De thi va dap an thi HSG Toan 8

a Tìm điều kiện của x để giá trị cuả phân thức M đợc xác định.. Gọi M, N lần lợt là điểm đối xøng víi D qua AB vµ AC.[r]

PHềNG GD&ĐT THANH LIấM

TRƯỜNG THCS LIấM PHONG

Đấ̀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8

NĂM HỌC 2012 - 2013 Mụn: Toỏn 8

Thời gian: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)

Câu 1 : (2 điểm)

1) Rút gọn biểu thức: A = (2x + 1)2 + (3x - 1)2 + 2(2x + 1)(3x - 1)

2) Tìm x, biết: 2x(x - 5) - x(3 + 2x) = 26

Câu 2 : (4 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x(x + y) - 3x - 3y b) x2 + (x - 2)2 - 4 2) Tính giá trị của biểu thức:

M = 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3 tại x = 6; y = - 8

Câu 3 : (3 điểm): Chứng minh rằng:52005 + 52003 chia hết cho 13

Câu 4 :(3 điểm) Cho phân thức M = 3 x +3

x2−1

a) Tìm điều kiện của x để giá trị cuả phân thức M đợc xác định

b)Tính giá trị của M tại x = 2

c) Tìm giá trị của x để phân thức M có giá trị bằng -2

Câu 5 :(3 điểm ) Thực hiện phép tính:

2 2

2

:

Câu 6:(5 điểm) Cho ABC vuông tại A, đờng cao AD Gọi M, N lần lợt là điểm đối

xứng với D qua AB và AC DM cắt AB tại E, DN cắt AC tại F

a) Tứ giác AEDF là hình gì ? tại sao ?

b) Chứng minh M đối xứng với N qua A

-*** -PHềNG GD&ĐT THANH LIấM

TRƯỜNG THCS LIấM PHONG

Hớng dẫn chấm

Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi cấp trờng

Môn: Toán 8 Năm học: 2012 - 2013

C©u §¸p ¸n §iÓm

1) A = (2x + 1)2 + (3x - 1)2 + 2(2x + 1)(3x - 1)

= (5x)2 = 25x2

2) 2x(x - 5) - x(3 + 2x) = 26

1

=>2x2 - 10x -3x - 2x2 = 26

=> -13x = 26

=> x = -2

2

1a) x(x + y) - 3x - 3y

1

=x(x + y) - 3(x + y)

= (x + y)(x - 3)

1b) x2 + (x - 2)2 - 4

1

= x2 + [(x - 2)2 - 22]

= x2 + [( x- 2 + 2)(x - 2 - 2)]

= x2 + x(x- 4)

= x(x + x- 4)

= x(2x - 4)

2) M = 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3 t¹i x = 6; y = - 8

2

M = (2x - y)3

x = 6 , y = -8 => M = (2.6 + 8)3 = 800

3 Chøng minh r»ng:5

2005 + 52003 chia hÕt cho 13

3

Ta cã: 52005 + 52003 = 52003.52 + 52003 = 52003(52 + 1) = 52003.26  13

4

M = 2

3 3 3( 1)

1 ( 1)( 1)



b) Khi x = 2 => M =

3(2 1)

3 (2 1)(2 1)





c) Khi M = -2 Ta cã: -2 =

3( 1)

2( 1) 3 ( 1)( 1)

x

x



   

 

1 1

2 2 3

2

     

5 Thùc hiÖn phÐp tÝnh

2

2

:

( )( ) 2( )

2 2 ( )( ) 2

2( )( )

2( )( ) ( ) ( )( )

( )(

x y x y x y x y

x y x y x y

x x y y x y

x y x y



  



  ) ( )( )

1 ( )( )

x y x y

x y x y

3

GT

ABC, A 90  0, ADBC D

;

M đối xứng với D qua AB;

 

MDAB E

N đối xứng với D qua AC

 

KL a) Tứ giác AEDF là hình gì ?

tại sao ?

b) Chứng minh M đối xứng với

N qua A

a)Xét tứ giác AEDF có

 90 ( ) 0

BAC gt

 90 0

AED  (vì M đối xứng với D qua AB)

 90 0

AFD  (vì N đối xứng với D qua AC)

Suy ra tứ giác AEDF là hình chữ nhật

2

b) Vì M đối xứng với D qua AB => AB là đờng trung trực của MD

=> AM = AD hay AMD cân tại A

=> A 1  A 2 (trong tam giác cân đờng trung trực của cạnh đáy đồng

thời là đờng phân giác)

Tơng tự đối với AND ta cũng có A 3  A 4

Mà A 2  A 3  900 nên A 1  A 4  900

=> A 1  A 2  A 3  A 4  900 900  1800 => MAN  1800

Hay M, A, N thẳng hàng

Mặt khác ta lại có AM = AN (= AD) nên M và N đối xứng nhau

qua A

2,5

-F E

N

M

D

C B

A