Đề kiểm tra và lời giải môn học cơ học lượng tử
Trang 1TRUONG DAI HOC BACH KHOA HA NOI Hà Nội, ngày 18 tháng 10 năm 2011
VIỆN VẬT LÝ KỸ THUẬT
KIEM TRA GIỮA HỌC KỲ 1 NAM HOC 2011-2012
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Đề 1 Thời gian làm bài: 90 phút
Bai 1:
Một hạt tự do có khối lượng 7? chuyên động một chiều đọc theo trục X, trạng thái của nó ở thời điểm
=0 xác định bởi hàm sóng
W(x,0) = A exp (—a x?
Trong đó, @ 1a một hăng số thực
a) Tính hệ số chuẩn hóa 4 của hàm sóng
b) Tìm hàm sóng “F€-,0) trong biêu diễn xung lượng
c) Tim MH{+x,/) ở thời điểm £ >0
Bài 2:
Trạng thái của một hạt có khối lượng #? chuyền động trong trường thê một chiêu Cx) cho bởi
\f(x,2)= 4exp (—a (mx? /0) +it) Trong đó, @ 14 mét hang sé thực
a) Tính hệ số chuẩn hóa 4 cia hàm sóng
b) Tìm biểu thức Cx) của trường thế
c) Vẽ phác đô thị của trường thê tìm được Theo anh (chị) đó là trường thê nào?
Trang 2Đáp án và Thang điểm Bai 1:
a) Chuẩn hóa hàm sóng *Hx,O) ở thời điểm z =0 trong X - biéu dién
1= [Ix.0)?a&x =|L4F JIfG6l + =|A[ JexpC2a°) ~2ax?)dx =|A)’ | 4 j= © Aa=l2: =
—œo
b) Hàm sóng ở thời điểm z =0 trong Ø2 - biểu điển:
B 2
Dùng công thức tích phân: Jexe- (4 x° +B x)} dx -|2 exp [2z]
Trong tích phân trên, ⁄44=a và B =— P.Do do
Hie (BFR aie} El
Dp,0) =|2zan : yu exp (- P
DP
2
Hay
c) Ham séng 6 thoi diém ¢>0 trong X - biéu dién
W(x,t) =(220) Jarre} (EPs lp =(2n0) "| (27a II” Jes (ae
0 Qn) al J A2 2ml J n |”
B 2
Dùng công thức tích phân: J=eE (4 x° +Bx )) ax = J exp (J |
Troneg tích phân trén, ta c6: 4 = +—— |va B =——.,
Do đó, ta có
Trang 3
a mn
Wx, ft) = + +— dp = exp| ——————
¬ o aw a s_ Je Jexe|- mm 2mil ỳ I 2| 7 (2zœ)1⁄2 [1 ,271/ P ( a)
7
a mn
Hay
`
x,f)= exp | —————
a MW
a MW
Bai 2:
a) Chuan hoa ham sóng W(x,/) = 4 exp (— a (mx? /1) +it]
1 =|A| ‘exp (amex? /t —it)exp(—amx? /1 +it)dx =|]? fexp(-2amx? /1 ) dx =|A|’ ——
—c
b) _ Từ phương trình Schrodinger một chiều
a oW(x,/) _ “HT 3ˆW(x,/)
Suy ra
2 2
Vx y=-L m1 9 +
\H Ot 2m ox
Tinh cac dao ham: > ae 7 33 -| 12 5 lr
Thay các đạo hàm vào hệ thức trên
ro)=vy|t ow ñ = | DI se Ea 22) | 20m
Ta co
V(x) =2a’* mx’
c) Néu dat a =@/2 , thé nang V(x) =2a’?mx? =ma@ x’ /2
Đó là hàm thế của đao động điều hòa một chiếu
Đô thị sẽ là một parabola hướng phía lõm lên trên và đỉnh ở gôc hệ tọa độ
