phép tính tích phân

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa nguyên hàm • Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b).. udv uv v du[r]

Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

HÀM MỘT BIẾN

CHƯƠNG 3

Định nghĩa nguyên hàm

• Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b) Ta nĩi F(x)

là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu:

• Ví dụ:

là một nguyên hàm của trên

là một nguyên hàm của a trên R.

2

2

ln

Tích phân bất định

• Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu:

• Được xác định như sau:

• F(x) là một nguyên hàm của f(x)

• C: hằng số tùy ý

f x dx

Tính chất )

)

i f x dx f x

ii k f x dx k f x dx iii f x g x dx f x dx g x dx

Cơng thức cơ bản

7 cos

8 sin

x x

Cơng thức cơ bản

2 2

2 2

2 2

2 2

1 1

x x

Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Cơng thức cơ bản

2

2

cos

sin

ax b

dx

Tích phân xác định

• Định nghĩa: Nếu f là hàm số xác định trên [a;b].

3 Gọi là các điểm mẫu bất kỳ trong những đoạn con

1 2

* 1

, , ,

;

n

x x x

x x x

2.Giả sử là các điểm biên những đoạn con Ta có0 1 2

, , , ,

n i

a x x x x b

x a i x

1.Chia đoạn thành phần bằng nhau, có chiều rộng

[ , ]a b n

b a x n

Tích phân xác định

• Tích phân xác định của hàm f từ a đến b là:

(nếu giới hạn này tồn tại).

• Khi đĩ ta nĩi hàm f khả tích trên [a,b].

* 1

lim

i n

i a

f x dx f x x

Chú ý : dấu tích phân : hàm lấy tích phân : các cận lấy tích phân : biến độc lập Tích phân là một số, không phụ thuộc vào

Tổng Riemann: *

1

,

b

a

n i i

f x

f x dx f t dt f r dr

f x x

Tích phân xác định

• Cơng thức:

• Trong đĩ F(x) là một nguyên hàm (tích phân bất

định) của f(x)

a a

f x dx F x F b F a

Tính chất

• Giả sử f(x), g(x) khả tích trên [a;b] Khi đĩ ta cĩ:

) [ ( ) ( )] ( ) ( )



Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tính chất

d) Với a<b và g(x)≤f(x) trên [a;b] ta cĩ:

Hệ quả:

   ,  ,    

g x f x  x a b g x dxf x dx

Tính chất

• e) Nếu

• thì:

a

m ba f x dxM ba

Tích phân hàm đối xứng

• Cho f liên tục trên [-a; a]

0

2

0

a

a a

f x dx f x dx

f x dx

f

f x

f x

x

x

f

f) Nếu f là hàm chẵn thì:

g) Nếu f là hàm lẻ thì:

Các phương pháp tính

• Phân tích, biến đổi

• Đổi biến dạng 1

• Đổi biến dạng 2

• Tích phân từng phần

Phương pháp phân tích

• Chia đa thức

• Nhân liên hợp

• Áp dụng các cơng thức biến đổi hàm số

• Sử dụng cơng thức cơ bản

Đổi biến số dạng 1

• Đặt t=u(x)

• Ta đưa tích phân về dạng:

• Phải tìm u’ hoặc biến đổi u’ xuất hiện trước

u'

f u x x dx f t dt

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tính các tích phân sau

2 5

Đổi biến số dạng 2

• Đặt: x=u(t)

• Biến đổi biểu thức tính tích phân về dạng:

.

f x dx f u t u t dt

Ví dụ

• Tính các tích phân sau

2

2

1

x

x

Tích phân từng phần

• Đưa biểu thức tính tích phân về dạng:

• Đặt:

• Khi đó:

.

f x dx h x g x dx

'

du h x

u h x

dv g x dx v g x dx

f x dx h x g x dx uv v du

Tích phân từng phần

• Đưa biểu thức về dạng tích

• Chọn hàm để đặt u và dv

• Chú ý: chọn sao cho việc tính đạo hàm và tích

phân dễ tính

• Áp dụng công thức:

