Bai Tap Toan 11

Chứng minh trong một tứ diện các đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy.... Cho tứ diện ABCD.[r]

Chương I LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M có số đo cung AM là a thì

tan a =

sin a

cos asin a (α ≠ kπ, k thuộc Z)

2 Các tính chất

Với mọi a ta có –1 ≤ sin a ≤ 1 hay |sin a| ≤ 1; –1 ≤ cos a ≤ 1 hay |cos a| ≤ 1

3 Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản

sin² a + cos² a = 1 tan a cot a = 1

1 + tan² a = 2

1

1sin a

4 Công thức liên hệ góc

cos(–a) = cos a cos(π – a) = –cos a cos(π + a) = –cos asin(–a) = –sin a sin(π – a) = sin a sin(π + a) = –sin atan(–a) = –tan a tan(π – a) = –tan a tan(π + a) = tan acot(–a) = –cot a cot(π – a) = –cot a cot(π + a) = cot acos(π/2 + a) = –sin a cos(π/2 – a) = sin a

sin(π/2 + a) = cos a sin(π/2 – a) = cos a

tan(π/2 + a) = –cot a tan(π/2 – a) = cot a

cot(π/2 + a) = –tan a cot(π/2 – a) = tan a

5 Công thức cộng

cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin bsin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin btan(a + b) =

6 Công thức nhân đôi

sin 2a = 2sin a cos a

cos 2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – 1 = 1 – 2sin² a

Câu 1 Tìm tập xác định của các hàm số y = cos x + sin x

A R \ {π/2 + kπ, k là số nguyên} B R \ {π/4 + kπ/2, k là số nguyên}

C R \ {π/4 + kπ, k là số nguyên} D R

Câu 2 Tập xác định của hàm số y = tan 2x là

A R \ {π/2 + kπ, k là số nguyên} B R \ {π/2 + kπ/2, k là số nguyên}

C R \ {π/4 + kπ, k là số nguyên} D R \ {π/4 + kπ/2, k là số nguyên}

Câu 3 Tập xác định của hàm số y =

tan x

1 sin 2x

A R \ {π/2 + kπ, k là số nguyên} B R \ {π/4 + kπ/2, k là số nguyên}

C R \ {π/4 + kπ, k là số nguyên} D R \ {π/2 + kπ/2, k là số nguyên}

Câu 4 Tập xác định của hàm số y = cot (2x – π/3)

A R \ {π/3 + kπ, k là số nguyên} B R \ {π/3 + kπ/2, k là số nguyên}

C R \ {π/6 + kπ, k là số nguyên} D R \ {π/6 + kπ/2, k là số nguyên}

Câu 5 Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A y = 2cos x B y = x sin x C y = sin |x| D y = tan³ x – x

Câu 6 Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A y = 1 – sin x B y = |x + cos x| C y = |x| – cos x D y = x – tan x

Câu 7 So sánh nào sau đây sai?

A cos 15° > 0,5 B sin 35° < 0,5 C cot 20° > 1,5 D tan 65° > 1,5

Câu 8 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 sin (x – π/2) + 3 lần lượt là

Câu 12 Hàm số y = sin² x – 4sin x + 3 đạt giá trị nhỏ nhất khi

A x = π/2 + k2π, k là số nguyên B x = –π/2 + k2π, k là số nguyên

C x = π/6 + k2π, k là số nguyên D x = π/3 + k2π, k là số nguyên

Câu 13 Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2cos² x – 3cos x + 2 trên đoạn [–π/6; π/2] là

Câu 14 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 + cos (πx/6) trên đoạn [1; 4] là

Câu 15 Giải phương trình sin 2x + 1 = 0

A x = π/6 + kπ, k là số nguyên B x = π/8 + kπ, k là số nguyên

C x = π/2 + kπ, k là số nguyên D x = π/4 + kπ, k là số nguyên

Câu 16 Giải phương trình cos x – 3sin x = –1

Câu 18 Giải phương trình 2cos² x = 1

A x = ±π/6 + kπ (k là số nguyên) B x = ±π/4 + kπ (k là số nguyên)

C x = π/4 + kπ/2 (k là số nguyên) D x = π/2 + kπ (k là số nguyên)

Câu 19 Giải phương trình cos 3x – sin x = cos x – sin 3x

A x = kπ V x = π/8 + kπ/2 (k là số nguyên) B x = kπ V x = π/4 + kπ (k là số nguyên)

C x = π/8 + kπ V x = kπ/2 (k là số nguyên) D x = π/8 + kπ V x = kπ (k là số nguyên)

Câu 20 Giải phương trình sin x – 3cos x = 4sin x cos x

A x = –π/3 + k2π V x = 4π/9 + k2π/3 (k là số nguyên)

B x = –π/3 + k2π V x = 2π/9 + k2π/3 (k là số nguyên)

C x = π/3 + k2π V x = –2π/9 + k2π/3 (k là số nguyên)

D x = 2π/3 + k2π V x = –π/9 + k2π/3 (k là số nguyên)

Câu 21 Giải phương trình sin 2x + 2sin² x = 1

A x = π/4 + kπ, k là số nguyên B x = π/8 + kπ/2, k là số nguyên

C x = π/8 + kπ, k là số nguyên D x = π/8 + kπ/4, k là số nguyên

Câu 22 Giải phương trình 2cos² x + 5sin x – 4 = 0

A x = π/6 + k2π V x = 5π/6 + k2π, k là số nguyên

B x = π/6 + kπ V x = 5π/6 + kπ, k là số nguyên

C x = π/3 + k2π V x = 2π/3 + k2π, k là số nguyên

D x = π/3 + kπ V x = 2π/3 + kπ, k là số nguyên

Câu 23 Giải phương trình 2cos 2x – 8cos x + 5 = 0

A x = ±π/6 + kπ, k là số nguyên B x = ±π/3 + kπ, k là số nguyên

C x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên D x = ±π/3 + k2π, k là số nguyênCâu 24 Giải phương trình 2cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x

A x = π/2 + kπ V x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên

B x = π/2 + kπ V x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên

C x = kπ V x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên

D x = kπ V x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên

Câu 25 Giải phương trình 2(sin4 x + cos4 x) = 2sin 2x – 1

A x = π/2 + kπ, k là số nguyên B x = π/4 + kπ, k là số nguyên

C x = π/2 + k2π, k là số nguyên D phương trình vô nghiệmCâu 26 Giải phương trình (3 + tan² x) cos x = 3

A x = 2kπ V x = ±π/3 + k2π, với k là số nguyên

B x = 2kπ V x = ±π/6 + k2π, với k là số nguyên

C x = kπ V x = ±π/6 + kπ, với k là số nguyên

D x = kπ V x = ±π/3 + kπ, với k là số nguyên

Câu 27 Giải phương trình tan x + cot x – 2 = 0

A x = π/4 + kπ, k là số nguyên B x = π/4 + k2π, k là số nguyên

C x = π/8 + kπ, k là số nguyên D x = π/8 + k2π, k là số nguyênCâu 28 Giải phương trình 2sin² x – 5sin x cos x – cos² x = –2

A x = π/4 + kπ V x = tan–1 (1/4) + kπ, k là số nguyên

B x = π/4 + kπ V x = tan–1 (1/2) + kπ, k là số nguyên

C x = –π/4 + kπ V x = tan–1 (1/4) + kπ, k là số nguyên

D x = –π/4 + kπ V x = tan–1 (1/2) + kπ, k là số nguyên

Câu 29 Giải phương trình 3sin² x – 3sin 2x – 3cos² x = 0

Câu 31 Giải phương trình 6sin x – 2cos³ x = 5sin 2x cos x

A x = π/8 + kπ/2, k là số nguyên B x = π/4 + kπ/2, k là số nguyên

C x = π/4 + kπ, k là số nguyên D x = π/8 + kπ, k là số nguyênCâu 32 Giải phương trình sin² x + sin 2x – 2cos² x = 1/2

