Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]
Trang 1Chuyên đề nâng cao
RÚT GỌN BIỂU THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỬ LIÊN TIẾP
1 Kiến thức cần nhớ
Thông thường, muốn rút gọn một biểu thức hữu tỉ ta dựa vào quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân,
chia phân thức Nhưng có những biểu thức hữu tỉ ta không thể vận dụng trực tiếp quy tắc các phép toán
về phân thức được vì nhiều lí do khác nhau
Chẳng hạn, không thể quy đồng mẫu thức của hàng trăm phân thức có mẫu thức khác nhau để cộng;trừ
chúng Không thể tìm tích của hàng chục phân thức bằng cách nhân trực tiếp tử với tử, mẫu với mẫu mà
không tìm ra quy luật để rút gọn tích
Gặp những trường hợp như vậy, người ta thường tách mỗi hạng tử thành tổng hay hiệu của các phân thức hoặc tách mỗi nhân tử thành tích của hai hay nhiều phân thức để sau đó khử liên tiếp, hoặc nhóm lại
thành từng nhóm có thể tính ra kết quả dễ dàng
2 Một số ví dụ
Ví dụ 1 Tính tổng
x x + l x + l x + 2 x +
2 x + 3 x + 99 x + 100
Giải Trước hết ta chứng minh công thức
( x + k )( 1 x + k + l ) x 1
1 =
+ k - x + k + 1
x + k + 1 x + k
x + k x + k + 1 x
+ k x + k + 1 x+k - x + k + 1 .
Cho k lần lượt lấy các giá trị từ 0 đến 99 ta được
S = ( - ) + ( - ) + ( - ) + + ( - ).
x x+1 x+1 x+2 x+2 x+3 x+99 x+100
Vì số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau nên sau khi khử liên tiếp ta được :
x x+100 x(x+100) x(x+100).
Ví dụ 2 Tính tổng
2
z -xy
(y
x -yz y -zx (x+y)(x+ z ) +z)+(y+x) (z+x)( z+y)
Giải Ta có:
x -yz x +xy-xy-yz
=
Trang 2Tương tự:
2 2
= - ;
y -zx (y+z)(y+x) y+x y+z (z+x )(z+y) = z +y - z+x .
Do đó S = ( x - y ) + ( y - z ) + ( z - x ) = 0.
x+z x+y y+x y+z z+y z+x
Ví dụ 3 Tính tích P = (1 + ).(1 + ).(1 + 1 1 1 ) (1 + 21 )
Giải Dạng tổng quát của mỗi thừa số là
2
1 k +2k+1 (k+1)
k +2k k(k+2) k(k+2)
Cho k các giá trị 1, 2, 3, , n ta được:
2 2 2 2 2.3.4 n + 1 2.3.4 n + 1
1.2.3 n
2 3 4 (n+1)
1.3 2.4 3.5 n (n+2) 3.4.5 n + 2
n+1 2 2(n+1)
1 n+2 n+2
Ví dụ 4 Chứng minh rằng
(z+x)(z+y) (x+y)(x+z) (y+z)(y+x) x+y y+z z+x
Giải Ta có:
x -y x -z +z -y x-z z-y
(z+x)(z+y) (z+x)(z+y) z+y z+x
Tương tự:
y -z y-x x-z z -x z-y y-x
(x+y)(x+z) x+z x+y (y+z)(y+x) y+x y+z
Khi đó vế trái
x-z z-y y-x x-z z-y y-x
VT = ( + ) + ( + ) + ( + )
x+y y+x y+z z+y z+x x+z x-y y-z z-x
= + + = VP.
x+y y+z z+x
3 Bài tập tự luyện
Tính tổng
1 Tính tổng :
Trang 3( ) ( )( ) ( )( )
1
2
b)
x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a
x + 9a x + 10a a x + 10a
x x + a x + a x
+ 2a x + 2a x + 3a
x + 99a x + 100 a a x
+ 1
00a .
2 Tính tổng :
2
3 Cho k 2k+1 2
a =
[k(k+1)] với k 1. Chứng minh rằng tổng S = a + a + + a < 1.1 2 99
4 Cho k 4 2
a = 1 -
(2k+1) với k 1. Chứng minh rằng tích 1 2 50
1
P = a a a >
3
5 Rút gọn biểu thức xy+2x+l yz+2y 1 zx+2z+1
A = xy+x+y+1 yz+y+z+l zx+z+x+1
+
Tính tích
6 Cho nN* , chứng minh rằng :
1
a) P = (1+ ).(1+ ).(1+ ) (1+ )
1.3 2.4 3.5 n(n+2) có giá trị nhỏ hơn 2
b) P = (1+ ).(1+ ).(1+ ) (1+ )
2 5 9 n +3n có giá trị nhỏ hơn 3
7 Rút gọn biểu thức với n 2
2 -1 3 -1 4 -1 5 -1 n -1
2 +1 3 +1 4 +1 5 +1 n +1
8 Cho 4 1 4 1 4 1 4 1
A = (2 + )(4 + )(6 + ) (20 + )
Trang 49 Cho a+b b+c c+a
x = ; y = ; z = ,
a-b b-c c-a
trong đó a, b, c là các số khác nhau đôi một Tính tích x+1 y+1 z+1
x-1 y-1 z-1
10 Cho a + b + c = 3abc3 3 3 và a, b, c 0 Tính giá trị của biểu thức P = ( a +1)( b +1)( c +1).
Trang 5Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí