ON TAP HKI TOAN 12

d- Viết phương trình tiếp tuyến với C tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.. a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.[r]

Chủ đề 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Các kiến thức cơ bản cần nhớ

1 Ứng dụng đạo hàm cấp một để xét tính đơn điệu của hàm số Mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu hàm cấp một của nó

2 Cực trị của hàm số Điều kiện đủ để có cực trị Điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm

số Các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số

3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số

4 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang

5 Khảo sát hàm số Sự tương giao của hai đồ thị Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị)

2 Các dạng toán cần luyện tập

1 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm

2 Tìm điểm cực trị của hàm số

3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng

4 Tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

5 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

ax b

cx d



 , trong đó a, b, c là các số cho trước

6 Dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của một phương trình

7 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số

8 Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước(như điểm cố định…) Tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);

 MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHỦ ĐỀ 1.

I Đơn điệu của hàm số.

Cho hs y = f(x) xác định trên K (KR)

1) Nếu f’(x)  0 với mọi xK thì hs đồng biến trên K.

2) Nếu f’(x)  0 với mọi xK thì hs nghịch biến trên K.

Dấu “=” chỉ xảy ra (với cả 2 trường hợp trên) tại một số hữu hạn điểm xK

* Nhắc lại kiến thức lớp 10:

Cho tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c (a0) và biệt thức = b2 – 4ac

1)

0 g(x) 0, x R

a 0

 



    





2)

0 g(x) 0, x R

a 0

 



    





II Cực trị của hàm số.

1) Điều kiện cần để hs có cực trị:

Nếu hs y = f(x) có đạo hàm và đạt cực trị tại x0 thì f’(x0) = 0 (ngược lại không đúng)

2) Điều kiện đủ (gọi là dấu hiệu) để hs có cực trị: (dùng để tìm cực trị của hs)

a) Dấu hiệu I: “đạo hàm đổi dấu khi x đi qua x0 thì x0 là điểm cực trị”

b) Dấu hiệu II:

* Nếu

0 0

f '(x ) 0

f "(x ) 0









 thì hs đạt cực tiểu tại x0

* Nếu

0 0

f '(x ) 0

f "(x ) 0









 thì hs đạt cực đại tại x0

Chú ý: cả 2 điều kiện trên đều là điều kiện 1 chiều!

III Qui tắc tìm GTLN và GTNN của hs.

1) Nếu bài toán yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hs trên khoảng, hoặc trên TXĐ thì ta lập BBT rồi KL

2) Nếu bài toán yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hs trên đoạn a;b thì ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Khẳng định trên đoạn a;b , hs đã cho liên tục

Bước 2: Tìm các điểm xa; b

mà tại đó đạo hàm không xác định, hoặc là nghiệm của đạo hàm Bước 3: Tính giá trị của hs tại các điểm x nói trên bước 2, giá trị của hs tại 2 đầu mút a, b của a;b

So sánh các giá trị ở bước 3 rồi KL

Lưu ý khi tìm GTLN và GTNN của hs trên đoạn a;b

thì ta có thể lập BBT rồi KL cũng được

IV Tìm các đường tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hs.

Tìm TXĐ của hs, giả sử hs y = f(x) có TXĐ: D =  ,a  b,

Ta tìm các giới hạn của hs khi x tiến tới các “biên” của TXĐ, ở đây ta có 4 “biên”:   ; ; trái a; phải

b Vậy ta tìm cả thảy 4 giới hạn của hs khi x  , x , x a , x  b (lưu ý phải tìm đủ tất cả 4 giới hạn)

Giả sử xlim y y0

  

thì KL đồ thị hs có 1 đường tiệm cận ngang y = y0 ( x tiến tới vô cùng, y tiến tới số) Giả sử xlim ya



 

thì KL đồ thị hs có 1 đường tiệm cận đứng x = a (x tiến tới số, y tiến tới vô cùng)

V Bài toán PT, BPT chứa tham số có ràng buộc điều kiện nghiệm.

Giả sử hs y = f(x) liên tục trên đoạn a;b và Min y ma;b 

, Max y M a;b  

k là số thực Khi đó:

1) PT f(x) = k có nghiệm thuộc a;b  m k M 

2) BPT f(x)  k có nghiệm thuộc a;b  k M

3) BPT f(x)  k nghiệm đúng  x a;b  k m

4) BPT f(x)  k có nghiệm thuộc a;b  k m

5) BPT f(x)  k nghiệm đúng  x a;b  k M

BÀI TẬP

1 Cho hàm số

3 1 1

x y

x





 có đồ thị  C . CMR hàm số đồng biến trên khoảng xác định.

