Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến: Những phép đổi biến phổ thông: - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nµo cã luü thõa cao nhÊt.. - [r]
Trang 1Phương pháp tính Tích phân
I Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến:
Những phép đổi biến phổ thông:
- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất
- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số
- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức
- Nếu tích phân chứa thì đặt
x
dx
x ln
t
- Nếu tích phân chứa thì đặt e x t e x
- Nếu tích phân chứa thì đặt
x
dx
x
t
- Nếu tích phân chứa 2 thì đặt
x
dx
x
1
t
- Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt t sin x
- Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt t cos x
- Nếu tích phân chứa thì đặt
x cos
dx
- Nếu tích phân chứa thì đặt
x sin
dx
Bài tập minh hoạ:
0
3
2 2 x 1 dx x
1
1
0
3
1 x 1 ln 2 x
dx
1
0 x
x
1 e
dx e
1
dx
2
0 sin 2 x 5 sin x 6
xdx cos
2
0
3
x cos 1
xdx sin 4
4
tgx
x cos
dx e
9 10
2
4
4 x
sin
dx
dx x 1 x
1
0
2 3
II Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
Công thức: b Như vậy việc chọn được u và dv có vai trò quyết
a
b
a
b
uv dx ) x ( f
định trong việc áp dụng phương pháp này
Ta thường gặp ba loại tích phân như sau:
Loại 1:
: Trong đó là đa thức bậc n
) x ( P u dx
e
).
x
(
P
dx ).
x ( cos
).
x
(
P
dx ).
x ( sin
).
x
(
P
n b
) x
(
n
b
a
n
b
a
n
) x (
P n
Trang 2Ta phải tính n lần tích phân từng phần.
Loại 2: b : Tính n lần tích phân từng phần
a
n
n f ( x ) dx u ln f ( x ) ln
).
x (
P
Loại 3: Đây là hai tích phân mà tính tích phân này phải tính luôn cả
b
a
x
b
a
x
dx x cos e
dx x sin e
tích phân còn lại Thông thường ta làm như sau:
- Tính b :Đặt Sau khi tích phân từng phần ta lại có tích phân
a
x sin x dx
.Ta lại áp dụng TPTP với u như trên
a
x cos x dx
e
- Từ hai lần TPTP ta có mối quan hệ giữa hai tích phân và dễ dàng tìm được kết quả
Bài tập minh hoạ:
2
0
2 x 1 sin x dx
1
2
3 ln x dx
0
2 cos 3 x dx x
2
0
x cos 5 x dx
2
0
x
2003 sin 2004 x dx
2
0
2
x sin x dx e
Ngoài ra ta xét thêm một vài bài tích phân áp dụng phương pháp TPTP nhưng không theo quy tắc đặt ở trên:
1
dx x
ln
cos
0
3 4
8
1 x
dx x
e
1
3
dx x
x
ln
1
0
2
x 2
2 x
dx e x
2
0
x dx e x cos 1
x sin 1
III Tích phân hàm phân thức hữu tỷ:
Phần 1: Tích phân hữu tỷ cơ bản.
a
A dx b ax
A
dx d cx
A dx
c
a dx d cx
b ax
dx e dx
C dx
B Ax dx
e dx
c bx
ax 2
2 a.Dạng: ax 2 dx bx c
- Nếu 0: ax x x x
dx x x x
x x x
1 x
x x x a
dx
2 1
2 1
1 2 2 1
a 2
b x a
dx
2
2 2
x
Trang 33 Dạng: dx
c bx ax
B Ax
c bx ax
dx
n dx c bx ax
' c bx ax
m dx c bx ax
B Ax
2 2
c bx ax
dx
n c bx ax
ln
Bài tập minh hoạ:
0
dx 2004 x
2003
2003 x
2004
1 6 x 2 5 x
dx
0 x 2 6 x 9
dx
0 x 2 x 1 dx
5 2 6
dx x 5 x
6
3 x
2
1
0 2
dx 1 x x
x 3 4
Phần 2: Tích phân hữu tỷ tổng quát b
a
dx ) x ( Q
) x ( A
- Bước 1: Nếu bậc của A(x) lớn hơn bậc của B(x): Chia chia A(x) cho B(x) Ta phải tính
tích phân:
b
a
dx ) x ( Q
) x ( P
- Bước 2:
+ Nếu Q(x) chỉ toàn nghiệm đơn: Q ( x ) x a 1x a 2 x a n, ta tìm A 1 , A 2 A n
sao cho :
n
n 2
2 1
1
a x
A
a x
A a
x
A )
x ( Q
) x ( P
