Các bài toán về biến đổi biểu thức số cã chøa c¨n bËc hai... 3 Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng:.[r]
Trang 1Chủ đề 1 Các bài toán về biến đổi biểu thức số
có chứa căn bậc hai.
I Lý thuyết.
1) Căn bậc hai: x2= a⇔ x=± √ a ( a≥0 )
0
0
x Neu a thi x a
1) Hằng đẳng thức:
A neu A
A neu A
2) Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng:
√ AB= √ A √ B ( A≥0; B≥0)
3) Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng:
√ B A =
√ A
√ B ( A≥0, B>0 )
4) Các phép biến đổi đơn giản căn bậc hai:
4.1 Đa thừa số ra ngoài dấu căn:
√ A2B=|A| √ B ( B≥0)
4.2 Đa thừa số vào trong dấu căn
2 2
( 0, 0) ( 0, 0)
A B A B Neu A B
A B A B Neu A B
4.3 Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
√ B A = √ AB B2=
1
| B| √ AB ( AB≥0 , B≠0)
4.4 Trục căn thức ở mẫu:
A
√ B =
A √ B
B (B >0) C
A± √ B =
C( A∓ √ B )
A2− B ( B ≥0, A
2
≠ B) C
√ A± √ B =
C ( √ A∓ √ B) A−B ( A ,B ≥0, A≠B)
5) Cộng trừ căn bậc hai đồng dạng:
6) Căn bậc 3: 3√a=x ⇔ x3
=a
Phép toán: 3√ab=3√a.√3b
3
√a b=
3
√a
3
√b (b≠0 )
Trang 2II Các ví dụ:
Ví dụ 1 Cho A=29+12 √ 5 Tính √ A .
Giải: Ta có: A=29+12 √ 5=20+9+2.2 √ 5.3= ( 2 √ 5 )2+2.2 √ 5 3+32= ( 2 √ 5+3 )2
⇒ √ A=2 √ 5+3
Ví dụ 2 Rút gọn biểu thức M= √ 4+ √ 7− √ 4− √ 7
Giải.
Cách 1
4 + √ 7= 8+2 √ 7
7+2 √ 7+1
( √ 7 +1 )2
2 4− √ 7= 8−2 √ 7
7−2 √ 7+1
( √ 7−1 )2
2
Do đó:
M= √ ( √ 7+1 )2
2 − √ ( √ 7−1 )2
( √ 7+1 )
( √ 7−1 )
2
√ 2 = √ 2 Cách 2
Dễ thấy M > 0
M2= ( √ 4+ √ 7− √ 4− √ 7 )2= 4+ √ 7+4− √ 7−2 √ ( 4 + √ 7 ) ( 4− √ 7 )
M2= 8−2 √ 9=2 Suy ra: M= √ 2
Ví dụ 3: Tính x= √317 √ 5+38− √317 √ 5−38
Giải : Ta sử dụng các hằng đẳng thức:
( a+b)3= a3+ b3+3ab( a+b) ( a+b)3= a3− b3−3ab( a−b ) Lập phơng hai vế ta có:
Trang 3x3= ( √317 √ 5+38− √317 √ 5−38 )3
x3= ( 17 √ 5+38 ) − ( 17 √ 5−38 ) −3 √3( 17 √ 5+38 ) ( 17 √ 5−38 ) ( √317 √ 5+38− √317 √ 5−38 )
x3=36−3 √3( 17 √ 5 )2−382 x=36−33√ 1.x
x3+3 x−76=0⇔ x3−4 x2+ 4 x2−16 x+19 x−76=0
(V× x2+4 x+19=x2+4 x+4+15=( x +2)2+ 15>0 )
II Bµi tËp LuyÖn tËp:
Bµi 1 Ph©n tÝch c¸c biÓu thøc sau thµnh c¸c luü thõa bËc hai:
a)8+2 √ 15 b)10−2 √ 21
c)5+ √ 24 d )12− √ 140 e )14+6 √ 5
Bµi 2 TÝnh √ A biÕt:
Bµi 3 Thùc hiÖn phÐp tÝnh rót gän:
a) √ √ 5− √ 3− √ 29−6 √ 20 d)(5−3 √ 2) √ 13+30 √ 2+ √ 9+4 √ 2
b) ( √ √ 7+ √ 48− √ √ 28−16 √ 3 ) √ √ 7+ √ 48 c ) √ 4+ √ 5 √ 3+5 √ 48−10 √ 7+4 √ 3
e) √ 6−2 √ √ 2+ √ 12+ √ 18− √ 128
f )( √ 3−1) √ 6+2 √ 2 √ 3− √ √ 2+ √ 12+ √ 18− √ 128
g) √ |12 √ 5−29|+ √ 25+4 √ 21− √ 12 √ 5+29− √ 25−4 √ 21
