ON THI VAO LOP 10 THPT

Chøng minh r»ng: a Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c Năm điểm B, C, I, O, H nằm trên một đờng tròn Bµi tËp 79 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng [r]

Trang 1

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

ôn thi thpt

theo chủ đề

Họ và tên : nguyễn văn đại

Đơn vị: trờng thcs nghĩa an

năm học: 2012 - 2013

Mục lục

Mục lục Error! Bookmark not defined.

Phần I: đại số Error! Bookmark not defined.

Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi căn thức 5

Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa .5

Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức .5

Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán .7

Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét 30

Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai .30

Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm .30

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc .31

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm .33

Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho trớc 33

Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số .34

Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số .34

Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc hai .34

Chủ đề 3: Hệ phơng trình Error! Bookmark not defined.

Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn: Error! Bookmark not defined.

Trang 2

Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản Error! Bookmark not defined.

Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ Error! Bookmark not defined.

Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc Error! Bookmark not defined.

Một số hệ bậc hai đơn giản: Error! Bookmark not defined.

Dạng 1: Hệ đối xứng loại I Error! Bookmark not defined.

Dạng 2: Hệ đối xứng loại II Error! Bookmark not defined.

Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số Error! Bookmark not defined.

Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị Error! Bookmark not defined.

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số 47

Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng 47

Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol 48

Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình 64

Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy) 64

Dạng 2: Toán làm chung – làn riêng (toán vòi n ớc) 64

Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm .65

Dạng 4: Toán có nội dung hình học .65

Dạng 5: Toán về tìm số .65

Chủ đề 6: Phơng trình quy về phơng trình bậc hai 36

Dạng 1: Phơng trình có ẩn số ở mẫu .36

Dạng 2: Phơng trình chứa căn thức .36

Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối .36

Dạng 4: Phơng trình trùng phơng .36

Dạng 5: Phơng trình bậc cao .36

Phần II: Hình học 84

Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình 84

Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn 84

Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đờng thẳng đồng quy 86

Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định 87

Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức hình học 88

Chủ đề 6: Các bài toán về tính số đo góc và số đo diện tích 88

Chủ đề 7: Toán quỹ tích 89

Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu về hình học không gian 89

Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

A Căn thức và biến đổi căn thức

A.1 Kiến thức cơ bản

A.1.1 Căn bậc hai

a Căn bậc hai số học

- Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a

- Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0

- Một cách tổng quát:

2

0

x





  





b So sánh các căn bậc hai số học

- Với hai số a và b không âm ta có: a b  a  b

A.1.2 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

2

A A

a Căn thức bậc hai

- Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi Alà căn thức bậc hai của A, A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay

biểu thức dới dấu căn

- A xác định (hay có nghĩa)  A  0

b Hằng đẳng thức

2

A A

- Với mọi A ta có

2

A A

- Nh vậy: + A2 A nếu A  0

+ A2 A nếu A < 0

A.1.3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng

Trang 3

c Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dơng ta có thể chia số a cho

số b rồi khai phơng kết quả đó

A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

a Đa thừa số ra ngoài dấu căn

- Với hai biểu thức A, B mà B  0, ta có

2

A B A B

, tức là+ Nếu A  0 và B  0 thì A B2 A B

+ Nếu A < 0 và B  0 thì A B2  A B

b Đa thừa số vào trong dấu căn

+ Nếu A  0 và B  0 thì A B  A B2

+ Nếu A < 0 và B  0 thì A B  A B2

c Khử mẫu của biểu thức lấy căn

- Với các biểu thức A, B mà A.B  0 và B  0, ta có

a Khái niệm căn bậc ba:

- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a

- Với mọi a thì (3a)3 3 a3 a

b Tính chất

- Với a < b thì 3 a 3b

- Với mọi a, b thì 3ab 3 a b.3

Trang 4

- Với mọi a và b 0thì

3 3 3

2

k k

k

A A

Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.

Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau).

Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức.

Bài 1: Đa một thừa số vào trong dấu căn.

a¿ 3

5√53; b¿ x√2x(với x>0); c¿ x√25; d¿ (x −5)√25− x x 2; e¿ x√x72

Bài 2: Thực hiện phép tính.

Trang 5

3+12x − 8 với x=√34 (√5+1)−√34 (√5 −1);¿c¿ C=x+y , biết (x +√x2+3)(y+√y2+3)=3;¿d¿ D=√16 −2x+x2

+√9 −2x +x2 , biết √16 −2x+x2−√9 −2x +x2=1.¿e¿ E=x√1+ y2

+y√1+x2 , biết xy+√(1+x2)(1+ y2

)=a ¿

Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.