+ Nếu Q(x) gồm cả nghiệm đơn và nghiệm bội: 2, ta tìm
c x b x a x ) x (
sao cho :
2
1 , C
C
,
B
,
A
C c
x
C b
x
B a
x
A )
x ( Q
) x (
2
1
+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai đơn:
, ta tìm sao cho :
x a x px q
)
x
(
q px x
C Bx a
x
A )
x ( Q
) x ( P
+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai bội:
q px x
a x ) x (
C x B q
px x
C x B a
x
A )
x ( Q
) x ( P
2
2 2
2 2
1 1
Bài tập minh hoạ:
x 4
x
8 x 16
x
4
3
2
2 x 3 x
3 x 3 x 3
2
1 3
2
x x
1 x
5
IV Tích phân hàm vô tỷ đơn giản:
a n
b
a
n
b ax
dx
; dx b
1
n ax b ax b
Trang 42.Dạng: b
a
2 bx c dx ax
- Nếu a>0 : Tích phân có dạng b u a du đặt u=atgt
a
2 2
2
u a u 2
u du a
2 2 2 2
Nếu a<0 : Tích phân có dạng b a u du đặt u=asint
a
2 2
3.Dạng: b
dx
- Nếu 0:
dx x x x
x x x
1 x
x x x a
dx
2 1
2 1
1 2 2 1
dx a
2
b x a
dx
2
- Nếu 0: Với a>o: Đặt
x
dx x tgt
a u
2
x
dx x sin t
Bài tập minh hoạ:
0 x 2 3 x 2
dx
0 x 2 2 x 1
dx
dx
dx I
5 1 6
0
2 x 1 dx
x
0
2 2 x 3 dx x
I
b
t
1
1
dx
1
0 2 x 4 x 2 2 x
dx
5.Dạng: Rn ax bm ; q ax bp dx Đặt với s là BCNN của n và q.
1
b ax
1
0 3 2 x 1 2 2 x 1
dx
1
dx
1
6
dx x 1 x
V Tích phân hàm số lượng giác:
1.Dạng: b
a
dx x cos
; x sin f
- Nếu f là hàm lẻ theo sinx: Đặt t=cosx
Trang 5- Nếu f là hàm lẻ theo cosx: Đặt t=sinx.
- Nếu f là hàm chẵn theo sinx và cosx: Đặt t=tgx
Bài tập minh hoạ:
4
0
2
x cos x sin
dx
2
3
dx
x
cos
x
sin
6
0
3
dx x sin 4
x cos
4
0 sin x cos 3 x dx
2.Dạng: b
a
n
m x cos x dx sin
- Nếu m và n chẵn: Hạ bậc
- Nếu m lẻ: Đặt t=cosx
- Nếu n lẻ: Đặt t=sinx
Bài tập minh hoạ:
2
0
2
3 x cos x dx
2
0
2
4 x cos x dx
2
4
dx x cos
x sin
2
0 cos 4 x sin 4 x
dx
3.Dạng:b trong đó R là hàm hữu tỉ theo sinx, cosx
a
dx x cos
; x sin R
2
x
tg
t 1
dt 2 dx
t 1
t 2 x sin
t 1
t 1 x cos
t 1
t 2 tgx
Cụ thể là hàm: b
a a sin x b cos x c
dx I
Bài tập minh hoạ:
4
0 sin x cos x 1
dx
cos x 1dx
x sin
x sin 1
I 2
0
2
0 cos x 2
dx I
4.Dạng: b
a
dx x cos d x sin c
x cos b x sin a I
Phân tích: (Tử số)=A.(Mẫu số)+B.(Mẫu số)’
a
b
a
b
a
b
a
b
x cos d x sin c d B dx A dx x cos d x sin c
x sin d x cos c B dx A dx x cos d x
sin
c
x cos b x
sin
a
I
Bài tập minh hoạ:
2
0
dx x cos 3 x sin 4
x cos 2 x sin 3 I
5.Dạng: b
1 1
c x cos b x sin a
c x cos b x sin a I
Phân tích: (Tử số)=A.(Mẫu số)+B.(Mẫu số)’+C
c x cos b x sin a
c x cos b x sin a d B dx
A
c x cos b x sin a
dx C
dx c x cos b x sin a
x sin b x cos a B dx
A
I
b
2 2
2 b
a
b
b
2 2
b
a
J là tích phân tính được
Bài tập minh hoạ: 1. 2
3 x cos 2 x sin
1 x cos x sin
5 x cos 4 x sin 3
1 x sin I
Trang 6VI Phép đổi biến đặc biệt:
b
a
dx ) x ( I
Khi sử dụng các cách tính tích phân mà không tính được ta thử dùng phép đổi biến:
.Thực chất của phép đổi biến này là nhờ tính chất chẵn lẻ của hàm số f(x)
a b x
t
Bài tập minh hoạ:
2
2
1 e
x
cos
1
1
2
ln
dx x cos 1
x sin x
1
dx 1 2003
x 2004 sin I
Chứng minh rằng:
1 Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên a ; a thì:
a
0
a
a
dx ) x ( 2 dx ) x (
2 Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên a ; a thì: a f ( x ) dx 0
a
2
0
2
0
dx ) x (cos f dx
)
x
(sin
2
0
2
0
dx ) x (sin f dx ) x (sin f.
x