.

udv uv v du

Các dạng cần nhớ sin

cos

n n ax n

P x ax dx

P x ax dx

P x e dx

ln arctan arcsin

n n n

P x x dx

P x x dx

P x x dx

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tính các tích phân sau

2

1 2

0 3

e

Ứng dụng tích phân trong kinh tế

• Tìm chi phí khi biết chi phí cận biên

• Tìm doanh thu khi biết doanh thu cận biên

Ứng dụng tích phân trong kinh tế

• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên

là:

• Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định là C0=200

2

90 120 27

Ứng dụng tích phân trong kinh tế

• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên là:

• Giả sử Q=1 thì chi phí là 60 Tìm hàm chi phí

Ứng dụng tích phân trong kinh tế

• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, doanh thu cận

biên là:

• Giả sử Q=1 thì R=37 Tìm doanh thu và hàm giá

theo sản lượng

2

Ứng dụng tích phân trong kinh tế

• Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức giá p là:

• Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) thì R=10,4 (triệu đồng) Tìm doanh thu và hàm sản lượng theo giá

Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tích phân suy rộng

• Loại 1: cận vơ hạn

• Loại 2: hàm cĩ điểm kỳ dị

TPSR loại 1

• Dạng:

• Cách tính:

a

f x dx

lim b

b

TPSR loại 1

thì hội tụ.

lim b

b

a

a

f x dx S

f x dx

Nếu

không tồn tại thì phân kỳ.

lim b

b

a

a

f x dx

f x dx

Ví dụ

• Tính các tích phân sau:

• Tổng quát:

2

1

dx K

x

Ghi nhớ

• Tổng quát:

1

dx K

x

hội tụ khi >1; phân kỳ khi 1

cùng tính chất.

x

Các loại khoảng vơ hạn

a a

c

hội tụ

f x dx

Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tiêu chuẩn hội tụ 1

• Cho

0 f x g x , x a ,

Nếu hội tụ thì hội tụ

Nếu phân kỳ thì phân kỳ

Tiêu chuẩn hội tụ 2

Nếu thì các tích phân cùng tính chất

0 0:

x

f x

g x k

k g x dx f x dx

k g x dx f x dx PK

Tiêu chuẩn hội tụ 3

Cho có dấu tùy ýtrên

PK

HT

a

a a

f x dx f x dx

f x dx

f x dx

f x dx

TPSR loại 2

• Điểm kỳ dị: điểm x0gọi là điểm kỳ dị của hàm f(x) nếu:

0

lim

x x f x

Điểm kỳ dị ở cận trên

• Xét tích phân:

• Ta cĩ:

với lim

c

x c a

f x dx f x

= lim

b c

f x dx f x dx

Điểm kỳ dị ở cận dưới

• Xét tích phân:

• Ta cĩ:

với lim

b

x a a

f x dx f x

= lim

c a

f x dx f x dx

Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Điểm kỳ dị trong khoảng tích phân

• Ta tách thành 2 tích phân cĩ cận trên và cận

dưới là điểm kỳ dị

• Nếu cả 2 tích phân thành phần hội tụ thì tích

phân ban đầu hội tụ

• Giả sử c là điểm kỳ dị nằm trong (a,b)

=

f x dx f x dx f x dx

Ghi nhớ

• Tổng quát:

;

hội tụ khi <1; phân kỳ khi 1

Tiêu chuẩn hội tụ 1

• Cho

0 f x g x , x a b ,

Nếu hội tụ thì hội tụ

Nếu phân kỳ thì phân kỳ

Tiêu chuẩn hội tụ 2

Nếu thì các tích phân cùng tính chất

0 0:

x b

f x

g x k

k g x dx f x dx

k g x dx f x dx PK

Tiêu chuẩn hội tụ 3

Cho có dấu tùy ýtrên

PK

HT

,

b

b a

a a

f x dx f x dx

f x dx

f x dx

f x dx