Bài 1: Cho biểu thức P= x −3

a) Rút gọn A b) Biết a > 1, hãy so sánh A với |A|

c) Tìm a để A = 2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 3: Cho biểu thức C= 1

Trang 6

a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1

c) Tính các giá trị của A nếu a=2007 −2√2006

a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyen của x sao cho A có giá trị nguyên

Bài 15: Cho biểu thức A=(a√a −1

a −√a −

a√a+1 a+√a ): a+2

a −2

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức A nhận giá trị nguyên

Bài 16: Cho biểu thức: A=(x√x −1

x −√x −

x√x+1

x +√x ):2(x −2√x+1)

x −1

a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên

Bài 17: Cho biểu thức: A=( √x −11 +

1

√x +1)( √x −1 x −1 − 2) với x ≥ 0 ; x ≠ 1

a) rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên

Trang 7

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

Bµi 18: Cho biÓu thøc: A= x +2√x +1

Trang 8

 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: f1(x), f2(x), …,fn(x) là các biểu thức bất kì

b Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Khi đó ta có

f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

A.2.4 Biến đổi tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Khi đó ta có



 Nếu a < 0 thì

( )4



* Chú ý Nếu '

k A A

Trang 9

Bài 2 Cho biểu thức

:1

b Tính giá trị của P với x  7 4 3

c Tính giá trị lớn nhất của a để P > a

a Rút gọn P b Tính giá trị của P với x  11 6 5 c Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 4 Cho biểu thức :

c Tìm các giá trị củ m để có các giá trị của x thỏa mãn: M( x1)m x( 1) 2

Bài 5: Cho biểu thức:

Bài 10: Cho biểu thức: A2x x2 6x9.

a Rút gọn rồi tìm giá trị của A khi a = -5 b Tìm x khi A = 15

Bài 12: Cho biểu thức: A3x 1 4x2 9 12x .

a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị của x để A = 3

Trang 10

a Rút gọn rồi tìm giá trị của x để Q < 1 b Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên

a Rút gọn P b Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên

Bài 16: Cho biểu thức : A=( x+2

2 Chứng minh rằng A 0 với mọi x 1

3 Với giỏ trị nào của x thỡ A cú giỏ trị lớn nhất Tỡm GTNN đú ?

a Rút gọn A b Biết xy = 16 Tìm giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó

2

A x  x  x

a Rút gọn biểu thức A b Với giá trị nào của x thì A = -3

a Tìm điều kiện của x để B có nghĩa b Tĩm x để B > 0

a Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa b Rút gọn A

Bài 25: Cho biểu thức: A x2  6x 9 x26x9.

a Rút gọn A b Tìm các giá trị của x để A = 1

Trang 11

b b b





 Chứng minh rằng a/b = 9/10Bài 29 Xét biểu thức

:4

a Rút gọn P b Tìm các giá trị của x để P > 0, P < 0 c Tìm các giá trị của x để |P| = 1

Bài 30 Cho biểu thức A4x 9x212x4

a Rút gọn A b Tính giá trị của A khi x = 2/7

Bài 31 Cho biểu thức A5x x26x9

 Phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c  R (a2 + b2  0)

 Tập nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn:

Phơng trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm của nó đợc biểu diễn bởi ờng thẳng (d): ax + by = c

b Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

 Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn: ' ' '

Trang 12

 Minh họa tập nghiệm của hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có

 Trừ vế theo vế hai phơng trình trong hệ để đợc phơng trình hai ẩn

 Biến đổi phơng trình hai ẩn vừa tìm đợc thành phơng trình tích

 Giải phơng trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)

 Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phơng trình trong hệ để đợc phơng trình một ẩn

 Giải phơng trình một ẩn vừa tìm đợc ròi suy ra nghiệm của hệ

c Ví dụ

 Giải hệ phơng trình :

2 2

Trang 13

- Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phơng trình không

- Nếu x 0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phơng trình trong hệ

- Khử x rồi giải hệ tìm t

- Thay y = tx vào một trong hai phơng trình của hệ để đợc phơng trình một ẩn (ẩn x)

- Giải phơng trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx

* Lu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tơng tự

15 93

Trang 14

a Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình vô nghiệm

b Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ phơng trình

c Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất

Bài 2 Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình :

41

x y

m

 

 Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y.

Bài 3 Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phơng trình :

b Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 3x - 7y = - 8 không ?

c Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 4,5x + 7,5y = 25 không ?

Bài 5 Cho hai đờng thẳng (d1): 2x - 3y = 8 và (d2): 7x - 5y = -5

Tìm các giá trị của a để đờng thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và (d2)

Bài 6 Cho ba đờng thẳng: (d1): y = 2x - 5 (d2): y = 1 (d3): y = (2m - 3)x -1

Tìm các giá trị của m để ba đờng thẳng đồng quy

Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0

Bài 8 Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(-5; -3) và điểm B(3; 1)

Bài 9 Tìm các giá trị của m để

Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn nhất

Bài 12 Hãy tìm giá trị của m và n sao cho đa thức

P(x) = mx3 + (m + 1)x2 - (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x - 1) và (x + 2)

Trang 15

a Giải và biện luận hệ phơng trình

b trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0

Bài 15 Tìm a và b để hệ phơng trình sau có nghiệmcó nghiệm với mọi giá trị của tham số m

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + 2(x + y)

Bài 18 Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phơng trình:

a Giải và biện luận theo tham số m

b Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên

a Giải và biện luận theo m

b Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dơng

b Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm: x = 1, y = 1

Bài 25 Giải và biện luận hệ phơng trình sau đây theo tham số m:

Trang 16

c Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên

a Giải và biện luận hệ đã cho

b Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức:

2 2

b Xác định m để M thuộc góc vuông phần t thứ nhất

c Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 5.

Bài 31 Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phơng trình:

a Giải và biện luận theo m

b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên

c Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một đờng thẳng cố

b Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số

Bài 35 Cho hệ phơng trình (m là tham số ):

1

Bài 36 Với giá trị nào của x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 - 4x - 6y - 8z +3 = 0

Bài 37 Với giá trị nào của m, hệ phơng trình:

Trang 17

 Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm đó.