A x = π/4 + kπ V x = tan–1 (–4) + kπ, k là số nguyên

B x = π/4 + kπ V x = tan–1 (–3) + kπ, k là số nguyên

C x = π/4 + kπ V x = tan–1 (–2) + kπ, k là số nguyên

D x = π/4 + kπ V x = tan–1 (–5) + kπ, k là số nguyên

Câu 33 Giải phương trình 3(sin x + cos x + 1) + 2sin x cos x = 0

Câu 39 Giải phương trình 1 + 3 tan x = 2 sin 2x

A x = π/4 + kπ, k là số nguyên B x = –π/4 + kπ, k là số nguyên

C x = ±π/4 + kπ, k là số nguyên D x = π/3 + kπ, k là số nguyên

Câu 40 Giải phương trình cos³ x – cos 2x + 2 = 0

A x = k2π, k là số nguyên B x = π/2 + kπ, k là số nguyên

C x = π + k2π, k là số nguyên D x = π/2 + k2π, k là số nguyên

Câu 41 Giải phương trình (tan x – 1)³ = (tan² x – 1)(tan x + 1)²

A x = kπ V x = π/4 + kπ, k là số nguyên B x = ±π/4 + kπ, k là số nguyên

C x = kπ V x = π/3 + kπ, k là số nguyên D x = kπ V x = π/6 + kπ, k là số nguyên

Câu 42 Số nghiệm của phương trình sin 2x – cos 2x = 3 sin x + cos x – 2 trên [0; 2π] là

Câu 43 Giải phương trình sin 2x + cos 2x + tan x = 2

A x = π/4 + kπ, k là số nguyên B x = –π/4 + kπ, k là số nguyên

C x = π/3 + kπ, k là số nguyên D x = π/6 + kπ, k là số nguyên

Câu 44 Tập hợp tất cả các nghiệm thuộc [–π; π] của phương trình 2sin² x + 2sin 2x = 3 – 2cos² x là

A {–5π/6; –π/6; π/6; 5π/6} B {–5π/12; –π/12; π/12; 5π/12}

C {–11π/12; –7π/12; π/12; 5π/12} D {–11π/12; –7π/12; π/6; 5π/6}

Câu 45 Giải phương trình cos³ x – sin³ x = cos x + sin x

A x = kπ, k là số nguyên B x = π/4 + kπ, k là số nguyên

C x = –π/4 + kπ, k là số nguyên D x = π/3 + kπ, k là số nguyên

Câu 46 Tổng tất cả các nghiệm thuộc [0; π] của phương trình sin³ x + cos³ x – 2(sin5 x + cos5 x) = 0 là

Câu 47 Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình 3cos4 x – sin² 2x + sin4 x = 0

A x = –3π/4 B x = –π/3 C x = –2π/3 D x = –π/4

Câu 48 Giải phương trình cos³ x + sin³ x = sin 2x + sin x + cos x

A x = kπ, k là số nguyên B x = kπ/2, k là số nguyên

C x = k2π, k là số nguyên D x = k4π, k là số nguyên

Câu 49 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2cos³ x + cos 2x + sin x = 0 là

Câu 50 Tổng các nghiệm thuộc (–π; 3π) của phương trình cos x – sin x + 1 + sin x cos x = 0 là

Câu 53 Giải phương trình sin4 (x/2) + cos4 (x/2) – 1 + 2sin x = 0

A x = kπ/2, k là số nguyên B x = π/2 + kπ, k là số nguyên

C x = kπ, k là số nguyên D x = π/2 + k2π, k là số nguyên

Câu 54 Số nghiệm nguyên của phương trình cos 3x – 2cos 2x + cos x = 0 là

Câu 55 Gọi x = aπ/b (với a/b là phân số tối giản) là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin6 x + cos6 x

= sin4 x + cos4 x Giá trị a + b là

Câu 62 Giải phương trình sin 2x + cos 2x = 1 + sin x – 3cos x

A x = ±π/6 + kπ, k là số nguyên B x = ±π/3 + kπ, k là số nguyên

C x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên D x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên

Câu 63 Giải phương trình 2cos x + 2cos (5π/2 – x) – cos 2x = 0

A x = π/4 + kπ, k là số nguyên B x = π/3 + kπ, k là số nguyên

C x = –π/4 + kπ, k là số nguyên D x = –π/3 + kπ, k là số nguyên

TỔ HỢP XÁC SUẤT

I Quy tắc đếm

1 Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B Phương án A cóthể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc được thực hiện theo n+ m cách

2 Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách;công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách

n!

