Về các nửa nhóm số arf

đóng dưới phép cộng, 0 ∈ S và S sinh ra nhóm cộng các số nguyên Z như mộtnhóm.Mặc dù ý tưởng nghiên cứu về các nửa nhóm số đã được hình thành vàonăm 1884 bởi Sylvester, Frobenius và sau

NGUYỄN VĂN TÂN

VỀ CÁC NỬA NHÓM SỐ Arf

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2012

NGUYỄN VĂN TÂN

VỀ CÁC NỬA NHÓM SỐ Arf

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS.LÊ QUỐC HÁN

Nghệ An - 2012

LỜI NÓI ĐẦU 2CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Nửa vành các số tự nhiên Vành các số nguyên 5

CHƯƠNG 2 NỬA NHÓM SỐ Arf 16

2.1 Hệ Arf các phần tử sinh 162.2 Cây nhị nguyên của nửa nhóm số Arf 212.3 Tính bao đóng Arf của một số nửa nhóm số cho trước 26

đóng dưới phép cộng, 0 ∈ S và S sinh ra nhóm cộng các số nguyên Z như mộtnhóm.

Mặc dù ý tưởng nghiên cứu về các nửa nhóm số đã được hình thành vàonăm 1884 bởi Sylvester, Frobenius và sau đó vào năm 1942 bởi Brauer, nhưngmãi đến 1987 mới được các tác giả Fröberg, Gottlieb và Häggkvit đề xuấtnghiên cứu một cách có hệ thống (xem [7]) Từ đó đến nay đã xuất hiện nhiềuhướng nghiên cứu về tính chất của nửa nhóm số Một trong những hướngnghiên cứu được nhiều tác giả quan tâm là dựa trên tính chất của vành Arf(xem [5]) để đề xuất khái niệm về nửa nhóm số Arf: Một nửa nhóm số S được

gọi là nửa nhóm Arf nếu đối với mỗi bộ ba phần tử x, y, z ∈ S sao cho x ≥ y ≥ zthì x + y – z ∈ S

Để tìm hiểu lớp nửa nhóm này, luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo

“Arf numerical semiroups” đăng trên Journal of Algebra số 276 năm 2004 ([9])

Ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận, luận văn chialàm hai chương như sau:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về vành sốnguyên và nửa vành các số tự nhiên, lý thuyết đồ thị liên quan đến cây và cây –từ

Chương 2 Nửa nhóm số Arf

Đây là nội dung chính của luận văn

Tiết 1 Hệ các phần tử sinh Trong tiết này chúng tôi trình bày nửa nhóm

số, nửa nhóm số Arf, hệ Arf các phần tử sinh và chứng minh tính duy nhất của

hệ sinh Arf tối tiểu của nửa nhóm số Arf

Tiết 2 Cây nhị nguyên của nửa nhóm số Arf Trong tiết này chúng tôi

trình bày khái niệm cây nhị nguyên và chứng tỏ rằng cây của nửa nhóm số Arf

Tác giả biết ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Đào ta ̣o Sau Đại họccũng như các thầy giáo, cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đãtạo điều kiện giúp đỡ và hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập và hoànthành luận văn này

Mặc dù đã cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót,chúng tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báo của các thầy, cô giáo vàcác bạn đồng nghiệp

Nghệ An, tháng 10 năm 2012

1.1.1 Tập hợp tương đương Bản số

Giả sử A và B là hai tập hợp Khi đó ta nói rằng A tương đương với B nếu tồn tại một song ánh từ A lên B.

Khi hai tập hợp A và B tương đương với nhau thì nói rằng chúng có cùng

một lực lượng hay cùng một bản số Bản số của tập hợp A được ký hiệu bởi

card(A).

Giữa các bản số ta định nghĩa quan hệ ≤ như sau: Giả sử a và b là những bản số Gọi A và B là các tập hợp sao cho card(A) = a, card(B) = b Khi đó

a ≤ b nếu và chỉ nếu A tương đương với một tập con của B.

Một tập hợp không tương đương với bất kỳ một tập con thật sự nào của

nó được gọi là một tập hợp hữu hạn Một tập hợp không phải là tập hợp hữu hạn được gọi là tập hợp vô hạn.

1.1.2 Tập hợp các số tự nhiên

Bản số của một tập hợp hữu hạn được gọi là một số tự nhiên Tập hợp tất

cả các số tự nhiên được ký hiệu bởi N.

Vì tập hợp các số tự nhiên N là một tập hợp những bản số, do đó N cùng

với quan hệ thứ tự ≤ đã xác định giữa các bản số trong 1.1.1 cũng được áp dụng

cho N Với quan hệ thứ tự đó, N là một tập hợp được sắp thứ tự toàn phần phần tử nhỏ nhất của ( N, ≤ ) là 0, trong đó 0 là bản số của tập rỗng.

Giả sử x, y là các số tự nhiên với x ≤ y Gọi Y là tập hợp mà card(Y) = y,

khi đó tồn tại tập con X của Y sao cho card(X) = x Thế thì y được gọi là số kề

sau của x nếu và chỉ nếu card(Y – X) = 1 Nếu y là số kề sau x thì ta dùng ký

hiệu y = x +1

Mệnh đề sau đây thường được gọi là Tiên đề quy nạp: Giả sử M là một

tập con của N thỏa mãn hai điều kiện

(i) τ (0) đúng,

(ii) Nếu τ(n) đúng thì τ(n+1) đúng

Khi đó τ(n) đúng với mọi số tự nhiên n, nghĩa là ∀n τ(n) là một định lý

Tập hợp số tự nhiên N là một tập hợp vô hạn Bản số của tập hợp N

được gọi là lực lượng đếm được Tập hợp ( N, ≤ ) là một tập sắp thứ tự tốt,

nghĩa là mọi bộ phận khác rỗng của ( N, ≤) đều có số bé nhất.

Tập hợp sn = {x ∈ N/ x < n } được gọi là đoạn n số tự nhiên đầu tiên hay

đơn giản là đoạn đầu sn Ta có card (sn) = n

1.1.3. Vị nhóm cộng các số tự nhiên

Vì hợp của hai tập hợp hữu hạn là một tập hữu hạn, nên ta có thể xây

dựng được phép toán hai ngôi trên N như sau.

Phép toán N× N → N đặt tương ứng (a, b) với card ( A ∪ B), trong đó

A, B là các tập con của N thỏa mãn card(A) = a, card (B) = b, A ∩ B = ∅ được

gọi là phép cộng các số tự nhiên Khi đó card( A ∪ B) gọi là tổng của a và b và

được ký hiệu bởi a + b

Với phép cộng được định nghĩa như trên, N trở thành một vị nhóm giao

hoán với phần tử trung lập là 0 Hơn nữa, nếu a, b là các số tự nhiên thỏa mãn

a ≤ b thì a + c ≤ b + c với mọi c ∈ N Ta nói rằng quan hệ thứ tự ≤ xác định

như trên tương thích với phép cộng các số tự nhiên và ( N, +, ≤) là một nửa

nhóm sắp thứ tự

1.1.4 Vị nhóm nhân các số tự nhiên

Vì tích Đề các của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn, nên ta có

thể xây dựng được phép toán hai ngôi trên N như sau.

Phép toán N× N → N đặt tương ứng (a, b) với card ( A × B), trong đó

A, B là các tập con của N thỏa mãn card(A) = a, card (B) = b, A ∩ B = ∅ được

gọi là phép nhân các số tự nhiên Khi đó card(A × B) gọi là tích của a và b và được ký hiệu bởi ab.

Với phép nhân được định nghĩa như trên, N trở thành một vị nhóm giao hoán với đơn vị là 1 Ký hiệu N* là tập hợp tất cả các số tự nhiên khác không,

khi đó N* là vị nhóm con của vị nhóm nhân N, hơn nữa ( N, , ≤) và ( N*, , ≤)

là các vị nhóm sắp thứ tự được (Nghĩa là từ a ≤ b suy ra ac ≤ bc với mọi

1.1.5. Nửa vành các số tự nhiên N

Ta có (N, +) là mô ̣t nửa nhóm, (N, ) là mô ̣t nửa nhóm và phép nhân trên

N phân phối đối với phép cộng, nên ( N, +, ) là một nửa vành Nửa vành này

giao hoán với đơn vị và có phần tử không, hơn nữa nó được sắp thứ tự bởi quan

hệ ≤ xác định như trong 1.1.1

1.1.6 Vành các số nguyên

một nửa vành con, nghĩa là các phép toán cộng và nhân trong Z thu hẹp trên N trùng với phép cộng và phép nhân đã xác định trong N.

Vành các số nguyên Z là một miền nguyên có lực lượng đếm được.

Trên Z xác định quan hệ thứ tự ≤ cho bởi x ≤ y (x, y ∈ Z) nếu và chỉnếu y – x ∈ N Thế thì Z trở thành vành sắp thứ tự, nghĩa là thỏa mãn hai điều

kiện:

(i) Nếu x ≤ y thì x + z ≤ y + z , ∀z ∈ Z,

(ii) Nếu 0 ≤ x và 0 ≤ y thì 0 ≤ xy

Hơn nữa, Z cùng với quan hệ thứ tự trên là một vành sắp thứ tự Acsimet,

nghĩa là với mọi cặp số nguyên x và y, y >0 đều tồn tại số tự nhiên n sao cho

Số nguyên d được gọi là ước chung của các số nguyên a1, a2, …, an khi d

là ước của mỗi ai, i = 1,2,…,n

Số nguyên D được gọi là ước chung lớn nhất của các số nguyên a1, a2,

…, an nếu D là ước của a1, a2, …, an và mọi ước chung của a1, a2, …, an đều làước của D

