Vậy g= (um g) + (vn g) ∈G(χ1 ) +G(χ2 ), hay G(χ1∩χ2)⊆G(χ1)+G(χ2) Chiều ngược lại là hiển nhiên vì χ χ1, 2 ≥χ1∩χ2 Vậy G(χ1∩χ2)=G(χ1)+G(χ2) 

rã đồng nhất dạng lũy đẳng và { }e i i I∈ là cơ sở của G sao cho i

i I

∈

=⊕ và χ( )e i lũy

đẳng Cho g=r e1 1+…+r e n n∈G Khi đó,

1

( ( ))

n

i

=

〈 〉 =∑ =

Chứng minh

Cho

1

n i i

=

∈∑ Khi đó a=r a1 1+ +L r a n n với a1,…,a n∈G Vì χ( )e i lũy đẳng và

( )i ( )i

t a =t e với mọi i∈ 1,n nên χ( ) ( )e i χ e1 =χ( )e i ≤χ( )a i Do đó, tồn tại vành ( , )G × trên G