BAT DANG THUC CUC TRI

Đó có thể là do các bạn áp dụng nhiều bất đẳng thức khác nhau và làm cho dấu “=” không xảy ra, hoặc cũng có thể là dấu “=” trong bất đẳng thức của các bạn lại không xảy ra với giả thiết [r]

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi THCS và THPT

I

Một số bất đẳng thức cơ bản

1 Bất đẳng thức AM - GM (Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân)

 Nội dung bất đẳng thức:

Cho n số thực không âm a1, a2, a3, … an , n,n2 Ta có bất đẳng thức sau:

a

a n

i

i i

a

a n

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1a2   a n

 Bất đẳng thức trên là dạng tổng quát với n số thực dơng, khi cho n nhận các giá trị đặc biệt, ta

nhận đợc những bất đẳng thức rất quen thuộc sau đây:

b a  (ab 0) (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 1 hay a = b)

Ta cũng chứng minh đợc bất đẳng thức tổng quát hơn:

12

a a

, a

Nh vậy, khi a > 0 ta có

12

a a

còn khi a < 0 ta có

12

a a

VÝ dô 1 Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x 2 + y 2 = 1 Chøng tá r»ng:  2 x y 2.

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c –

VÝ dô 4 Cho a, b lµ hai sè d¬ng cho tríc vµ x, y lµ c¸c biÕn d¬ng tháa m·n ®iÒu kiÖn

Ví dụ 5 Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau đây:







 , điều này làm ta nghĩ đến bất đẳng thức AM – GM.

áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số không âm x và (2 – x) ta đợc:

41

32

 ? Bạn đọc hãy quan sát lại đề bài và hãy thử áp

dụng trực tiếp bất đẳng thức AM – GM mà bỏ qua cần bớc phân tích kia!

2

x

x x

8

x

x x

2 2 4

11

2

x x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Bất đẳng thức (2) đúng, theo hệ quả (3) của bất đẳng thức AM – GM

Ngoài ra còn nhiều cách chứng minh bất đẳng thức Nesbitt mà không cần dùng bất đẳng thức

AM – GM Ví dụ: Biến đổi tơng đơng:

Và còn rất nhiều các cách chứng minh khác nữa –

Ví dụ 8 (Đề thi TS lớp 10 trờng ĐHSP Hải Phòng năm học 2003 – 2004)

Cho 3 số dơng x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

Với giá trị x thuộc tập xác định, ta có:

Ví dụ 10 (Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Yên Bái năm học 2011 – 2012)

Cho x, y, z là ba số dơng thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh rằng:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 –

Ví dụ 11 Cho a, b là các số dơng thỏa mãn

21

ab 

b) (Đề thi Violympic cấp quốc gia dành cho lớp 9 năm học 2011 – 2012)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a2b 3

Giải Từ giả thiết ta có:

21

2

a b

b a b

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi

11

12

31

2

a b

a b b

b b a b

20132

Vế trái của bất đẳng thức có thể viết lại nh sau:

Ví dụ 16 Cho tam giác ABC Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, p là nửa chu vi và S là

diện tích tam giác Chứng minh:

Bất đẳng thức (*) đúng theo hệ quả (2) của bất đẳng thức AM – GM

Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức (**) là đúng Thật vậy, theo bất đẳng thức tam giác thì:

2

a a a a b c  ab ca

Lập thêm hai bất đẳng thức tơng tự rồi cộng lại ta có đợc bất đẳng

thức (1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều.

b) Từ hệ quả (3) của bất đẳng thức AM – GM ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều.

Chú ý: Dựa vào bất đẳng thức (2) ta có thể chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều.

Chú ý: Bất đẳng thức (3) chính là bất đẳng thức sau: abc8 p a p b p c       

d) Ta có

3(i)2(4)

Bất đẳng thức (i) chính là bất đẳng thức Nesbitt cho ba số dơng

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều.

Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (ii) Trớc hết, ta có bất đẳng thức phụ sau:

“Với mọi số dơng m, nếu có 0 < a < b thì có

(đúng, theo kết quả câu c)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều –

Ví dụ 17 (Đề thi TS lớp 10 chuyên trờng Đại học Vinh năm học 2009 – 2010 vòng 2)

Cho các số thực dơng x, y, z thỏa mãn x + 2y + 3z = 18 Chứng minh rằng:

Ví dụ 18 (Đề thi TS lớp 10 chuyên trờng Lê Hồng Phong, TP HCM năm học 2000 – 2001)

Cho x y , 0 và x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

x y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x y A

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y

Lời giải quả thật ngắn gọn đến khó tin phải không các bạn Nhng thực chất đây là một lời giải sai!

