[r]
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC: 2009 - 2010 MÔN: TOÁN - LỚP 9
THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 phút
(không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A=
2
1 :
1
1 1 1
x x
x
x x
x x
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x = 7 - 6
c) Tìm x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất?
Bài 2: (4 điểm) Cho phương trình: (a 1)x 2y 1
3x ay 1
a) Giải hệ (I) với a = + 1.
b) Tìm các giá trị của a để hệ (I) vô nghiệm.
Bài 3: (6 điểm) Cho tam giác ABC (AC > AB), trung tuyến AM, điểm NAM, (điểm
N nằm giữa A và M), vẽ đường tròn (O) có đường kính AN.
a) Gọi F là giao điểm của phân giác trong AD với (O), gọi E là giao điểm của phân giác ngoài góc Aˆ với (O) Chứng minh: EF là đường kính của đường tròn (O).
b) Đường tròn (O) cắt AB ở K, cắt AC ở H, KH cắt AD ở I
Chứng minh: FK2 = FI FA.
c) Chứng minh: NH.CD = NK BD.
Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O ; 2) Chứng minh rằng
tam giác này có diện tích và chu vi bằng nhau về số đo?
Bài 5: (4 điểm)
a) Giải hệ phương trình: x 2y 52 2 (1)
(2)
1 2005
1 1
4
1 3
1 1 3
1 2
1
1
S
HẾT
UBND HUYỆN CẦU KÈ
PHÒNG GD - ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2VÒNG HUYỆN NĂM HỌC : 2009 - 2010 MÔN : TOÁN - LỚP 9
A =
1
2 1
) 1 (
) 1 (
2
x x
x
x x x
x
x
0,5đ
2 4
3 4 1 2 4
3 2
1
2
x
A
0,5đ
Với a = 3+ 1 thì hệ (I) trở thành:
1 ) 1 3 ( 3
1 2 3
y x
y x
1 2 3
0 ] 3 )[
3 1 (
y x
y x
1
3
y
y x
1 3
1
y x
0,5đ
0,5đ
0,5đ
PHÒNG GD - ĐT
Trang 3Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm
(I)
1 3
2 ) )(
2 (
ay x
y x a
) 2 (
) 1 ( 6 ) 4 )(
2
1
y a a
ay x
0,5đ 0,5đ
Để hệ (I) vô nghiệm thì phương trình (2) vô nghiệm thì:
a + 2 = 0 và 4 – a = 0
4
2
a
a
Vậy a = 2; a = 4 là các giá trị cần tìm
0,5đ
0,5đ
N
I H
A
B
C
O E
F
K
Hình vẽ 0,5đ
Ta có: AE và AF là hai tia phân giác của 2 góc kề bù đỉnh A nên
AE AF EAF = 1v
=> EAF là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
Hay EF là đường kính đường tròn (O) - đpcm
0,5đ 0,5đ 0,5đ
Xét AKF và KIF có KAF = IKF (Chắn 2 cung bằng nhau: KF = FH) 0,5đ
Mà AF = AH + HF = AH + FK
và AKF =
2
1
sđ AF; KIF =
2
1
Trang 4 0,5đ
Xét ABM và ACM có: S ABM = S ACM mà S NCM = SNBM
Nên: SANC = SANB NH.AC = NK.AB (1) 0,5đ
A
D
E F
O
Đặt chu vi tam giác ABC là 2p; bán kính của đường tròn nội tiếp là r
Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của (O) trên các cạnh BC, CA, AB
Theo tính chất của tiếp tuyến thì: OD BC; OE AC; OF AB
Ta có: SABC = SBOC + S COA + SAOB = 1
2OD(BC + CA + AB)
SABC = 1
2.r.2p = r.p
Vì r = 2 nên SABC = 2p
Vậy tam giác ABC có diện tích bằng chu vi (về số đo)
0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ
Từ (1) => x = 5 – 2y, thế vào (2) ta được: (5 – 2y)2 + 2y2 - 2(5 – 2y)y = 5
Biến đổi ta được: y2 – 3y + 2 = 0
0,5đ 0,5đ
Trang 5Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm
=> (y – 1)(y – 2) = 0 => y = 1; y = 2
* Nếu y = 1 => x = 5 – 2 = 3;
* Nếu y = 2 => x = 5 – 2.2 = 1
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (x = 1; y = 2); (x = 3; y = 1)
0,5đ 0,5đ 0,5đ
Ta có: 1 12 12 (2.3)2 322 22 7 2.3 1
1 12 12 (3.4)2 422 32 1213 3.4 112
Tương tự:
2006 2005
1 2006 2005 )
2006 2005 (
2006 2005
) 2006 2005 ( 2006
1 2005
1
2 2
2 2
2
0,5
2006 2005
1 2006 2005
12
13 6
S
= 1 1 1 1 1 1
= 1 ( 12 13) 1 ( 13 14) 1 ( 20051 20061 )
0,5
2006
1 2005
1
4
1 3
1 3
1 2
1
= 2004 1 1 2004 501
0,5
Chú ý: Nếu học sinh giải bằng cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng.