a Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để diện tích tứ giác ABHE là nhỏ nhất... Chia cả hai vế của PT cho x ta được:..[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH HÀ
Năm học: 2012-2013 Môn: Toán
Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1.(2,0 điểm)
a) Cho hàm số y = ax + b Biết f(1) f(2); f(5) f(6) và f(999)=2012
Tính f(2013)
b) Rút gọn biểu thức: A 2( x2 y2 x)( x2 y2 y) x2 y2
với mọi x y , 0.
Câu 2.(2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng a2 a 1 không chia hết cho 25 với mọi số nguyên a b) Tìm các số nguyên dương x y, khác nhau sao cho: xy y x
Câu 3.(2,0 điểm)
a) Giải phương trình x2 3x2 x 1 4
b) Giải phương trình nghiệm nguyên 4x5y7.
Câu 4.(1,5 điểm) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c 1 Chứng minh rằng a bc b ca c ab 1 ab bc ca
Câu 5.(2,5 điểm) Cho nửa đường (O, R) đường kính AB, bán kính OC vuông góc với
AB M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn (O) ( M khác A và B) Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt OC, cắt tiếp tuyến tại A và cắt tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại D, E và H Gọi F là giao điểm của AE và BD
a) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABHE là nhỏ nhất
b) Chứng minh EA EF=
2 4
AB
====HẾT====
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh SBD:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN 9 ( áp án có 3 trang)Đ
1
a) Vì f(1) f(2) nên a0 (1)
f(5) f(6) nên a0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a = 0
Do đó f(2013) = f(999) = 2012
0,5
0,5 b)
A x y x x y y x y =
2(x2y2) 2 x2y2.(x y ) 2 xy x2y2
2
(x y ) x2y2 x2y2 x y (vì x y x2y2 )
0,25 0,5 0,25
2 a) N a 2 a 1=(a 2)(a3) 5
Vì (a 2) ( a3)5 chia hết cho 5 nên a 2;a3 hoặc cùng
chia hết cho 5 hoặc cùng không chia hết cho 5
*Nếu a 2;a3 cùng chia hết cho 5 thì (a 2)(a3) chia hết cho
25 mà 5 không chia hết cho 25 suy ra N không chia hết cho 25
*Nếu a 2;a3 cùng không chia hết cho 5 thì (a 2)(a3) không
chia hết cho 5 ( do 5 là số nguyên tố) suy ra N không chia hết cho 5,
do đó Nkhông chia hết cho 25
Vậy N không chia hết cho 25 với mọi số nguyên a
b) Giả sử 1 x y Chia cả hai vế của PT cho x x ta được:
x
y x x
y x x
Vì y x x xmà xlà số nguyên dương nên y x Đặt y kx (kN k, 2)
Theo bài ra ta có x kx ( )kx x ( )x k x ( )kx x x k kx x k1k (1)
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25 0,25
Trang 3Ta thấy x 2 (vì nếu x 1thì k 1) Do đó x k1 2k1
(2)
Từ (1) và (2) suy ra k 2k1
nên 2k 2k (3)
Dễ thấy k 3 thì bất đẳng thức (3) không xảy ra Do đó k 2.
Thay k 2 vào (1) ta được x 2 y2.2 4
Thử lại x2;y4 thỏa mãn đề bài Vì vai trò của x, y như nhau vậy (
,
x y) 2; 4 , 4; 2
0,25 0,25
3
a) ĐKXĐ: x 1.
(x 2) ( x 1 1) 0
2 0
2( / )
1 1 0
x
x T m x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2
0,5 0,5 b)
x y y x
Đặt
2
5
x
t t Z
Do đó x5t 2 y 3 4t Vậy nghiệm của phương trình là
5 2
3 4
x t
t Z
0,5 0,5
4
Vì a b c 1, nên áp dụng BĐT Cauchy ta có:
b c bc a a bc a bc
a a a bc a bc a a bc bc
a bc a bc a bc a bc
(1) Chứng minh tương tự ta có: b ca b ca (2)
c ab c ab (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được
a bc b ca c ab a b c ab bc ca
Hay a bc b ca c ab 1 ab bc ca
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1 3
a b c
0,25 0,5
0,25
0,5
a) Ta có AE//BH( cùng vuông góc với AB) nên tứ giác ABHE là hình
Trang 4thang vuông Do đó
ABHE
AE BH AB EH AB
(theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
ABHE
S nhỏ nhất EHnhỏ nhất EH BH ABHElà hình chữ nhật
M là điểm chính giữa của cung AB
Vậy MinS ABHE 2R2 M C
0,5
0,5 b) Xét hình thang ABHE có OA=OB, OD//AE//BF DE DF
DE DHB g c g E
mà BH HM EA EM; (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra AE E F=EM.MH (1)
Lại có OE là tia phân giác của AOM ; OH là tia phân giác của BOM
mà AOM và BOM là hai góc kề bù nên EOH 900
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác EOH vuông tại H ta có
2 2
.
4
AB
EM MH OM
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
2 F
4
AB
AE E
0,5
0,5
0,5
Kí duyệt Thị trấn Thanh Hà ngày 7 tháng 9 năm 2012
Người ra đề
Nguyễn Đăng Thành
A
F
C
E
H
M D