2 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y 2x x 2

3 CMR hàm số y 2x x 2 đồng biến trờn khoảng 0;1

và nghịch biến trờn khoảng 1; 2

4 Tỡm cỏc khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y 2x x 2

5 Cho hàm số y=x3-3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 Tìm m để hàm số luôn đồng biến

6 Cho hàm số y=mx3-(2m-1)x2+(m-2)x-2 Tìm m để hàm số luôn đồng biến.

7 Chửựng minh raống vụựi x > 0, ta coự:

3 sin 6

x

8 Cho haứm soỏ f x 2sinxtanx 3x

a CMR haứm soỏ ủoàng bieỏn treõn 0;2



 







b CMR 2sinx tanx 3 ,x x 0;2



 



Cõu 1: Chứng minh hàm số 1 3 2  

3

luụn cú cực trị với mọi giỏ trị của tham số m

Cõu 2: Xỏc định tham số m để hàm số 3 2  2 

đạt cực đại tại điểm x 2

Cõu 3: Tỡm m để hàm số ymx42m 2x2m 5

cú một cực đại tại

1 2

x 

Cõu 4: Tớnh giỏ trị cực trị của hàm số

y x  x x x  Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

Cõu 5: Tỡm m để hàm số ym2 x33x2mx 5

cú cực đại, cực tiểu

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

1 Tỡm GTNN, GTLN của hàm số: yx2 4 x2

2 Tỡm GTLN, GTNN của hàm số y3x 10 x2

3 Tỡm GTLN, GTNN của hàm số y x4 x

4 Tỡm GTLN và GTNN của hàm số f x  x4 2x21

trờn đoạn 0; 2

5 Tỡm GTLN và GTNN của hàm số f x   x 2 osxc

trờn đoạn

0;

2



 

 

 

6 Tỡm GTLN, GTNN của hàm số: f x  x 9

x

 

trờn đoạn 2;4

7 Tỡm GTLN và GTNN của hàm số   1 4

2

x

  

 trờn đoạn 1;2

8 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x  2x3 6x21

trên đoạn 1;1

9 Tìm GTLN và GTNN của hàm số   2 1

3

x

f x

x





 trên đoạn 0;2 .

IV TIỆM CẬN

Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

a)

2 1 2

x y

x





2 2

2 1

y x

 





c)

2 2

3 4

y x





2

4 3

x y





 

1 3

x y

x





5 3

x y x





3

y x

 



2

x y x







IV KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ

Câu 1: Cho hàm số y x 3 3x 2 ( )C

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M   o 2; 4

3 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

24 2008 ( )

4 Viết phương trình tt với (C) biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng:

1

2008 ( ') 3

5 Viết phương trình tt với (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung

6 Biện luận số nghiệm của phương trình: x3 3x6m 3 0 theo m

7 Biện luận số nghiệm của phương trình: |x3 3x 2 |m theo m

Câu 2: Cho hàm số

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).

2 Viết pt tt với đồ thị (C) tại điểm

5 2;

2

M  

 

3 Biện luận số nghiệm của pt:

m

Câu 3:1 Khảo sát và vẽ đồ thị  C

của hàm số yx33x2

2 Dựa vào đồ thị  C , biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 2

Câu 4: Cho hàm số y2x33x21

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2x33x2 1 m

Câu 5: Cho hàm số y x42x23 cĩ đồ thị  C

1 Khảo sát hàm số

2 Dựa vào  C , tìm m để phương trình: 4 2

x  x m cĩ 4 nghiệm phân biệt

Câu 6: Cho hàm số y x 4 2x21, gọi đồ thị của hàm số là  C

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C

tại điểm cực đại của  C

Câu 7: Cho hàm số:

3 1 3 4

cĩ đồ thị  C

1 Khảo sát hàm số

2 Cho điểm M C

cĩ hồnh độ là x 2 3 Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và là tiếp

tuyến của  C

Câu 8: Cho hàm số y x 3 3mx24m3 cĩ đồ thị C m

, m là tham số

1 Khảo sát và vẽ đồ  C1 của hàm số khi m=1.

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C1 tại điểm cĩ hồnh độ x 1.

Câu 9:

1 Khảo sát và vẽ đồ thị  C

của hàm số y x 3 6x29 x

2 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị  C

3 Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng y x m  2 m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị  C .

Câu 11: (ĐH -KA –2002) ( C ) yx33mx23(1 m x m2)  3 m2

a-khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( C ) khi m =1.

b- Tìm k để pt : x33x2k3 0 Có 3 nghiệm phân biệt

Câu 12: Cho hs : ( C ) yx33x 2

a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( C )

b.Viết PTTT ( C) qua A ( -2;0)

c Biện luận SNPT : x 3 - 3x+3 + 2m=0

Câu 13: Cho (C) : y = f(x) = x4- 2x2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

1 Tại điểm có hoành độ bằng √2

2 Tại điểm có tung độ bằng 3

3 Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007

4 Biết tiếp tuyến vuông góc với d2 : y = 241 x −10

2 4 1

x y x







a-KS-( C )

b-CMR: đthẳng y =2x+m cắt đồ thị ( C ) tại 2 điểm phân biệt A; B với mọi m Xác định m để AB ngắn nhất.