Các bạn không tin ? Nào, các bạn cùng để ý nhé, khi thay x = y vào

11

x y

với x > 0 Rõ ràng không có số dơng x nào thỏa mãn bất phơng trình này! Nghĩa là cách

giải ban đầu của chúng ta là không thể chấp nhận đợc! Ta giải lại nh sau:

Từ giả thiết suy ra

216

x y

x x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2 –

Ví dụ 21 (Đề thi đại học khối D năm 2008)

Cho x y , 0 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

VËy , 0

1min

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z = 2 –

VÝ dô 23 Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c tháa m·n

Xây dựng thêm (n – 1) bất đẳng thức tơng tự rồi nhân vế với vế n bất đẳng thức ta có đợc bất đẳng

thức cần chứng minh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2

1

Kĩ thuật Cauchy ngợc dấu

Kĩ thuật Cauchy ngợc dấu là một phơng pháp chứng minh bất đẳng thức khá mới mẻ và độc

đáo Cơ sở của kĩ thuật này là: “Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số âm, ta đợc mộtbất đẳng thức mới ngợc chiều với bất đẳng thức đã cho”

Bây giờ chúng ta sẽ xét các ví dụ cụ thể sau:

Ví dụ 21 (Đề thi TS lớp 10 chuyên trờng Phan Bội Châu, Nghệ An năm học 2007 – 2008)

2/ Hoàn toàn tơng tự ta có thể giải bài toán sau:

Ví dụ 22 Chứng minh rằng với mọi số dơng a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a + b+ c + d = 4 ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1 –

Ví dụ 23 Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d dơng có tổng bằng 4 thì:

Thực hiện tơng tự với b, c và d rồi cộng vế các bất đẳng thức lại ta có đpcm

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1 –

Ví dụ 24 Chứng minh rằng với mọi số dơng a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 4 ta có:

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi “ ” a = b = c = d = 1 –

Ví dụ 25 Chứng minh với mọi số dơng a, b, c có tổng bằng 3 thì 2 2 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 –

Ví dụ 26 Cho a b c d , , , 0 Chứng minh:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d –

2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz là bất đẳng thức do ba nhà toán học nổi tiếng: Cauchy(ngời Pháp), Bunyakovksy (ngời Nga), Schwarz (ngời Đức) phát minh ra, nên nó còn có các tên gọikhác sau đây: bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Cauchy – Bunyakovsky – Schwarz (viết tắt làbất đẳng thức CBS) hay bất đẳng thức Schwarz Tuy nhiên ngời Việt Nam hay gọi là bất đẳng thứcBunhiacopxki Đây là cách gọi không đúng và có sự nhầm lẫn

Mặc dù có những tên gọi khác nhau, nhng nội dung của bất đẳng thức nh sau:

 Nội dung của bất đẳng thức: Cho hai bộ n số thực

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a a1, , ,2 a n

Yêu cầu: Chứng minh các bất đẳng thức hệ quả trên, coi nh bài tập.

Ví dụ 27 Chứng minh bất đẳng thức Nesbitt cho 3 số dơng.

Giải Sử dụng hệ quả (2) (bất đẳng thức Schwarz) ta có:

VÝ dô 29 a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè sau f x  x 2 4 x

Sö dông hÖ qu¶ (1), ta cã ngay: f x   3 6

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x  5.

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi

2 2

316

.3

ab ab

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3

Chứng minh: Chứng minh tơng tự nh trên hoặc ta cũng có thể chứng minh bằng hệ quả (1) nh trên

hoặc theo cách sau đây:

2 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c  –

Chú ý: Bạn đọc có thể giải bài toán trên bằng phơng pháp đổi biến:

–

Ví dụ 39 Giả sử a, b, c là các số thực dơng, chứng minh rằng:

94

b c c a a b      (2)

KÕt hîp (1) vµ (2) ta cã ®pcm DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c –

VÝ dô 40 (Iran Mathematical Olympiad 1998 – Iran MO 1998)

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z = 1 –

VÝ dô 42 (International Mathematical Olympiad Shortlist 1993 – IMO Shortlist 1993)

Chøng minh r»ng víi mäi sè d¬ng a, b, c, d:

4

23

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = d –

VÝ dô 43 Chøng minh r»ng nÕu a22b29c2 3 th× a2b9c6.