Bài 41 Cho x, y là hai số nguyên dơng sao cho:

71880

a Giải và biện luận hệ phơng trình trên

b Không giải hệ phơng trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất?

b Giải và biện luận hệ phơng trình

c Tìm giá trị nguyên của a để hệ phơng trình có nghiệm nguyên

d Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất

Bài 44 Lập phơng trình đờng thẳng đi qua gốc O và song song với AB biết:

A(-1; 1), B(-1; 3)

A(1; 2), B(3; 2)

A(1; 5), B(4; 3)

Bài 45 Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1) Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD

Bài 46 Cho bốn điểm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng.Bài 47 Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2) Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì?

Bài 48 Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm:

b Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên

c Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm dơng duy nhất

b Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện xy nhỏ nhất

Bài 52 Tìm giá trị của a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

2 2 2 14

Trang 18

a Tìm các giá trị nguyên của tham số a hoặc m để hệ phơng trình có nghiệm là số dơng, số âm.

b Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất

2 Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình sau vô nghiệm

Trang 19

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10b) Tìm m , n để hệ đã cho có nghiệm {x=−√3

y=√3+1

Câu 7 : ( 3 điểm ) Cho hệ phơng trình : {2 x − my=m2

x+ y=2

a) Giải hệ khi m = 1 b) Giải và biện luận hệ phơng trình

Câu 8 ( 3 điểm ) Cho hệ phơng trình

b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là ( x , y) Tìm các giá trị của a để x + y = 2

Cõu 10 Cho hệ phương trỡnh  

Cõu 1 1 Giải hệ phương trỡnh sau:

1 Giải hệ khi a=1

2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hệ luôn có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x+y≥ 2

1 Giải hệ với n=1 2 Với giá trị nào của n thì hệ vô nghiệm

câu 14 (2 điểm) Cho hệ phơng trình:

Trang 20

bài 1 5 : (2 điểm) Cho hệ phơng trình:

1 Chứng tỏ phơng trình có nghiệm với mọi giá trị của m

2 Gọi (x0;y0) là nghiệm của phơng trình, xhứng minh với mọi giá trị của m luôn có: x0+y0 =1

bài 1 6 (2 điểm): Cho hệ phơng trình:

2 Tìm số nguyên a lớn nhất để hệ phơng trình có nghiệm (x0,y0) thoả mãn bất đẳng thức x0y0 < 0

bài 17 .(2 điểm) Cho hệ phơng trình: 

y x

trong đó x, y là ẩn, a là số cho trớc

1 Giải hệ phơng trình đã cho với a=2003

2 Tìm giá trị của a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm câu 1

16)4(2

y x n

y n x

1 Giải hệ phơng trình

2 Tìm n để hệ phơng trình có một nghiệm sao cho x+y>1

Câu 19 ( 2 điểm ) Cho hệ phơng trình : {−2 mx+ y =5 mx+3 y=1

'

b x

Trang 21

- Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là 1 2

Có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó

Bài 4 Chứng minh rằng phơng trình sau luôn có nghiệm với mọi a, b, c

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình trên có nghiệm

Bài 7 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm nếu một trong hai điều

kiện sau đợc thỏa mãn

a a(a + 2b + c) < 0

b 5a + 3b + 2c = 0

Bài 8 Tìm các giá trị của k để phơng trình: kx2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0 có nghiệm là số hữu tỉ

Bài 9 Cho phơng trình: 2x2 - 3x + 1 = 0 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình Không giải phơng trình hãy tìm

giá trị các biểu thức sau:

a Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của m để biểu thức

2 2

1 2 6 1 2

A x x  x x

đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 11 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: 3x2 + 5x - 6 = 0 Không giải phơng trình hãy lập phơng trình bậc

Bài 15 Cho phơng trình bậc hai: mx2 - (5m - 2)x + 6m - 5 = 0

a Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số đối nhau

b Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau

Bài 16 Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0

Trang 22

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn

Bài 18 Cho phơng trình: x2 - mx + m - 1 = 0

b Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x2 + 2x + a = 0 (1) và (1 + a)(x2 + 2x + a) - 2(a - 1)(x2 + 1) = 0 (2)

Chứng minh rằng nếu phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) vô nghiệm

Bài 24 Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + m - 1 = 0

a Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b Chứng minh rằng biểu thức: A = x1(1 - x1) + x2(1 - x2) tron đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào m

Bài 25 Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 4 = 0

b Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có tích bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phơng trình

c Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức:

1 2

2 1

502

x  x  

Bài 26 Tìm các giá trị của m và n để hai phơng trình sau tơng đơng

x2 + (4m + 3n)x - 9 = 0; x2 + (3m + 4n)x + 3n = 0

Bài 27 Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x1, x2

a Chứng minh rằng phơng trình cx2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt

b Chứng minh rằng S = x1 + x2 + x3 + x4  4

Bài 28 Cho phơng trình: x2 - (2m + 1)x + m2 + m = 0

a Biết rằng phơng trình có một nghiệm x1 = 2,tìm m rồi tìm nghiệm còn lại

b Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phơng trình thỏa mãn bất đẳng thức : -2 < x1 < x2 < 4

Bài 29 Tìm a sao cho nghiệm của phơng trình : x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + 1 = 0

Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Bài 30 Cho a, b, c là ba số dơng khác nhau có tổng bằng 12 Chứng minh rằng trong ba phơng trình sau:

Trang 23

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10Bài 32 Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phơng trình bậc hai:

(m - 2)x2 - 2(m - 1)x + m = 0 Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền là

25

Bài 33 Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình: mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0

thỏa mãn điều kiện:

2 2

1 2 1

x x 

:Bài 34 Cho phơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số)

1 Tìm m để phơng trình có nghiệm

2 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn

3 Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn x1 + 4x2 = 3

4 Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài 37 Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi a và b: (a + 1)x2 - 2(a + b)x + (b - 1) = 0

Bài 38 Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi m: x2 - (3m2 - 5m + 1)x - (m2 - 4m + 5) = 0

Bài 39 Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau có nghiệm:

Bài 41 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm x ≥ 0: (m + 1)x2 - 2x + (m - 1) = 0

Bài 42 Xác định m để phơng trình: (m + 1)x2 - 2(m + 2)x + 2(m + 1) = 0 có hai nghiệm cùng âm, cùng dơng, và trái dấu nhau

Bài 43 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: x3 - m(x + 1) + 1 = 0

Bài 44 Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi a, b và c:

Bài 47 Cho phơng trình bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực α mà af(α) ≤ 0 thì phơng trình có nghiệm

Bài 48 Cho biết các phơng trình ax2 + bx +2 c = 0 và ax2 + bx - c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm Vận dụng bài 22 để chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm

Bài 50 Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình sau có nghiệm:

Bài 56 Cho các số a, b, c khác nhau đôi một, c ≠ 0 Biết rằng các phơng trình

x2 + ax + bc = 0(1) và x2 + bx + ca = 0 (2) có ít nhất một nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó

Bài 57 Cho các phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2)

1 Biết phơng trình (1) có nghiệm dơng m,

2 Chứng minh rằng phơng trình (2) có nghiệm n sao cho m + n ≥ 2

Trang 24

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10Bài 58 Cho các phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2).

Tìm liên hệ giữa các số a, b, c biết rằng các nghiệm x1, x2 của phơng trình (1), các nghiệm x3, x4 của phơng trình (2) thỏa mãn đẳng thức:

2 2 2 2

1 2 3 4 4

x x x x 

.Bài 59 Phơng trình x2 + bx + c = 0 có nghiệm x1, x2 Phơng trình x2 - b2x + bc = 0 có nghiệm x3, x4

Bài 63 Tìm m để phơng trình 3x2 - 4x + 2(m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2

Bài 64 Tìm m để phơng trình (m - 1)x2 - (m - 5)x + (m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1

Bài 65 Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phơng trình x2 + x + m = 0 đều lớn hơn m?

Bài 66 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ba nghiệm phân biệt:

x3 - (m + 1)x2 + (m2 + m - 3)x - m2 + 3 = 0

Bài 67 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm: (m - 3)x4 - 2mx2 + 6m = 0

Bài 68 Tìm giá trị của m để phơng trình: mx4 - 10mx2 + m + 8 = 0

1 Có bốn nghiệm phân biệt

2 Có bốn nghiệm x1, x2, x3, x4 (x1< x2< x3< x4) thỏa mãn điều kiện:x4 - x3 = x3 - x2 = x2 - x1

Bài 76 Cho phơng trình ẩn x: x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0

1 Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm số với mọi m

2 Tìm m sao cho nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn điều kiện:

2 2

1 2 10

x x 

.Bài 78 Cho phơng trình: (m - 1)x2 + 2(m -1)x - m = 0

a Định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này

b Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

Bài 79 Cho phơng trình: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0

a Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi

b Định m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 < x1 < x2 < 6

Bài 80 Cho hai phơng trình: x2 + x + a = 0 (1) x2 + ax + 1 = 0 (2)

Tìm các giá trị của a để hai phơng trình:

1 Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m

2 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và khi đó hãy tìm giá trị của

m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia

2 2

1 2

59

x  x 

.Bài 90 Cho phơng trình: x2 - 2(m + 4)x + m2 - 8 = 0 Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

Trang 25

Bài 96 Cho hai phơng trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) x2 + 2x + m = 0 (2)

a Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung

Với giá trị nào của m, phơng trình (1) và phơng trình (2) có nghiệm chung

Bài 106 Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình: 3x2 - cx + 2c -1 = 0 Tính theo c giá trị của biểu thức:

Bài 107 Xác định a để 2 phơng trình: x2 + ax + 8 = 0 và x2 + x + a = 0 có nghiệm chung

Bài 108 Cho phơng trình: 2x2 + 6x + m = 0 Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1,

Bài 109 Cho biết x1, x2 là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a0; , ,a b c R

) Hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là:

2 2

1 2

1 1,

1 Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m

2 Đặt x = t + 2 Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.Bài 112 Cho phơng trình: x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 6

1 Định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm

2 Định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

3 3

1 2 50

x  x 

Trang 26

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10Bài 114 Cho phơng trình: x2 - 6x + m = 0 Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

1 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m

2 Với giá trị nào của tham số m, biểu thức:

2 2

1 2

Ex x

đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 117 Cho hai phơng trình: x2 + a1x + b1 = 0 và x2 + a2x + b2 = 0

Cho biết a1a2 ≥ 2(b1 + b2) Chứng minh ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm

1 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m

2 Với giá trị nào của tham số m, biểu thức:

3 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2 < 1

4 Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ thức giữa x1, x2 không có m.Bài 124 Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0

1 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m

2 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau

Bài 125 Cho phơng trình: x2 + ax + b = 0 Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:

2 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

3 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm mà một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại Tìm các nghiệm đó.Bài 131 Cho phơng trình: x2 + ax + b = 0 Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm là a và b

b Xác định m để phơng trình có một nghiệm x = 4 Tính nghiệm còn lại

Bài 141 Cho phơng trình: x2 - mx + m -1 = 0 Có 2 nghiệm x1, x2 Với giá trị nào của m, biểu thức:

đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó

Bài 142 Cho a là số thực khác -1 Hãy lập một phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn các hệ thức:

Trang 27

Bài 145 Cho phơng trình: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0

a Với giá trị nào của a, phơng trình có nghiệm kép Tính các nghiệm kép

b Xác định a để phơng trình có hai nghiêm phân biệt lớn hơn -1

Bài 146 Cho phơng trình: x2 - ax + a + 1 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2

a Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của biểu thức:

a Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m

b Chứng minh rằng có một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 148 Cho phơng trình: ax2 + (ab + 1)x + b = 0

a Chứng minh rằng với mọi a, b phơng trình đã cho đều có nghiệm

b Muốn cho phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng 1/2 thì a và b phải bằng bao nhiêu?

Bài 149 Cho phơng trình: x2 - 2mx - 2m - 1 = 0

a Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m

b Tìm biểu thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

c Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

1 2

2 1

52

x  x  .

Bài 150 Cho phơng trình: (m - 1)x2 - 2(m + 1)x + m = 0

a Giải và biện luận phơng trình theo m

b Khi phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2:

 Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m

 Tìm m sao cho: x1 x2 2

.Bài 151 Cho phơng trình : x2 - 2x - (m -1)(m - 3) = 0

b Xác định m để phơng trình có hai nghiệm không âm

c Gọi x1, x2 là hai nghiệm Xác định m để biểu thức: E(x11)x2

đạt giá trị lớn nhất

Bài 152 Cho phơng trình: x2 + 2(m + 2)x - 4m - 12 = 0

a Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

2

1 2

x x

.Bài 153 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình: x2 - 3x + a = 0

Gọi t1, t2 là hai nghiệm của phơng trình: t2 - 12t + b = 0

7) ( √3 + 1)x2 + 2 √3 x + √3 - 1 = 0 ; 8) x2 – 11x + 30 = 0 ;

Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm.

Bài 1: Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm.

Trang 28

Các dạng toán ôn thi vào lớp 101) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ;

x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1)

x2 - 2bx + 4a2 = 0 (2)

x2 - 4ax + b2 = 0 (3)

x2 + 4bx + a2 = 0 (4)Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất 2 phơng trình có nghiệm

Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phơng trình đã cho có hai nghiệm

b) Chứng minh rằng phơng trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau đợcthoả mãn: a(a + 2b + 4c) < 0 ; 5a + 3b + 2c = 0

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho ớc.

tr-Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 – 3x – 7 = 0.Tính:

Trang 29

A=2x13−3x12x2+2x23−3x1x22; B= x1

1

+x2+2

x2

Bài 6: Cho phơng trình 2x2 – 4x – 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 Không giải phơng trình hãy thiết lập phơng trình

ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1

Bài 7: Cho phơng trình 2x2 – 3x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2

- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm

- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó

b) Cho phơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0 Xác định m để phơng trình có ít

nhất một nghiệm

Trang 30

Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho trớc Bài 1: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0

1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4 Tính nghiệm còn lại

3) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)

4) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dơng (cùng âm)

5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2

7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x1 + 2x2 – x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất

Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:

x12+x22+2(1+x1x2) đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó.

c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2

mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0

Bài 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

CMR điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là 9ac = 2b2

Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hainghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là : kb2 = (k + 1)2.ac

Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số.

a Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m

b Đặt x = t + 2 Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2

Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0

a) Với giá trị nào của tham số a, phơng trình có nghiệm kép Tính các nghiệm kép

b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1

Bài 4: Cho phơng trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0

a) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1

b) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2

Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 – mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - 2 ≤ x2

Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số.

Bài 1:

a) Cho phơng trình: x2 – mx + 2m – 3 = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào tham số m

b) Cho phơng trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0 Khi phơng trình có nghiệm, hãy tìm một

hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

c) Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0 Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – 1 và 1

Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0 Khi phơng trình có nghiệm, hãy tìm một

hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Bài 3: Cho phơng trình: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m

Trang 31

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m.

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x1

a) Giải và biện luận phơng trình theo m

b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:

Định m để sao cho phơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phơng trình (1), ta có thể làm

¿{

¿

Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m

ii) Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và (2) để kiểm tra lại

2/ Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau.

Xét hai phơng trình:

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3)a’x2 + b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4)Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với nhau khi và chỉ khi hai phơng trình có cùng 1 tập nghiệm (kể cả tập nghiệm

là rỗng)

Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau ta xét hai trờng hợp sau:

i) Trờng hợp cả hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là:

ii) Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:

Trang 32

¿

bx+ay =−c b'x+a'y=− c'

¿{

¿

Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm nh sau:

- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m

- Tìm m thoả mãn y = x2

- Kiểm tra lại kết quả

Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 và 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0

Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó:

a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0

b) 2x2 + mx – 1 = 0; mx2 – x + 2 = 0

c) x2 – mx + 2m + 1 = 0; mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0

Bài 3: Xét các phơng trình sau: ax2 + bx + c = 0 (1) cx2 + bx + a = 0 (2)

Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung duy nhất

Bài 4: Cho hai phơng trình: x2 – 2mx + 4m = 0 (1) x2 – mx + 10m = 0 (2)

Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phơng trình (1)

Bài 5: Cho hai phơng trình: x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0

a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung

b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng

Bài 6: Cho hai phơng trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) và x2 + 2x + m = 0 (2)

a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung

¿

Loại √A=B ⇔

B ≥ 0 A=B2

Trang 33

- Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc chỉ một

giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và x đợc gọi là biến số

Trang 34

- Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức

a Khái niệm hàm số bậc nhất

- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b Trong đó a, b là các số cho trớc và a 0

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

- Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0

* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)

Bớc 1 Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành

Bớc 2 Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b

d Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’0) Khi đó

+

'// '

 Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox

- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng

 Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b

- Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b

f Một số phơng trình đờng thẳng

- Đờng thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x - x0) + y0

- Đờng thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là 0 0

- Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:

+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0

Trang 35

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0

c Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0)

- Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

Kiến thức bổ xung

Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng

Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2) Khi đó

- Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức

Quan hệ giữa Parabol y = ax 2 (a 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0)

Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (d): y = mx + n Khi đó

- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình

- Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình ax2= mx + n (*)

- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)

+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung

+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Một số phép biến đổi đồ thị

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)

- Đồ thị (C1): y = f(x) + b đợc suy ra bằng cách tịnh tiếc (C) dọc theo trục tung b đơn vị

- Đồ thị (C2): y = f(x + a) đợc suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành –a đơn vị

- Đồ thị (C3): y = f(|x|) gồm hai phần

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy, bỏ phần (C) nằm bên trái Oy

+ Lấy đối xứng phần (C) nằm bên phải Oy qua Oy

- Đồ thị (C4): y = |f(x)| gồm hai phần

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên Ox, bỏ phần (C) nằm bên dới Ox

+ Lấy đối xứng phần (C) nằm bên treen Ox qua Ox

- Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng nhau qua trục tung

- Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc tọa độ

b x

a

   

- Nếu a < 0: Hàm số đồng biến

( ; ]2

b x



- Nếu a > 0: Parabol có bề lõm quay lên trên nhận S làm điểm thấp nhất

Trang 36

- Nếu a < 0: Parabol có bề lõm quay xuống dới nhận S làm điểm cao nhất nhất

Bài 1 Cho hai hàm số: y = x và y = 3x

a Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

b Đờng thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các đờng thẳng: y = x và y = 3x lần lợt ở A và B Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB

Bài 2: Cho hàm số y = - 2x và

12

y x

a Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên;

b Qua điểm (0; 2) vẽ đờng thẳng song song với trục Ox cắt đờng thẳng

12

ở A và B Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao? Tính chu

vi và diện tích của tam giác đó

Bài 4: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d)

a Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến

b Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2) Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm

đợc của m

c Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5: Cho hàm số: y = (3m – 2)x – 2m

a Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

b Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

c Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ứng với giá trị của m tìm đợc ở câu a, b

Bài 6: Cho ba đờng thẳng y = -x + 1, y = x + 1 và y = -1

a Vẽ ba đờng thẳng đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

b Gọi giao điểm của đờng thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 là A, giao điểm của đờng thẳng y = -1 với hai đờng thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 theo thứ tự là B và C Tìm tọa độ các điểm A, B, C

c Tam giác ABC là tam giác gì? Tính diện tích tam giác ABC

Bài 7: Cho đờng thẳng (d): ;y = - 2x + 3

a Xác định tọa độ giao điểm A và B của đờng thẳng d với hai trục Ox, Oy, tính khoảng cách từ điểm O(0; 0)

đến đờng thẳng d

b Tính khoảng cách từ điểm C(0; -2) đến đờng thẳng d

Bài 9: Tìm giá trị của k để ba đờng thẳng:

m 

thì hai đờng thẳng đã cho vuông góc với nhau

b Tìm tất cả các giá trị của m để hai đờng thẳng đã cho vuông góc với nhau

Bài 11: Xác định hàm số y = ax + b trong mỗi trờng hợp sau:

a Khi a  3, đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng  3.

b Khi a = - 5, đồ thị hàm số đi qua điểm A(- 2; 3)

c Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(1; 3) và N(- 2; 6)

Trang 37

d Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y 7x và đi qua điểm 1;7 7

.Bài 12: Cho đờng thẳng: y = 4x (d)

a Viết phơng trình đờng thẳng (d1) song song với đờng thẳng (d) và có tung độ gốc bằng 10

b Viết phơng trình đờng thẳng (d2) vuông góc với đờng thẳng (d) và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng – 8

c Viết phơng trình đờng thẳng (d3) song song với đờng thẳng (d) cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8

Bài 13: Cho hàm số: y = 2x + 2 (d1)