Bµi 4 TÝnh:
a) A= √ 8−2 √ 5− √ 8+2 √ 5 b) B= √ 4+ √ 10+2 √ 5+ √ 4− √ 10+2 √ 5
c) C= √ 4+ √ 15+ √ 4− √ 15−2 √ 3− √ 5
Bµi 5 Rót gän:
a ) A= ( 15 √ 6 +1 +
4
√ 6−2 −
12 3− √ 6 ) ( √ 6+11 ) c)C=(4 + √ 15)( √ 10− √ 6 ) √ 4− √ 15
b )B= √ 3− √ 5( √ 10− √ 2)(3+ √ 5 ) d )D= √ 8+ √ 15
2 + √ 8− √ 15
2
Bµi 6 Rót gän biÓu thøc:
Trang 4M= √ √ 7− √ 3− √ √ 7+ √ 3
√ √ 7−2
Bài 7 Chứng minh các số sau đều là các số nguyên:
a) A= 2 √ 3+ √ 5− √ 13+ √ 48
√ 6+ √ 2 b)B=
( 5+2 √ 6)(49−20 √ 6) √ 5−2 √ 6
9 √ 3−11 √ 2
Bài 8 Tính:
2+ √ 4+2 √ 3 +
2− √ 3
2+ √ 3
√ 2+ √ 2+ √ 3 +
2− √ 3
√ 2− √ 2− √ 3
√ 2+ √ 3+ √ 5 +
2− √ 5
√ 2− √ 3− √ 5
Bài 9 Tính:
A=3√ √ 5+2−3√ √ 5−2; B=3√ 3+ √ 17+3√ 3− √ 17
Bài 10 Hãy lập phơng trình f(x)=0 với hệ số nguyên có một nghiệm là x=√33+√39
Bài 11 Tính giá trị biểu thức:
√ 9− √36+3√ 4 ( √ 4−2 1+ √ 2 √ 3 :
1+ √ 3
√ 2−1 )
Bài 12 Cho
A= ( 1+3 √ 3 ) √ 26+2 √ 26+2 √ 28+6 √ 3−1
B= √ 3(2 √ 27− √ 48+ √ 3)
Chứng tỏ rằng A chia hết cho B
Bài 13 Rút gọn biểu thức:
M= √ 2+ √ 3 √ 2+ √ 2+ √ 3 √ 2+ √ 2+ √ 2+ √ 3 √ 2− √ 2+ √ 2+ √ 3
Bài 14 Cho các biểu thức:
A
B
a) Tính A b) Chứng minh rằng B > 12
Bài 15 Chứng minh rằng: √ 8+2 √ 10+2 √ 5 + √ 8−2 √ 10+2 √ 5 = √ 2 + √ 10
Bài 16 a) Chứng minh rằng:
1 ( k+1 ) √ k +k √ k+1 =
1
√ k −
1
√ k +1 với k nguyên dơng. b) áp dụng tính
2 √ 1+1 √ 2 +
1
3 √ 2+2 √ 3 +
1
4 √ 3+3 √ 4 + +
1
100 √ 99+99 √ 100
Trang 5Tổng quát:
2 √ 1+1 √ 2 +
1
3 √ 2+2 √ 3 +
1
4 √ 3+3 √ 4 + +
1 ( n+1 ) √ n+n √ n+1
Bài 17 Tính:
P=√1+20072+20072
20082+
2007 2008
Tổng quát:
P=√1+n2+ n2
(n+1)2+
n n+1
Bài 18 Xét biểu thức:
P= 1
√ 2− √ 3 −
1
√ 3− √ 4 +
1
√ 4− √ 5 − +
1
√ 2006− √ 2007 −
1
√ 2007− √ 2008
a) Rút gọn P b) Giá trị của P là số hữu tỉ hay vô tỉ? Vì sao?
Bài 19 Cho các số sau:
A= √ 6+ √ 6+ √ 6+ + √ 6
B= √36+ √36+3√ 6+ +3√ 6
Chứng minh rằng A và B đều không phải là các số nguyên
Bài 20 a) Cho A=3√ 60+3√ 60+3√ 60+ +3√ 60 Chứng minh rằng 3<A<4.
b) Cho
20 20 20 20 ; 24 24 24 24
Chứng minh rằng 7<A+B<8
Bài 21 Cho
N=99 9⏟
n ch số 9
400 0⏟
n ch số 0
9 Tính √ N
Bài 22 So sánh : √ 4+ √ 7− √ 4− √ 7− √ 2 và số 0
Bài 23 Tính
3 √ 2+ √ 4 + √ 7 +
4− √ 7
3 √ 2− √ 4− √ 7
Bài 24 Rút gọn biểu thức: N= √ 4 √ 6+8 √ 3+4 √ 2+18
Bài 25 Tính
ta
4
1 1 2 1 1 2
Bài 26 Tính giá trị biểu thức
R a a a biet a
3 1 2 5 2 3 7 3 4 97 48 49
So sánh S với
3 7
(Đề thi hsg thành phố năm học 2002-2003)
Trang 6Bµi 28 T×m tæng: S =
Híng dÉn: XÐt sè h¹ng tæng qu¸t cña tæng:
2
2 2 1 2 1
2 1 2 1
n