Chương 1 chủ đề 5 rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Các bài toán liên quan đến bài toán rút gọn biêu thức chứa căn bậc hai thường là: - Tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến; - Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu

BÀI 5 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.

I TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Đê’ rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng linh

hoạt và phù họp các phép biên đổi đơn giản như:

- Đưa thừa sô' ra ngoài dâu căn;

- Đưa thừa sô' vào trong dâu căn;

- Trực căn thức ở mẫu;

- Quy đồng mẫu thức

2 Các bài toán liên quan đến bài toán rút gọn biêu thức chứa căn bậc hai thường là:

- Tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến;

- Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức;

- Tìm giá trị nguyên của biến đê’ biểu thức nhận giá trị nguyên;

- Tìm giá trị thực của biến đế biểu thức nhận giá trị nguyên;

- So sánh biểu thức với một sô' hoặc một biếu thức khác;

- Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhò nhất cua biêu thức

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 Rút gọn biểu thức chúa căn bậc hai và tìm giá trị của biểu thúc khi biết giá trị của biến

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:

Bước 1 Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai đã cho, ta sử dụng các phép biên đổi như đưa thừa sô' ra ngoài hoặc vào trong dâu căn, trục căn thúc ờ mẫu, quy đồng mẫu thức một cách linh hoạt

Bước 2 Đê’ tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị cùa biên ta rút gọn giá trị của biên (nêu cần) sau đó thay vào biểu thức đã dược rút gọn ở trên và tính kết quả

CÁC BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Rút gọn biểu thúc chứa căn bậc hai và tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến.

1A Cho biểu thức

b) Tính giá trị của P trong các trường hợp:

i)

ii)

1B Cho biểu thức

b) Tính giá trị của Q trong các trường hợp:





Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức.

2A Cho biểu thức

2B Cho biểu thức

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên.



x 6 4 2  6 4 2

x

x 4

          

x 27 10 2  18 8 2

x



1 M 2





3

x x 1 x 1



8 N 9



3A Cho biểu thức

3B Cho biểu thức

b) Tìm x nguyên để C = A ( B – 2 ) có giá trị nguyên

4A Cho biểu thức

b) Tìm x thực để có giá trị nguyên

4B Cho hai biểu thức

b) Tìm x thực để M= A - B có giá trị nguyên

Dạng 4: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và so sánh biểu thức với một số (hoặc một biểu thức khác).

Phương pháp giải: Để so sánh một biểu thức M với một số a, ta xét hiệu M-a và xét dấu của hiệu này, từ đó đi đến kết quả của phép so sánh.

5A Cho hai biểu thức

x 1

M A



7P 3

x 1



b) So sánh

5B Cho các biểu thức:

a) Rút gọn các biểu thức A và B

b) Đặt hãy so sánh P với 1

Dạng 5: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và tìm giá trị lớn nhất( hoặc giá trị nhỏ nhất) của biểu thức.

Phương pháp giải: Chú ý rằng

- Biểu thức P có giá trị lớn nhất là a, kí hiệu với mọi giá trị của biến

và tồn tại ít nhất một giá trị của biến để dấu “=” xảy ra

- Biểu thức P có giá trị nhỏ nhất là b, kí hiệu với mọi giá trị của biến

và tồn tại ít nhất một giá trị của biến để dấu “=” xảy ra

6A Cho hai biểu thức

b) Đặt Tìm giá trị nhỏ nhất của P

6B Cho biểu thức

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị lớn nhâ't của P.

II BÀI TẬP VỂ NHÀ

7 Cho biêu thức:

a) Rút gọn M

b) Tính giá trị của M khi X = 11 - 6

c) Tìm các giá trị thực của x để M = 2.



x 3



A P B



max

P a nÕu Pa

min

P b nÕu Pb

A P B



x 9





2

d) Tỡm cỏc giỏ trị thực của x đờ’ M < 1.

e) Tỡm cỏc giỏ trị X nguyờn để M nguyờn.

8 Cho biờu thức:

a) Rỳt gọn Q

b) Tớnh giỏ trị của Q khi x = 4 + 2

c) Tỡm cỏc giỏ trị của x đờ’ Q = 3.

d) Tỡm cỏc giỏ trị của x để Q >

9 Với cho biểu thức:

a) Rỳt gọn P

b) Tỡm giỏ trị của x đờ’ P <

c) Tỡm giỏ trị của x để P =

d) Tỡm x nguyờn đế P nguyờn.

e) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P

10 Cho biểu thức:

a) Rỳt gọn P

b) Tỡm cỏc giỏ trị của x thỏa món P <

c) Tỡm giỏ trị nhỏ nhõ't của P

3

1 2

xZ để QZ

x0 và x1

x 1

1 2 1 3

1 x

1 2

11* Cho biêu thức

a) Rút gọn N

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của N

c) Tìm x đê’ biểu thức M =

2 x

N nhận giá trị nguyên

12 Chứng minh các đẳng thức sau:

a)

2 4

a víi a+b>0 vµ b 0



b)

víi a 0, b 0 vµ a b

b a



BÀI 5 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN

QUAN 1A a) Rút gọn ta được

b) i) Ta cã x= 2 2 2 2 4 (TM § K x 0, x 9)





