Chú ý - Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm điểm theo bước cho một cách giải; Các cách giải chính xác khác, giám khảo cho điểm tương ứng.. - Điểm toàn bài thi bằng tổng điểm các câu thành phầ[r]
Trang 1Bài 1 (5,0 điểm)
1 Phân tích đa thức thành nhân tử :
A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144
2 Cho đa thức F(x) = x3 + ax2 + bx + c (với a, b, c R)
Biết đa thức F(x) chia cho đa thức x - 2 thì dư 5, chia cho đa thức x + 1 thì dư -4 Hãy tính giá trị (a3 + b3)(b5 + c5)(c7 + a7) ?
Bài 2 (4,0 điểm)
1 Giải phương trình :
2 Giải phương trình nghiệm nguyên :
Bài 3 (3,0 điểm)
1 Cho ba số thực a, b, c có tích bằng 2 Hãy rút gọn biểu thức :
bc +b +1
2 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y 10
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
30 5
P = 2x + y + +
Bài 4 (5,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm nằm giữa B và C Kẻ AN vuông góc với AM, AP vuông góc với MN (N và P thuộc đường thẳng CD)
1 Chứng minh tam giác AMN vuông cân và AN2 = NC NP
2 Tính tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD
3 Gọi Q là giao điểm của tia AM và tia DC Chứng minh tổng 2 2
+
AM AQ không đổi khi
điểm M thay đổi trên cạnh BC
Bài 5 (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kỳ trong tam giác Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R Chứng minh
OA OP
OB OQ
OC
OR 8
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ THÁI BÌNH
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC : 2013 - 2014 MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 120 phút
Trang 2Bài 1 (5,0 điểm)
1 A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144
= [(x - 1)(x + 2)].[(x - 3)(x + 4)] - 144 0.25 = (x2 + x - 2)(x2 + x - 12) - 144 0.25 = (x2 + x - 7 + 5)(x2 + x - 7 - 5) - 144 0.5 = (x2 + x - 7)2 - 25 - 144 0.25
= (x2 + x - 7 - 13)(x2 + x - 7 + 13) 0.25 = (x2 + x - 20)(x2 + x + 6) 0.25 = (x2 - 4x + 5x - 20)(x2 + x + 6) 0.25 = (x - 4)(x + 5)(x2 + x + 6) 0.25
2 Gọi thương của phép chia F(x) cho x - 2 và x + 1 lần lượt là P(x) và Q(x)
Suy ra : x3 + ax2 + bx + c = (x - 2) P(x) + 5 (1)
x3 + ax2 + bx + c = (x + 1) Q(x) - 4 (2)
0.5
Thay x = 2 vào (1) ta có : 8 + 4a + 2b + c = 5 4a + 2b + c = -3 (3) 0.5 Thay x = -1 vào (2) ta có : -1 + a - b + c = -4 a - b + c = -3 (4) 0.5
Từ (3) và (4) => 4a + 2b + c = a - b + c => 3a = -3b => a = -b 0.5 => a3 = -b3 => a3 + b3 = 0 => (a3 + b3)(b5 + c5)(c7 + a7) = 0 0.5
Bài 2 (4,0 điểm)
1
2017 - x 2017 - x x - 2017
2017 - x 2017 - x 2017 - x
( )(
2017 - x = 02 ( vì
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 2017 ; 2017 } 0.25
2
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ THÁI BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 8
NĂM HỌC : 2013 - 2014 MÔN : TOÁN
Trang 3 xy - 2x - 2y - 1 = 0
x(y - 2) - (2y - 4) - 5 = 0
(y - 2)(x - 2) = 5
0.5
Vì x, y Z => x - 2, y - 2 Z Do đó ta có bảng giá trị :
0.5
Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên (3 ; 7) , (7 ; 3) , (1 ; -3) , (-3 ; 1) 0.25
Bài 3 (3,0 điểm)
1
bc +b +1
Thay 2= abc ta có :
ab + a + abc bc +b +1 ac + c.abc + abc
0.5
1+b +bc
=
= 1
2
30 5
P = 2x + y + +
0.5
Vì x, y > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương
6 x
5 và
30
x ,
y
5 và
5 y
ta có :
5 x 5 x (1)
5 y 5 y (2)
0.25
Từ (1), (2) và từ giả thiết x + y 10 => P 8 + 12 + 2 = 22 0.25
Trang 4Dấu "=" xảy ra
x,y > 0
x =
=
x + y =10
x = 5
y = 5
0.25
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 22 x = y = 5 0.25
Bài 4 (5,5 điểm)
N
M
P
1 *) Chứng minh tam giác AMN vuông cân
- Chứng minh ADN = ABM (g.c.g)
- Tam giác AMN có AM = AN (chứng minh trên) và MAN = 90 o(giả thiết)
*) Chứng minh AN2 = NC NP
- Tam giác AMN cân tại A (chứng minh trên) và AP MN (giả thiết)
=> AP là tia phân giác của MAN =>
o
1 NAP = MAP = MAN = 45
- Vì ABCD là hình vuông (giả thiết) => ACD = 45 ohay ACN = 45o 0.25
- Chứng minh ACN ∽PAN (g.g)
=>
2
AN CN
= => AN = NP.NC
- Chu vi tam giác CMP là :
CM + MP + CP
= CM + PD + DN + CP
= (CP + PD) + (BM + CM) (BM = DN vì ADN = ABM) 0.25
- Chu vi hình vuông ABCD bằng 4BC
=> Tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD là :
= 4BC 2
0.5
3 - Tam giác ANQ vuông tại A, có đường cao AD
=> AN.AQ = AD.NQ (=2SABC)
Trang 5=>
2
0.5
Mà NQ2 = AN2 + AQ2 (ĐL Py-ta-go trong tam giác vuông ANQ)
=>
Do hình vuông ABCD cho trước nên độ dài cạnh AD không đổi
=> 2 2 2
AM AQ AD không đổi khi M thay đổi trên cạnh BC. 0.5
Bài 5 (2,5 điểm)
A
Q O
R
- Đặt SABC = S, SBOC = S1, SCOA = S2, SAOB = S3
- Kẻ AH và OK cùng vuông góc với BC (H, KBC) 0.25 => AH // OK (từ vuông góc đến song song) 0.25 =>
=>
ABC
OBC
S
PA
OP S (ABC và OBC có chung cạnh đáy BC, hai chiều cao tương ứng là AH và OK) 0.25
=>
S + S + S
=>
1
S +S OA
=>
S
OA
2
OP S S S (BĐT Cauchy cho 2 số dương
2 1
S
S và
3 1
S
Vậy :
1
S S OA
2
OP S (1)
Tương tự :
2
S S OB
2
OQ S (2)
3
S S OC
2
OR S (3)
0.25
Trang 6Từ (1), (2) và (3) =>
)
2
1 2 3
2 2 2
1 2 3
(S S S
OA OB OC
Dấu "=" xảy ra S1 = S2 = S3 O là trọng tâm của tam giác ABC 0.25
Chú ý
- Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm điểm theo bước cho một cách giải;
Các cách giải chính xác khác, giám khảo cho điểm tương ứng
- Điểm toàn bài thi bằng tổng điểm các câu thành phần (không làm tròn)