Câu 15: - Cho hs : ( C )

2 1

x y x







a-KSHS.

b-Tìm m đth y= mx+m+3 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

c- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

d- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

e- Tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên

Câu 16: Cho HS ( C ) y = x3 - 6x 2 +9x-1

a- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.

b- (d) qua A(2;1) có hệ số góc m Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Câu 17: Cho hàm số y x 4 2x21, gọi đồ thị là (C).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).

Câu 18: Cho hàm số

2 1 ( ) 1

x

x







a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt song song với đường thẳng y = 4x -2.

c Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất.

Câu 19: Cho hàm số y x 3 3 ( )x C

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C).

b Tìm k để đường thẳng y kx  2 k tiếp xúc với (C).

Câu 20: (ĐH – KB – 2008) Cho hàm số y4x3 6x21 ( )C

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C).

b Viết pttt biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-1; -9).

 MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHỦ ĐỀ 2.

1 Luỹ thừa:

1 (a 0); (a 0); (a>0)

m n

n

a



* Quy tắc tính:

m n m n

 ;  a m n a mn;

n n

n

 



 

m

m n n

a a a





+ Với 0 < a < 1 thì a m a n  m n

2 Căn bậc n

n a bn a b n ;

n n n

3 Hàm số lũy thừa

, với là số thực tùy ý

4 Lôgarit



* log 1 0; log 1; log b ; loga b

* Tính chất so sánh:

+ Với 0 < a <1 thì: loga bloga cb c

* Quy tắc tính:

loga b c loga bloga c loga b loga b loga c

loga b loga b

1 loga b loga b



log n log

a b a b

n



* Công thức đổi cơ số:

log log

log

a b

a

c c

b



hay log loga b b cloga c

1 log

log

a

b

b

a



hay log loga b b a 1; alogb cclogb a

Lôgarit cơ số e kí hiệu là: lnx

5 Bảng đạo hàm cần nhớ:

 x ' .x  1

 ,

2

 



 

 

' 2

1 u'

 



 

 

 x ' 21

x

u



 ' 1 1

n

n n

x

n

n n

u u



sinx'cosx sinu' u'.cosu

cosx'  sinx cosu' u'.sinu

tan ' 12

cos

x

x



' 2

' tan

cos

u u

u



cot ' 12

sin

x

x



'

2

' cot

sin

u u

u



 a x 'a x.lna  a u ' u a' .lnu a

ln x' 1

x

u



log ' 1

.ln

a x

.ln

a

u u



BÀI TẬP

1 LUỸ THỪA

Vấn đề 1: Tính Giá trị biểu thức

Bài 1: Tính a) A =

1

3 5 : 2 : 16 : (5 2 3



(0, 25) ( ) 25 ( ) : ( ) : ( )

Bài 2: a) Cho a = (2 3)1 và b = (2 3)1 Tính A= (a +1)-1 + (b + 1)-1

b) cho a = 4 10 2 5 và b = 4 10 2 5 Tính A= a + b

Bài 3: Tính

a) A = 52 2 23 b) B =

3 2 3 23

Vấn đề 2: Đơn giản một biểu thức

Bài 4: Giản ước biểu thức sau

a) A = (a  5)4 b) B = 81a b4 2 với b  0 c) C = (a325)35 (a > 0)

d) E =

2

2

xy



e ) F =

2 2

1

a x



1 2



  và a > 0 , b > 0

f) G =

  

   Với x = 2

2 1

ab

b  và a > 0 , b > 0

g) J =

2





1 4 4

1

1

a a







j)

4 4  2 4 4 2 5

2

3 3

2

: x x y

x x y y











Vấn đề 3: Chứng minh một đẳng thức

Bài 5 chứng minh : x2 x1 x 2 x1 2 với 1 x  2

Bài 6 chứng minh : a23 a b4 2  b2 3 a b2 4  (3a2 3b2 3)

Bài 7: chứng minh:

2

1

2

ax

x a



    với 0 < a < x

Bài 8 chứng minh:

1

1





Với x > 0 , y > 0, x  y , x  - y

Bài 9: Chứng minh rằng 39 8039 80 3

2 LOGARIT

Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit

Bài 10 Tính logarit của một số

A = log24 B= log1/44 C = 5

1 log

25 D = log279

E = log4 48 F =

3 1 3

log 9

G =

3

2

4 log

2 8

  H= 271 3

3 3 log

3

I = log (2 2)16 3 J= log20,5(4) K = loga3a L =

5 3 1

log ( )

a

Bài 11 : Tính luỹ thừa của logarit của một số

A = 4log 3 2 B = 27log 3 9 C = log 2 3

3 2

2log 5 3 2

 

 

 

E = 2

1

log 10 2

8 F = 21 log 70  2 G = 23 4log 3  8 H = log 2 3log 5 3 3

9 

I = (2 )a log 1a J = log 2 3log 5 3 3

27 

Vấn đề 2: Rút gọn biểu thức

Bài 12: Rút gọn biểu thức

log 25log 9

C =

3

1 log log 2 5

D = log 6log 9log 23 8 6 E = log 2.log 3.log 4.log 5.log 73 4 5 6 8 F =

2 4

log 30 log 30

G =

5 625

log 3

log 24 log 192 log 2  log 2 I = 13 9 3

log 7 2log 49 log 27 

Vấn đề 3: Chứng minh đẳng thức logarit

Bai 13: Chứng minh ( giả sử các biểu thức sau đã cho có nghĩa)

a)

log log log ( )

1 log

ax

a

bx

x





loga loga loga n 2loga

n n



c) cho x, y > 0 và x2 + 4y2 = 12xy

Chứng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2 d) cho 0 < a  1, x > 0

Chứng minh: log ax 2

2 1

log (log )

a x x

Từ đó giải phương trình log3x.log9x = 2

e) cho a, b > 0 và a2 + b2 = 7ab chứng minh: 2 2 2

1

a b



3 HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

Vấn đề 1: tìm tập xác định của hàm số

Bài 14: tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y = 2

3 log

10 x b) y = log3(2 – x)2 c) y = 2

1 log 1

x x





d) y = log3|x – 2| e)y = 5

2 3 log ( 2)

x x



1

x

x 

g) y =

2 1 log x 4x 5

h) y = 2

1 log x 1 i) y= lg( x2 +3x +2)

Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số

Bài 15: tính đạo hàm của các hàm số mũ

a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)ex d) y = ex.sin3x

e) y = (2x2 -3x – 4)ex f) y = sin(ex) g) y = cos( e x22 1x

) h) y = 44x – 1

i) y = 32x + 5 e-x +

1

3x

j) y= 2xex -1 + 5x.sin2x k) y =

2 1

4x

x 

Bài 16 Tìm đạo hàm của các hàm số logarit

a) y = x.lnx b) y = x2lnx -

2 2

x

c) ln( x 1x2 ) d) y = log3(x2- 1) e) y = ln2(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.loga(x2 + 2x + 3)

4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vấn đề 1: Phương trình mũ

Dạng 1 Đưa về cùng cơ số

Bài 17 : Giải ác phương trình sau

a) 2x4 3 4

2 6 5 2

2x  x 16 2 c) 32x3 9x23x5



d) 2x2 x 8 41 3  x

 e) 52x + 1 – 3 52x -1 = 110 f)

4

f) 2x+ 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2 g) (1,25)1 – x = (0,64)2(1 x)

Dạng 2 đặt ẩn phụ

Bài 18 : Giải các phương trình

a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12 b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0

c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 d)

1

x x

   

   

    e) 5 x  53 x 20 f) 4 15 x 4 15x2

g)  5 2 6  x 5 2 6 x10 h)32x 1 9.3x 6 0

   (TN – 2008) i) 7x 2.71x 9 0

   (TN – 2007) j) 22x2 9.2x 2 0

   (TN –2006)

Dạng 3 Logarit hóaï

Bài 19 Giải các phương trình

a) 2x - 2 = 3 b) 3x + 1 = 5x – 2 c) 3x – 3 = 5x27x12

d) 2x2 5x25x6

1

5 8 500

x

x x



 f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x

Dạng 4 sử dụng tính đơn điệu

Bài 20: giải các phương trình

a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) 1 + 3x/2 = 2x

Vấn đề 2: Phương trình logarit

Bài 21: giải các phương trình

a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3) c) log4x + log2x + 2log16x = 5 d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0

e) log3x = log9(4x + 5) + ½ f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2

g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1) h) log3x2log3x 2 log 53 (TN L2 2008)

Dạng 2 đặt ẩn phụ

Bài 22: giải phương trình

a)

1

4 ln x2 ln x  b) logx2 + log2x = 5/2

c) logx + 17 + log9x7 = 0 d) log2x + 10log2 x  6 9

e) log1/3x + 5/2 = logx3 f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x

g)

2

log x3log xlog x2

h) lg 16 l g 64 3x2  o 2x 

Bài 23: giải các phương trình