Bài tập cơ học lượng tử

Bài tập môn học cơ học lương tử

Bài Tập 1.1

     , với 1 và 2 là hai vectơ trực giao chuẩn hóa và đầy đủ

a) Tính các toán tử   và   Chúng có bằng nhau không?

b) Tìm liên hợp phức và liên hợp Hermit của  ,  ,   và  

c) Tính Tr(   ) và Tr(   ) Chúng có bằng nhau không ?

d) Tính   và   và vết Tr(   ), Tr(   ) Chúng có là toán tử hình chiếu không?

Bài tập 1.2

a) Chỉ ra rằng tổng của hai toán tử chiếu không thể là toán tử chiếu, nếu không tích của chúng bằng không

b) Chỉ ra rằng tích của hai toán tử chiếu không thể là toán tử chiếu, nếu không chúng giao hoán

Bài tập 1.3

Khảo sát tính Hermit của những toán tử

Tìm liên hợp phức của các toán tử trên?

Từ đó tìm liên hợp phức của những toán tử tọa độ và động lượng



and eid/dx

c) Tìm liên hợp Hermit của toán tử X d / dx



d) Dùng kết quả câu a) khảo sát tính Hermit của các thành phần của toán tử momen

z

L i X / y Y / x       

Bài tập 1.4

a) Chỉ ra rằng toán tử

2

A i X 1 d / d      x+iX

b) Tìm trạng thái  x thỏa A  x  và chuẩn hóa nó.0

c) Tính xác suất tìm thấy hạt (diễn tả bởi  x trong miền:   1 x 1

Bài tập 1.5

Tìm điều kiện để toán tử cho ở câu a) và b) là Unita

a) 1 i A / 1 i A ,

b)

Bài tập 2.1

Khảo sát hạt bị nhốt trong thế một chiều giới hạn bởi 0 ≤ x ≤ a và có hàm sóng cho bởi

x t,  sin( / )exp( a i t )

Bài tập 2.2

Hạt có khối lượng m, chuyển động tự do bên trong giếng thế có bề rộng a, có hàm sóng ban đầu ở thời điểm t = 0:

x

Ở đây A là hằng số thực

với xác suất bao nhiêu? Tính năng lượng trung bình

5

2

Bài tập 2.3

Hạt có khối lượng m, chuyển động tự do bên trong giếng thế có bề rộng a, có hàm sóng ban đầu ở thời điểm t = 0 là  x,0  3 / 5 sin 3a  x a/ 1/ 5 sin 5a  x a/  (a) Tìm hàm sóng ở thời diểm t là ( , ) x t

(b) Tính mật độ xác suấtx t, và mật độ dòng J x t , 

(c) Chứng tỏ xác suất bảo toàn tức là /  t  J x t ,  0

Bài tập 2.4

Hệ có trạng thái ban đầu 0  2 1  3 2 3 4 / 7

trạng thái riêng của Hamilton của hệ Hˆ n n20 n

(a) Nếu năng lượng được đo, sẽ thu được năng lượng nào và xác suất bằng bao nhiêu?

A na  

Nếu A được đo thì sẽ có giá trị nào và xác suất bằng bao nhiêu?

được giá trị nào?

Bài tập 2.5

trị A nào ta thu được nếu chúng ta đo (i) H trước kế đến A (ii) A trước kế đến H

đồng thời được không Tính A H ˆ ˆ,  3

Bài tập 2.6

0 0

i

i



0

1 1 1 5 1

i i





Ở đây  có thứ nguyên năng lượng

Bài tập 3.1

Khảo sát hạt có khối lượng m chuyển động tự do giữa x = 0 and x = a trong thế vuông 1 chiều vô hạn

, và so sánh những giá trị này với giá trị tính được bằng cơ cổ điển

Bài tập 3.2

Một electron di chuyển tự do bên trong thế vô hạn một chiểu giữa vị trí x = 0 và x = a Nếu lúc đầu electron ở trạng thái cơ bản (n = 1) của hộp và nếu thình lình chúng ta tăng kích thước hộp lên thình lình từ x=a thành x=4a Tính xác suất tìm thấy electron trong :

(a) Trạng thái cơ bản của hộp mới

(b) Trạng thái kích thích đầu tiên của hộp mới

Bài tập 3.3

Khảo sát hạt có khối lượng m chịu tác động thế hút V x V0 x , ở đây V 0 > 0 (V 0

có thứ nguyên của năng lượng còn x có thứ nguyên khoảng cách)

(a) Trong trường hợp năng lượng âm, chỉ ra rằng hạt chỉ có trạng thái liên kết, tìm năng lượng liên kết và hàm sóng

(c) Khảo sát trường hợp tán xạ (i.e, E > 0) và tính hệ số phản xạ và hế số truyền theo số sóng k

Bài tập 3.4

Khảo sát hạt có khối lượng m chuyển động trong thế

0

0

x

x a







ở đây V0 > 0

(a) Tìm hàm sóng

(b) Chỉ ra cách xác định trị riêng

hệ có n trạng thái liên kết (buộc)

Bài giải Bài Tập 1.1

     , với 1 và 2 là hai vectơ trực giao chuẩn hóa và đầy đủ

e) Tính các toán tử   và   Chúng có bằng nhau không?

f) Tìm liên hợp phức và liên hợp Hermit của  ,  ,   và  

g) Tính Tr(   ) và Tr(   ) Chúng có bằng nhau không ?