Thay x=4 vào P tính được P=

4 5 ii) Tìm được x=2 (TM § K x  0, x  9)

Thay x=2 vào P tính được P=

7



1B a) Rút gọn ta được



 b) i) Ta cã x= 5  2  4 2  2  1 (TM § K x  0, x  4)

Thay x=1 vào Q tính được Q= 2

ii) Tìm được x=2 (TM § K x  0, x  4)

Thay x=2 vào Q tính được Q=

8 3 2 2



2A a) Rút gọn ta được

x



b) Ta có M 1 2x x 1  x 1 2 x  1  0

2

Giải ra ta được x=

1 4

2B a) Rút gọn ta được  

4 x

b) Ta có N 9  x 2 2 x  1  0

8

Giải ra ta được

1

4

3A a) Rút gọn ta được



 b) Rút gọn ta được

7



Để M nguyên, ta cần có x  N,  x  3   ¦ (7)

Từ đó tìm được x=6

3B a) Rút gọn ta được



 b) Rút gọn ta được

2 C







ta có C nguyên,  x  2   ¦ (2)

Giải ra ta được x   0,1,6,16 

Ta có c nguyên <=> (yfx —2) e ư(2).

4A a) Rút gọn ta được

2 P



 víi x  0,x  4

Đặt

7P

M

3



Ta có

14 M



 víi x  0,x  4

Cách 1 Tìm được 0 < M

7 3



Mà M  Z nªn M   1;2 

Từ đó tìm được x =

64

9 ; x =

1 9

4B a) Rút gọn ta được

1 A



 víi x  0,x  25

b) Ta có

x M



 víi x  0,x  25

Cách 1 Tìm được 0  M < 1 Mà M   Z M = 0.

Từ đó tìm được x = 0 (TMĐKvíi x  0,x  25).

Cách 2 Đặt

x n

1  x  với n nguyên.

Ta có

n

1 n



Từ đó tìm được x = 0 (TMĐK víi x  0,x  25).

5A a) Rút gọn ta được

B





 víi x  0,x  1

b) Rút gọn ta được

C

x



víi x>0,x  1

Xét hiệu C-3 =

0 x





víi x  0,x  25,x  1

Từ đó ta có C> 3

5B a) Rút gọn ta được

x A



 và

x B



 víi x  0,x  25,x  9

b) Ta có

P





 và P-1 =

8

x  3< 0 nên P< 1.

6A a) Rút gọn ta được

B





 víi x  0,x  4,x  9

b) Tìm được

B



 víi x  0,x  4,x  9

Ta có P ( x 1) 4 2  x 1  4 4

Dấu"=" xảy ra

4

 (TMĐK víi x  0,x  4,x  9 ).

Vậy tìm được Pmin   4 x  0

6B

a) Rút gọn ta được

3 P



 víi x  0,x  9

b) Tìm được Pmin   1 x  0

7

a) Rút gọn ta được

M





 víi x  0,x  4,x  9

b) Từ x 11 6 2    x   3 2 (TMĐK víi x  0,x  4,x  9).

Thay x   3 2 vào M tính được M = 1 - 2 2.

c) Tìm được x = 49

d)Ta có M < 1

4



 < 0 Từ đó tìm được 0   x 9,x  4

e) Ta có

4

M 1

 

 víi x  0,x  4,x  9

Từ điều kiện x và M nguyên ta tìm được x = {l; 16; 25; 49}.

8 a) Gợi ý: x  x   2 ( x  2)( x  1)

Rút gọn ta được

Q





 víi x  0,x  1

b) Ta có x  3 1  (TMĐK).

Thay x  3 1  vào Q tìm được

3 2 3 Q

3



 c) Ta có Q = 3 <=> x= 4 (TMĐK)

d) Ta có





e) Tương tự 3A Ta có Q = 1 +

2

x  1

Từ đó tìm được x {0;4;9}.

9 a) Rút gọn ta được

P





 víi x  0,x  1

b) Ta có



 Từ đó tìm được 0   x 9,x  1

c) Giải

3





 tìm được x = 4 (TMĐK).

d) Ta có

2

 

 • Từ điều kiện P nguyên, tìm được x = 0

e) Từ

2

 

 tìm được Pmin = -1 <=> x = 0.

10 a) Rút gọn thu được

P





 víi x  0,x  4,x  1

Ta có

1

2

Giải ra và kết hợp điều kiện ta được 0   x 16,x  1,x  4

c) Tương tự 6A Ta có

3

 



Từ đó tìm được min

1

2

11 a) Rút gọn ta được N   x x  1 với x > 0 và x 1 

b) Ta có

2

1 x 4

Vậy min

c) Trường hợp 1 Xét x = O => M = O Z

Trường hợp 2 Xét x  0

Khả năng 1 Với M = 1, tìm được x = 7 ± 3 5 (TM).

Khả năng 2 Với M = 2, tìm được x = 1 (KTM).

Vậy các giá trị tìm được là x = 0 hoặc x = 7 ± 3 5.

12 a) Sử dụng công thức:

A Khi A<0









Ta có VT =

2

2 4

a b

b)

VT

VP(§PCM)