Giải Ta thấy: 1 1.1, 2 = 2 2, 9 = 3.3 Từ đó ta suy ra cách làm nh sau:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c  –

Ví dụ 44 Chứng minh rằng nếu 4x 3y15 thì x2y2 3

2 2

sin cos  1, và nếu đặt sin2a, cos2 b

thì bài toán của chúng ta sẽ trở

thành bài toán ở Ví dụ 36 với k ở đây có giá trị bằng 1.

Vậy biểu thức đã cho đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Bất đẳng thức trên là đúng theo hệ quả (2) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz nên (1) cũng đúng.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 –

Chúng ta đã đợc học hai bất đẳng thức cổ điễn, đó là bất đẳng thức AM – GM và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz còn có dạng mở rộng hơn nữa – bất đẳng thức Holder Nội dung của bất đẳng thức này nh sau:

Ngoài ba bất đẳng thức cổ điển trên, ta còn có các bất đẳng thức rất quan trọng sau và là bất

đẳng thức xuất phát của nhiều bất đẳng thức khác:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b = 0 hoặc a = b.

Bây giờ, ta sẽ xét đến các ứng dụng của chúng, không những trong việc chứng minh bất

đẳng thức mà còn dùng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của bài toán đại số cũng nh bài toán

hình học, ứng dụng trong việc giải phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình, hệ bất

b) (Canada Mathematical Olympiad 2002 – Canada MO 2002)

Chứng minh rằng với mọi x y z , , 0, ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Cách 2: Sử dụng hệ quả (2) bất đẳng thức AM – GM:

Lập thêm hai bất đẳng thức tơng tự rồi cộng lại, ta có

bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z Cách 2: Đa bất đẳng thức đã cho về dạng: x4 y4 z4 xyz x y z   

Ví dụ 55 a) Cho a b , 0 Chứng minh: 1a 1b  1 ab2

n

n a a a a

Ví dụ 56 (IMO – Poland đề nghị)

Chứng minh rằng nếu các số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện x2y2z2 2 thì

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi trong ba số x y z, , có hai số bằng 1 và một số bằng 0 –

Ví dụ 57 Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 x x  1    0 1 x 2

c) Bất đẳng thức tổng quát của bất đẳng thức a b  a b, a b,  

là bất đẳng thức sau đây:

1 2 k k 1 1 2 k k 1

a  a   a  a  a a  a  a 

.Mặt khác, ta lại có a1  a2 a1a2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c  1 –

Ví dụ 59 Cho x y z, , là ba số thực thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Vì xyz 1 nên nếu đặt

Giải Cách 1: (Xem Ví dụ 23.)

Cách 2: Theo hệ quả (2) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:

2 Những ứng dụng của bất đẳng thức trong cực trị hình học

Cùng với những bất đẳng thức cơ bản trên, để làm đợc những bài toán cực trị về hình học, ta cầnnắm vững thêm một số bất đẳng thức sau:

(1) Với ba điểm A, B, C bất kì ta có: AB BC ACAB BC

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, B, C.

(2) Cho đờng thẳng d, một điểm A không thuộc đờng thẳng d và điểm B nằm trên đờng thẳng d.

Từ A kẻ AH d tại H Ta có: AB AH .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B H .

Một điểm C khác B cũng nằm trên d Ta có: AB AC  BH CH .

(3) Xét tam giác ABC Ta có: góc B > góc C  ACAB.

(4) Trong một đờng tròn, dây lớn nhất là bán kính

Ví dụ 62 Chứng minh:

a) Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

b) Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

Giải Gọi chu vi hình chữ nhật là P và diện tích hình chữ nhật là S.

b) Khi P = const thì S đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 P  a b  P –

Ví dụ 63 (Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Yên Bái năm học 2007 – 2008)

Cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c Chứng minh

, khi đó tính giá trị của c theo a và b.

Giải Theo định lí Pythagoras ta có: c2 a2b2.

