Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ nhất ở cách A bao nhiêu km nếu vận tốc của nó lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 20km/h... Vậy tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số chính phương...[r]
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6
Năm học 2012 - 2013 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề này gồm có 04 câu, 01 trang)
Câu I: (6,0 điểm).
Tìm x biết:
a)
x
b) 3x 1 17 12
c) x =
d)
Câu II: (8,0 điểm).
1 Cho S = 21 + 22 + 23 + + 2100
a) Chứng minh rằng S 15
b) Tìm chữ số tận cùng của S
c) Tính tổng S
2 Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là một số chính phương không? Tại sao?
3 Chứng minh rằng:
a)
1
b)
51 52. .100
1 3 5 99
Câu III: (3,0 điểm).
Một ô tô đi từ A lúc 8h Đến 9h một ô tô khác cùng đi từ A Xe thứ nhất đến B lúc 2h chiều Xe thứ hai đến xớm hơn xe thứ nhất nửa giờ Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ nhất ở cách
A bao nhiêu km nếu vận tốc của nó lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 20km/h
Câu IV: (3,0 điểm).
1 Cho A =
1 3 5. . 9999
So sánh A với 0,01
2 Chứng minh rằng: 1 2 3 n 7 10
, với n N
- Hết
Trang 2-Câu Đáp án Điểm
Câu I:
(6,0 điểm)
a) 1,5 điểm
x
x
x
x =
1 2 :
12 3
x =
1 3
12 2
x =
1 8
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ
b) (1,5 điểm)
3x 1 17 12 3x 1 = -12 + 17
3x 1 = 5 3x + 1 = 5 hoặc 3x + 1 = - 5 3x = 4 3x = - 6
x =
4
3 x = - 2
Vậy x =
4
3 ; x = - 2
0,25đ 0,5đ
0,5đ 0,25đ
c) (1,5 điểm)
x
=
.2 11 13
22 13 2
.2.11.13
13 11 2
=
=
0,5đ
0,5đ 0,5đ
d) (1,5 điểm)
Trang 3Vì
11 13 13 15 19 21
=
=
11 21231
Nên ta có 10 462 2,04 : x 1,05 : 0,12 19
20 - [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 19
[ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 20 - 19 [2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 1
2,04 : (x + 1,05) = 1 0,12
x + 1,05 = 2,04 : 0,12
x + 1,05 = 17
x = 17 - 1,05
x = 15,95
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
Câu II:
(8 điểm)
1 (3,0 điểm)
a) (1,25 điểm)
S = 21 + 22 + 23 + + 2100
Tổng trên gồm 100 số hạng được chia thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 4 số
hạng ta có:
S = (21 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + + (297 + 298 + 299 + 2100)
= 2 (1 + 2 + 22 + 23) + 25 (1 + 2 + 22 + 23) + + 297 (1 + 2 + 22 + 23)
= 2 15 + 25 15 + + 297 15
= 15 (2 + 25 + + 297) 15 (ĐPCM)
0,25đ
0,5đ 0,25đ 0,25đ
b) (0,75 điểm)
Vì S 15 S 5 (1)
Lại có tất cả các số hạng của S đều chia hết cho 2 nên S 2 (2)
Từ (1) và (2) S 10 hay S có chữ số tận cùng là 0
0,25đ 0,25đ 0,25đ
c) (1,0 điểm)
2S - S = 2 (21 + 22 + 23 + + 2100) - (21 + 22 + 23 + + 2100)
S = (22 + 23 + 24 + + 2101) - (21 + 22 + 23 + + 2100)
hay S = 2101 - 2
0,5đ 0,25đ 0,25đ
2 (2,0 điểm)
Gọi số tự nhiên lẻ thứ n kể từ số đầu tiên là x
Ta có: (x - 1) : 2 + 1 = n
(x - 1) : 2 = n - 1
x - 1 = (n - 1) 2
x - 1 = 2n - 2
x = 2n - 2 + 1
x = 2n - 1
Nên n số tự nhiên lẻ đầu tiên là 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ; 2n - 1
Ta có tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên là:
1 + 3 + 5 + + (2n - 1) = (2n - 1 + 1) n : 2 = 2n n : 2 = n2 là một số chính phương
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
Trang 4Vậy tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số chính phương 0,75đ
0,25đ
3 (3,0 điểm)
a) (1,5 điểm)
Ta có 1 -
2 3 4 199 200
= 1 +
=
=
=
0,5đ 0,5đ 0,5đ
b) (1,5 điểm)
Ta có: 1 3 5 99 =
1 3 5 99 2 4 6 100
(2 4 6 100)
=
1 2.3.4.5.6 99.100 1.2 2.2 2.3 2.50
=
50
1 2 3 99 100
1 2.3 50 2.2.2 2
thõa sè 2
51 52 53 99 100 2.2.2 2
thõa sè 2
=
51 52 53. . .100
0,5đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ
Câu III:
(3 điểm)
Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB là :14h - 8h = 6h
Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB là : (14h - 0,5h) - 9h = 4,5h
=
9 h 2
Một giờ xe thứ nhất đi được :
1
6 (quãng đường AB).
Một giờ xe thứ hai đi được :
2
9 (quãng đường AB).
Phân số chỉ 20km là :
2
9 -
1
6 =
1
18 (quãng đường AB)
Vậy quãng đường AB dài : 20 :
1
18 = 360 (km)
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,5đ 0,5đ
Trang 5Vận tốc xe thứ nhất là : 360
1
6 = 60 (km/h)
Khi hai xe cùng bắt đầu đi chúng cách nhau 60km (vì xe thứ nhất đi
trước xe thứ hai 1 giờ) Do đó, chúng gặp nhau (kể từ khi xe thứ hai đi)
sau: 60 : 20 = 3 (h)
Nơi gặp nhau cách A là: 60 + 60 2 = 240 km
0,25đ
0,5đ 0,25đ
Câu IV:
(3 điểm)
1 (1,5 điểm)
A =
1 3 5. . 9999
Đặt B =
2 4 6. . 10000
Vì
Nên A < B mà A > 0 ; B > 0
A2 < A B =
1 . 3 5 . 9999 . 2 4 6. . 10000
=
1 2 3 4 5 6. . . . 9999 . 10000
2
2
0,01
A2 < (0,01)2
Hay A < 0,01
0,5đ
0,25đ
0,5đ 0,25đ
2 (1,5 điểm)
Ta có: 1 + 2 + 3 + + n =
n n 1 2
Vì n N n (n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có
thể có các tận cùng là: 0; 2 ; 6
n n 1 2
không bao giờ có tận cùng là 7
1 2 3 n 7
không bao giờ có tận cùng là 0
1 2 3 n 7
10, với n N (ĐPCM)
0,5đ 0,5đ
0,25đ 0,25đ
* Lưu ý: - Mọi cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Tùy theo bài làm của học sinh, giám khảo có thể chia nhỏ biểu điểm.
Hết
Trang 6-Người ra hướng dẫn chấm Tổ trưởng chuyên môn Hiệu trưởng