122

y x

(d2)

a Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

b Gọi giao điểm của đờng thẳng (d1) với trục Oy là A, giao điểm của đờng thẳng (d2) với trục Ox là B, còn giao điểm của đờng thẳng (d1) và (d2) là C Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A, B, C

c Tính diện tích tam giác ABC

Bài 14: Cho các hàm số sau: y = - x - 5 (d1) ;

14

y x

(d2) ; y = 4x (d3)

a Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

b Gọi giao điểm của đờng thẳng (d1) với đờng thẳng (d2) và (d3) lần lợt là A và B Tìm tọa độ các điểm A, B

c Tam giác AOB là tam giác gì? Vì sao?

d Tính diện tích tam giác AOB

Bài 15: Cho hai đờng thẳng: y = x + 3 (d1) và y = 3x + 7 (d2)

a Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

b Gọi giao điểm của đờng thẳng (d1) và (d2) với trục Oy lần lợt là A và B Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB

c Gọi J là giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và (d2) Chứng minh tam giác OIJ là tam giác vuông Tính diệntích của tam giác đó

Bài 16: Cho hai đờng thẳng: y = (k - 3)x - 3k + 3 (d1) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d2)

Tìm các giá trị của k để:

a (d1) và (d2) cắt nhau

b (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung

c (d1) và (d2) song song với nhau

d (d1) và (d2) vuông góc với nhau

e (d1) và (d2) trùng nhau

Bài 17: Cho hàm số y = (m + 3)x + n (m ≠ - 3) (d) Tìm các giá trị của m, n để đờng thẳng (d):

a Đi qua điểm A(1; - 3) và B(- 2; 3)

b Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 3, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3 3.

F

a và đờng thẳng (d):

14

y a



(a ≠ 0) Gọi M(x; y) là một

điểm thuộc mặt phẳng, H là hình chiếu của điểm M trên đờng thẳng (d)

a Tính MF2 và MH2 theo x, y là tọa độ của điểm M

b Biết MF = MH, hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x và y

a Chứng tỏ rằng hàm số đồng biến trong khoảng (0; +∞), hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞; 0)

b Khi k = 1, tính giá trị của y, biết x  2 3, x  2 3 và

Trang 38

a Tìm m, biết rằng đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = 4x – 2 tại điểm A có hoành độ 1

b Với giá trị tìm đợc của m hãy vẽ đồ thị hàm số y = (2m + 1)x2 và đồ thị y = 4x – 2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ

c Bằng đồ thị, hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thị vẽ trong ý b

Bài 22 Cho hàm số y = ax2 + bx + c (a 0) Tìm các giá trị của a, b, c biết đồ thị của hàm số thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a Hàm số nhận giá trị – 1 khi x = 0, x = 1 và nhận giá trị bằng 1 khi x = -1

b Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1/2

và 1

c Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(-1, 0), B(1, 3) và C(3, 2)

Bài 23 Cho đờng thẳng (d): y = (k - 2)x + q Tìm các giá trị của k và q biết rằng đờng thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a Đi qua điểm A(-1; 2) và B(3; 4)

b Cắt trục tung tại điểm có tung độ 1 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2 2

c Cắt đờng thẳng -2y + x - 3 = 0

d Song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1

Bài 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-2; 2) và đờng thẳng (d): y = -2x - 2

a Chứng minh A (d)

b Tìm các giá trị của a để Parabol: y = ax2 đi qua A

c Tìm đờng thẳng đi qua A và vuông góc với đờng thẳng (d)

d Gọi A và B là giao điểm của (P) với đờng thẳng tìm đợc trong câu c, và C là giao điểm của đờng thẳng (d)với trục Oy Tìm tọa độ các điểm B, C và tính diện tích tam giác ABC

Bài 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2/4 và đờng thẳng (d): y = mx + n Tìm các giá trị của m

và n biết đờng thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a Song song với đờng thẳng y = x và tiếp xúc với (P)

b Đi qua điểm A(1,5; -1) và tiếp xúc với (P)

Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) trong mỗi trờng hợp trên

Bài 26 Cho hàm số:

2

12

y x

1 Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên

2 Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1 Viết phong trình đờng thẳng MN

3 Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng MN và chỉ cắt (P) tại 1

điểm

Bài 27 Cho hàm số

2

12

2 Tìm tất cả các giá trị của x sao cho f(x) ≤ 1

Bài 29 Cho hàm số: y = x2 và y = x + m (m là tham số)

1 Tìm m sao cho đồ thị (P) của hàm số y = x2 và đồ thị (D) của y = x + m có hai giao điểm phân biệt A và B

2 Tìm phong trình của đờng thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P)

3 a) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm theo tọa độ của hai điểm ấy

b) áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A, B (ở câu 1) là 3 3.