Theo hệ quả (1) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:

Ví dụ 64 Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C lần lợt là   , , Chứng minh:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AB = BC = CA  tam giác ABC đều –

Ví dụ 65 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 thành phố Hà Nội năm học 2009 – 2010)

Cho đờng tròn (O ; R) và điểm A nằm bên ngoài đờng tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với

đờng tròn (B, C là các tiếp điểm).

1. Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

2. Gọi E là giao điểm của BC và OA Chứng minh BE vuông góc vói AO và OE.OA = R2.

3. Trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O ; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C) Tiếp tuyến tại K của đờng tròn (O ; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại điểm P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.

4. Đờng thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đờng thẳng AB, AC theo thứ tự tại các

điểm M, N Chứng minh PM QN MN .

Giải.

1 Tứ giác ABOC có hai góc đối đều bằng 900 nên là tứ giác nội tiếp

2 Sử dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông OAC.

3 Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau thì: PK = PB, QK = QC.

Từ đó suy ra AP + AQ + PQ = AP + AQ + PK + QK = AP + AQ + PB + QC = 2AB = const.

4 Sử dụng tính chất của tam giác cân, tứ giác nội tiếp và tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra hai

góc POQ và PMO bằng nhau, do đó góc OPM bằng góc QON Dẫn tới QON~OPM Do đó:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi PM QN  K là điểm chính giữa cung BC –

Ví dụ 66 (Đề thi TS lớp 10 trờng Lê Hồng Phong, TP HCM năm học 2001 – 2002)

Cho đờng tròn cố định tâm O, bán kính bằng 1 Tam giác ABC thay đổi và luôn ngoại tiếp

đờng tròn (O) Một đờng thẳng đi qua tâm O cắt các đoạn AB, AC lần lợt tại M, N Xác

định giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN.

Giải Gọi H, K lần lợt là các tiếp điểm của (O) với AB và AC.

 tam giác ABC vuông tại A.

Vậy giá trị nhỏ nhất của tam giác AMN bằng 2

khi và chỉ khi tam giác ABC vuông tại A – B

Ví dụ 67 Một tấm nhôm hình vuông có cạnh bằng 30 cm Ngời ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông

bằng nhau rồi gấp tấm nhôm lại (theo đờng nét đứt) để đợc một cái hộp không nắp Tính cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp là lớp nhất.

Giải Gọi độ dài cạnh hình vuông bị cắt là a (cm) (0 < a < 15)

Kích thớc ba cạnh của hình hộp chữ nhật tạo thành là: a, 30 – 2a, 30 – 2a (cm)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2x15 x x5 (cm).

Vậy thể tích lớn nhất của khối hộp là 2000 cm3 khi cạnh của hình vuông bị cắt bằng 5 cm –

3 Những ứng dụng của bất đẳng thức trong giải phơng trình, hệ phơng trình, bất phơngtrình và hệ bất phơng trình

 Điểm rơi của bất đẳng thức không “ngặt” là điểm mà ở đó giá trị của các biến làm cho đẳng thứcxảy ra Ví dụ: Điểm rơi của bất đẳng thức a2 1 2a là a 1.

 Các bất đẳng thức mà trong đó vai trò của các biến là nh nhau (bất đẳng thức đối xứng với cácbiến) thì đẳng thức thờng xảy ra khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên Ví dụ đẳng thức trong

2 2 2

a b c ab bc ca  xảy ra khi a = b = c.

 Đôi khi, để giải phơng trình (hoặc hệ phơng trình, bất phơng trình, hệ bất phơng trình) ta thờng

sử dụng những kiến thức về bất đẳng thức để chỉ ra các nghiệm của phơng trình (chính là điểmrơi của bất đẳng thức không “ngặt”) hoặc chứng minh phơng trình đó vô nghiệm

Giải Theo bất đẳng thức AM – GM:

a b   a b

.Vậy phơng trình có hai nghiệm a b  ;   2; 3 2 , 2;  32

Điều này trái với bất đẳng thức AM – GM Bất phơng trình vô nghiệm –

Ví dụ 70 (Đề thi TS lớp 10 trờng Chuyên Trần Đại Nghĩa năm học 2004 – 2005)

(vì x  320

)

Do đó 7 x x 1 x2 6x13 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x   3  1;7

Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3 –

Ví dụ 72 (Đề thi TS lớp 10 tỉnh Yên Bái năm học 2012 – 2013)

Tính giá trị của biểu thức T x2y2z2 7 biết