h) Tính   và   và vết Tr(   ), Tr(   ) Chúng có là toán tử hình chiếu không?

a) Bra của  9i  1 2 2 là  9i  1 2 2

1

2

1

2

1

2

Ta thấy   và   là không bằng nhau; chúng chỉ bằng nhau khi  và 

là tỉ lệ với nhau qua hằng số thực

Tìm Liên hợp phức của    ta chỉ biến đổi liên hợp phức của hệ số phức, ket vẫn giữ là ket và bra vẫn giữ là bra

1

2

    

   1 1 1 2 2 1 2 2 

1

2

   1 1 1 2 2 1 2 2 

1

2

Liên hợp Hermit của  ,  ,   và   , chúng ta thay bra bởi ket và ket bởi bra biến đổi i thành (-i)

†

1 i 2

      

 †  1 1 1 2 2 1 2 2 

1

2

                 

1

2

                 

b) Sử dụng tính chất Tr(AB) = Tr(BA) và bởi vì    1| 1 2|2 1 và

1| 2 2| 1 0

   

Tr   Tr  |   |

   

Tr   Tr  |   |

 1 2  1 2

Tr   

c) Biểu thức   và   là

  9i  1 2 2  9i  1 2 2 

811  1 18i 1  2 18i 2  1 4 2 2

 1 1 1 2 2 1 2 2 

1

2

             

1

2

Khi rút ra công thức trên ta đã sử dụng hệ cơ sở đầy đủ

2

n 1



         

Vết Tr   và   Tr   có thể được tính như sau 

   1 2   1 2 

   1 2   1 2 

1

2

             

Vì vậy  là chuẩn hóa còn  thì không Bởi vì  là chuẩn hóa, nên  

là toán tử chiếu vì

   †   

Và    2              

Đối với   mặc dù Hermit nhưng bởi vì  là không chuẩn hóa Nên   là không bằng với bình phương của nó

   2            85  

Bài tập 1.2

a) Chỉ ra rằng tổng của hai toán tử chiếu không thể là toán tử chiếu, nếu không ( ngược lại) tích của chúng bằng không

b) Chỉ ra rằng tích của hai toán tử chiếu không thể là toán tử chiếu, nếu không (ngược lại) chúng giao hoán

Nhắc lại P là toán tử chiếu nếu nó thỏa P †  và P

2

P  P

a) A

B

Đặt P A B ^ 

 

†

P A B   A B  A B P  

2

P A B   A B A B B A      A B  A B B A     P

và B

 + B

là toán tử chiếu

b) Nếu A

và B

là hai toán tử chiếu và chúng giao hoán A, B    0

Chứng minh

†

A B  A B 



2

A B  A B 



Chúng ta có

†

P A B   B A  B A P  

Nếu chúng giao hoán

†

P A B   B A  B A A B P    

Do đó A B 

là toán tử chiếu

Bài tập 1.3

Khảo sát tính Hermit của những toán tử

Tìm liên hợp phức của các toán tử trên?

Từ đó tìm liên hợp phức của những toán tử tọa độ và động lượng



and eid/dx

c)Tìm liên hợp Hermit của toán tử X d / dx



d)Dùng kết quả câu a) khảo sát tính Hermit của các thành phần của toán tử momen động

z

L i X / y Y / x       

a) Chúng ta có thể chứng minh X

là Hermit

†



*



    x x x xx x  x x



x x  x x  

Bởi vì  x triệt tiêu khi x  , ta có

*

d

x

x



 

 

 

*

x

x









Vì vậy, d / dx là phản-Hermitian: d / dx† d / dx Bởi vì d / dx là phản-Hermittian, id / dx phải là Hermit, bởi vì id / dx† i d / d xid / dx

†

X X,

†



†



Từ biểu thức trên ta có P  i d / dx là Hermititan: P† P

 Nhưng liên hợp phức của P

thì không liên hợp Hermit, bởi vì P*   i d / d x* i d / d x=-P

X X, X* X,  P† P

 , P* P Cách 2

b)

 

r r

*

†





 





   





c) Dùng

†

†



†

†

i A i A



†



d) Bởi vì X

được cho bởi

Do đó

†

 



cũng là Hermitian:

†

y

L i Z /    X / z   

Bài tập 1.4

a)Chỉ ra rằng toán tử

2

A i X 1 d / d      x+iX

là Hermit

b)Tìm trạng thái  x thỏa A  x  và chuẩn hóa nó.0

c)Tính xác suất tìm thấy hạt (diễn tả bởi  x trong miền:   1 x 1

a) Từ bài toán trên, ta có X † X

†



†

Using the relation

2

cùng với d / d X x,  1

ta có thể tính giao hoán tử d / d X  

2

là Hermit:

2

d

Trạng thái  x

thỏa A  x  , tức là0

 

 

d

x

x

Tương ứng

 

 

2

d

x



 



Lời giải của phương trình

1

x x

 





 

2

d

1

x

x



Từ đó ta có B 1/  và do đó  

1 1

x

x

 

b) Using the integral

1

2 1

d

/ 2 1









 

2

2

1 2

1.5

Tìm điều kiện để toán tử cho ở câu a) và b) là Unita

a) 1 i A / 1 i A ,

b)

Toán tử U

là unita, nếu U U  † U U I †  

a) Bởi vì

†



(2.374)

là Hermit sao cho 1 i A / 1 i A



thì A † A

b) Tương tự, A

và B

phải là Hermitian và phải giao hoán sao cho

†

I







(2.376)