Bài 30 Trong cùng hệ trục tọa độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và (D) là đồ thị hàm số y = - x + m

1 Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2; -1) và vẽ (P) với a tìm đợc

2 Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) (ở câu 1) và tìm tọa độ tiếp điểm

3 Gọi B là giao điểm của (D) (ở câu 2) với tung độ C là điểm đối xứng của A qua trục tung Chứng tỏ rằng C nằm trên (P) và tam giác ABC vuông cân

Bài 31 Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho hai đờng thẳng:

(D1): y = x + 1; (D2): x + 2y + 4 = 0

1 Tìm tọa độ giao điểm A của (D1) và (D2) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép toán

2 Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm đợc

3 Tìm phong trình của đờng thẳng tiếp xúc với (P) tại A

Bài 32 Cho (P) là đồ thị của hàm số y = ax2 và điểm A(- 2; -1) trong cùng hệ trục

1 Tìm a sao cho A thuộc (P) Vẽ (P) với a tìm đợc

Trang 39

2 Gọi B là điểm thuộc (P) có hoành độ là 4 Viết phong trình đờng thẳng AB

3 Viết phong trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) và song song với AB

Bài 33 Cho parabol (P):

2

14

y x

và đờng thẳng (D) qua 2 điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lợt là

- 2 và 4

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên

2 Viết phong trình của (D)

3 Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tơng ứng hoành độ) x   2; 4

sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất

Bài 34 Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P):

2

14

y x

và đờng thẳng (D): y = mx - 2m - 1

1 Vẽ (P)

2 Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)

3 Chứng tỏ rằng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P)

Bài 35.Trong cùng hệ trục vuông góc có parabol (P):

2

14

y x

và đờng thẳng (D) qua điểm

3( ; 1)2

có hệ số góc m

1 Vẽ (P) và viết phong trình của (D)

2 Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)

3 Tìm m sao cho (D) và (P) có hai điểm chung phân biệt

Bài 36 Trong cùng hệ trục tọa độ cho parabol (P):

2

14

y x

và đờng thẳng (D):

122

y x

1 Vẽ (P) và (D)

2 Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D)

3 Tìm tọa độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (D)

Bài 37 Cho họ đờng thẳng có phong trình: mx + (2m - 1)y + 3 = 0 (1)

1 Viết phong trình đờng thẳng đi qua A(2; 1)

2 Chứng minh rằng các đờng thẳng trên luôn đi qua một điểm cố định M với mọi m Tìm tọa độ của M

3 2 2

3 Qua điểm M(2; 2) có thể vẽ đợc mấy đờng thẳng không cắt đồ thị (D) của hàm số?

Bài 39 Cho parabol (P): y = x2 - 4x + 3

1 Chứng minh đờng thẳng y = 2x - 6 tiếp xúc với (P)

2 Giải bằng đồ thị bất phong trình: x2 - 4x + 3 > 2x - 4

Bài 40 Cho parabol

2

12

y x

(P), điểm I(0; 2) và điểm M(m; 0) với m ≠ 0

1 Vẽ (P)

2 Viết phong trình đờng thẳng (D) đi qua hai điểm M, I

3 Chứng minh rằng đờng thẳng (D) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m ≠ 0

4 Gọi H và K là hình chiếu của A và B lên trục hoành Chứng minh rằng tam giác IHK là tam giác vuông

5 Chứng minh rằng độ dài đoạn AB > 4 với mọi m ≠ 0

Bài 41 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho parbol (P):

2

14

Trang 40

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10Bài 43 Trong cùng hệ trục tọa độ, cho parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) và đờng thẳng (D): y = kx + b.

1 Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; -1)

2 Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1)

3 Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc ở câu 1) và 2)

4 Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm

3

; 12

C  

  và có hệ số góc m.

a Viết phong trình đờng thẳng của (d)

b Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc với nhau

Bài 44 Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) trong mặt phẳng tọa độ Oxy

1 Vẽ (P)

2 Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lợt có hoành độ -1 và 2 Chứng minh rằng; tam giác OAB vuông

3 Viết phong trình đờng thẳng (D) song song với AB và tiếp xúc với (P)

4 Cho đờng thẳng (d): y = mx + 1 (với m là tham số)

a Chứng minh rằng; (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

b Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thỏa mãn:

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị của x tơng ứng

3 Với giá trị nào của x thì y ≥ 4

2 44

y 

có đồ thị (P)

1 Vẽ (P)

2 Viết phong trình các đờng tiếp tuyến từ điểm A(2; - 2) đến (P)

3 Tìm tập hợp các điểm mà qua đó có hai tiếp tuyến vuông góc đến (P)

2 Tìm vị trí của A thuộc (P) và B thuộc (D) sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất

Bài 49 Cho parabol (P): y = - x2 + 6x - 5 Gọi (d) là đờng thẳng đi qua A(3; 2) và có hệ số góc m

1 Chứng tỏ rằng với mọi m, đờng thẳng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt B, C

2 Xác định đờng thẳng (d) sao cho độ dài đoạn BC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 50 Cho parabol (P):

2

12

y x

và đờng thẳng (d) có phong trình:

12

y mx 

1 Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định

2 Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N Tìm quỹ tích trung điểm I của

đoạn thẳng MN

Bài 51 Cho hai đờng thẳng (d1): y = (m2 + 2m)x và (d2): y = ax (a  0)

1 Định a để (d2) đi qua A(3; -1)

2 Tìm các giá trị m để cho (d1) vuông góc với (d2) ở câu 1)

1 Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O Vẽ đồ thị (d1) vừa tìm đợc

2 Tính theo m tọa độ các giao điểm A, B của đồ thị hàm số (1) lần lợt với các trục Ox và Oy Xác định m để tam giác AOB có diện tích bằng 2 (đ.v.d.t)

3 Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi

Bài 54 Cho parabol (P): y = ax2 và hai điểm A(2; 3), B(- 1; 0)

Định dạng
Số trang	127
Dung lượng	1,61 MB