A(n k)!





Ck!(n k)!

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử

và được kí hiệu là Ω

Biến cố là một tập con của không gian mẫu Gọi n(A) là số phần tử của biến cố A, n(Ω) là số kết quảcó thể xảy ra của phép thử Xác suất của biến cố A là P(A) = n(A)/n(Ω)

Nếu A ∩ B = Ø thì ta nói A và B xung khắc Khi đó P(A U B) = P(A) + P(B)

Định lý: P(Ø) = 0, P(Ω) = 1, 0 ≤ P(A) ≤ 1

A và B là 2 biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Câu 1 Bạn Nam vào siêu thị để mua một áo sơ mi cỡ 40 hoặc 41 Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4màu khác nhau Số cách chọn áo là

Câu 41 Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến

20 Lấy ngẫu nhiên một quả Tìm xác suất sao cho quả được chọn hoặc có màu xanh hoặc ghi số lẻ

2 Số hạng tổng quát

un = u1 + (n – 1)d

3 Tính chất các số hạng của cấp số cộng

uk = (uk–m + uk+m)/2 với k > m ≥ 1

4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Câu 1 Cho cấp số cộng 2, 5, 8, Tìm u15

Câu 2 Cho cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 120 và có tổng bằng 1830 Số hạng đầu là

Câu 10 Cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = –3 Tính a10

A a10 = 31 B a10 = –23 C a10 = –26 D a10 = 35

Câu 11 Tính số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un) biết u3 + u5 = 30; S13 = 78.

Câu 21 Cho các dãy số sau

a u1 = 2, un+1 = (3n + 1)/5 b u1 = 15, u2 = 9, un+2 = 2un+1 – un

c u1 = 0, un+1 = un – 12 d u1 = 1, u2 = 1, un+2 = 2un+1 + 1

Số cấp số cộng trong các dãy số trên là

Câu 22 Nhận xét nào sau đây sai về cấp số cộng?

A Cấp số cộng không bị chặn trên nếu có công sai dương

B Cấp số cộng không bị chặn trong trường hợp công sai khác 0

C Cấp số cộng có giá trị nhỏ nhất là số hạng đầu nếu bị chặn trên

D Cấp số cộng có công sai khác 0 không thể có đồng thời giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

Câu 23 Cho cấp số cộng gồm 22 số hạng với số hạng đầu là 125 và số hạng cuối là –295 Số hạng thứ 2 là

2 Số hạng tổng quát

Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức un = u1.qn–1

3 Tính chất

Trong một cấp số nhân (un), uk² = uk–muk+m với k > m ≥ 1

4 Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u1 và công bội q ≠ 1 là Sn =

n

1

1 qu

1 q



 (q ≠ 1)Câu 1 Cho cấp số nhân có 6 số hạng biết u1 = 243 và u5 = 3 Các số hạng từ số thứ hai đến số thứ 4 lần lượtlà

Câu 11 Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát un = (–3)n+1.2n+3 Nhận xét nào sau đây đúng?

A Dãy số trên là cấp số cộng có công sai d = 6

B Dãy số trên là cấp số nhân giảm

C Dãy số trên là cấp số nhân lùi vô hạn

D Dãy số trên là cấp số nhân có công bội q = –6

Câu 12 Nhận xét nào sau đây sai?

A Cấp số cộng phải có chặn dưới hoặc chặn trên

B Cấp số nhân lùi vô hạn là dãy số bị chặn

C Cấp số nhân giảm không thể có công bội âm

D Cấp số nhân có công bội q > 1 thì bị chặn dưới

Câu 13 Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân tăng biết tổng của chúng là 19 và tích của chúng là 216



Câu 5 Tìm giới hạn 2

3n 4lim

Câu 22 Tìm giới hạn

n 1

Câu 24 Tìm giới hạn

n 2

( 1) (n 2)lim

Câu 10 Tìm giới hạn

Câu 25 Tìm giới hạn x 1

x 1lim

A Hàm số liên tục tại xo = 5 B Hàm số có tập xác định R \ {5}

C Hàm số xác định trên R D Hàm số liên tục trên (–1; 10)

Câu 46 Cho hàm số f(x) =

x 5

x 52x 1 3

 Nhận xét nào sau đây sai

A Hàm số liên tục tại xo = 5 B x 1/2lim

Câu 52 Kết luận nào sau đây sai?

A Phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt trên khoảng (–2; 5)

B Phương trình x³ – 3x = m(4 – x²) luôn có nghiệm với mọi số thực m

C Phương trình m(2x² – 3x + 1) = 3 – 4x luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi số thực m

D Phương trình cos 2x + a sin x + b cos x = 0 luôn có nghiệm với mọi số thực a, b

+ Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo thì hàm số liên tục tại điểm đó

2 Ý nghĩa của đạo hàm

+ k = f′(xo) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M (xo; yo) với yo = f(xo)

+ Phương trình tiếp tuyến tại M(xo; yo) là y = f′(xo)(x – xo) + yo

3 Qui tắc tính đạo hàm

+ (C)′ = 0; x′ = 1; (xn)′ = n.xn–1 với mọi số thực n

+ (u + v)′ = u′ + v′; (u.v)′ = u′.v + v′.u; (u / v)′ = (u′v – v′u) / v²; (ku)′ = ku′; (1/v)′ = –v′ / v² (v ≠ 0)

+ Đạo hàm của hàm hợp: Nếu u(x) có đạo hàm theo x là u′(x) và hàm số y = f(u) có đạo hàm theo u là f′(u)thì hàm số y = f(u(x)) có đạo hàm tại x là y′ = f′(u).u′(x)

4 Đạo hàm của hàm số lượng giác

+ Giới hạn cơ bản x 0

5 Vi phân

+ dy = y′dx

6 Đạo hàm cấp cao y(n) = [y(n –1)]′ với n ≥ 2

7 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(xo; yo) là d: y = f′(xo) (x – xo) + yo

a Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y = ax + b

+ Gọi tiếp điểm là M(xo; yo)

+ Hệ số góc tiếp tuyến là k = f′(xo) = a

+ Tìm xo, yo rồi suy ra phương trình tiếp tuyến

b Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Δ: y = ax + b

+ Gọi tiếp điểm là M(xo; yo)

+ Hệ số góc tiếp tuyến là k = f′(xo) = –1/a

+ Tìm xo, yo rồi suy ra phương trình tiếp tuyến

Câu 1 Cho hàm số y = 2x² – x + 2 Giá trị của y'(1) là

12x 1

Câu 6 Tính đạo hàm của hàm số y = 2x4 – x³ + 2x – 5

A y' = (3x² – 2)(1 – 2x²) – 2x(x³ – 2x) B y' = (3x² – 2)(1 – 2x²) + 2x(x³ – 2x)

C y' = (3x² – 2)(1 – 2x²) – 4x(x³ – 2x) D y' = (3x² – 2)(1 – 2x²) + 4x(x³ – 2x)Câu 9 Tính đạo hàm của hàm số y = x²(x² – 1)(x² – 4)

A y' = 2x(x² – 1)(x² – 4) + 2x²(2x² – 5) B y' = 2x(x² – 1)(x² – 4) – 2x²(2x² – 5)

C y' = 2x(x² – 1)(x² – 4) – 2x³(2x² – 5) D y' = 2x(x² – 1)(x² – 4) + 2x³(2x² – 5)Câu 10 Tính đạo hàm của hàm số y =

32x 3

A y' = 3/[2(2x +3)²] B y' = 6/(2x + 3)² C y' = –6/(2x + 3)² D y' = –3/(2x + 3)²Câu 11 Tính đạo hàm của hàm số y =

Câu 22 Tính đạo hàm của hàm số y = sin 3x tan x

A y' = 3sin x + (1 + tan² x) sin 3x B y' = –3sin x + (1 + tan² x) sin 3x

C y' = 3cos 3x tan x + (1 + tan² x) sin 3x D y' = –3cos 3x tan x + (1 + tan² x) sin 3xCâu 23 Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = sin 2x