Với mỗi tập con hữu hạn A = {a1, a2, …, an} của Z, ước chung của a1, a2,

…, an luôn tồn tại và duy nhất sai khác nhân tử ±1; ký hiệu bởi gcd(A)

1.1.8. Thuật toán Euclid

Giả sử a, b là hai số nguyên Nếu a là ước của b thì gcd(a,b) = a; nếu b làước của a thì gcd(a,b) = b

Giả sử hai khả năng trên không xảy ra, khi đó ta có dãy hệ thức sau đâybiểu thị các phép chia có dư

Dãy phép chia có dư liên tiếp trên được gọi là Thuật toán Euclide thực

hiện trên hai số a, b Dựa vào nhận xét: Nếu a, b, q, r là các số nguyên thỏa mãn

a = bq + r thì gcd(a,b) = gcd( b, r) ta suy ra gcd( a, b) = gcd( b, r1) = …=gcd (rn-1, rn) = rn

Như vậy, ước chung lớn nhất của hai số nguyên a, b là số dư cuối cùngkhác không trong thuật toán Euclide thực hiện trên a và b

Để tìm ước chung của a1, a2, …, an ta tìm d2 = gcd( a1, a2), d3 = gcd(d2,a3),

…, dn = gcd(dn-1, an) thì d = gcd(a1, a2, …, an) = dn

1.2 ĐỒ THỊ VÀ CÂY

1.2.1 Các định nghĩa

Một đồ thị là một tập hợp khác rỗng các phần tử mà chúng được gọi là các đỉnh, cùng với một tập hợp các cặp không được sắp thứ tự các đỉnh được gọi là cạnh

Tập hợp tất cả các đỉnh của đồ thị Γ được ký hiệu bởi V(Γ)

Nếu hai đỉnh v1, v2 tạo thành một cạnh của đồ thị thì ta gọi chúng là hai

đỉnh kề nhau.

Một đồ thị Γ’ được gọi là đồ thị con của Γ, nếu tất cả các đỉnh và tất cảcác cạnh của Γ’ cũng là đỉnh và cạnh của Γ.

Một đỉnh được gọi là cực biên (ở đầu mút) nếu nó thuộc đúng một cạnh.

sao cho hai đỉnh yi-1, yi là hai đỉnh kề nhau với mọi i = 1, 2, …, n Một đoạn với

độ dài n gọi là một (y 0 , y n ) – đoạn.

Một quỹ đạo là một đoạn mà trong nó tất cả các đỉnh đều phân biệt.

Đồ thị Γ được gọi là liên thông nếu mỗi cặp đỉnh của Γ được nối với nhaubởi một quỹ đạo

Một (α,α) - đoạn được gọi là đóng.

Một xích là một đoạn đóng mà tất cả các đỉnh của nó đều phân biệt với ít

nhất có ba đỉnh

Một cây là một đồ thị liên thông và không có xích nào.

Chú ý rằng trong một cây T, với α, β ∈ V(T) tùy ý tồn tại một (α, β) –quỹ đạo duy nhất mà chúng ta ký hiệu nó bởi Π(α, β)

Một cây mà trong nó có một đỉnh được đánh dấu gọi là cây có gốc.

Chúng ta nói rằng đoạn W xuyên qua đồ thị Γ nếu tất cả các đỉnh của Γ

xuất hiện cùng với các đỉnh của W

Một cạnh với các đỉnh α, β gọi là được định hướng nếu chúng ta xét cạnh

cùng với (α, β) như một cặp được định hướng Trong trường hợp này chúng taviết α→β và ký hiệu cạnh bởi α β

Một cạnh được dỏn nhón nếu cú một ký hiệu được liờn kết với nú.

Một cõy – từ (word tree) T trờn một tập khỏc rỗng X là một cõy với ớt

nhất một cạnh, trong đú mỗi cạnh cú hướng và được dỏn nhón bởi một phần tửcủa X và với điều kiện khụng cú đồ thị con nào cú dạng

x x

ã ắắđã ơắắ ã ã ơắxắ ã ắắxđChỳ ý rằng ta cú thể mở rộng tập hợp cỏc nhón từ X tới Y = X ∪ X-1 bằngcỏch lấy ngược lại

1

x

-b a

ã ắắđã cú nghĩa là ã ơắa xắ ãb

Giả sử T và T’ là cỏc cõy – từ trờn X Một đẳng cấu từ T lờn T’ là một

song ỏnh từ V(T) lờn V(T’) bảo toàn sự kề nhau, hướng và nhãn của cỏc cạnh.Nếu một song ỏnh như vậy tồn tại thỡ ta núi rằng T đẳng cấu với T’ và viết T ≅

T’ Chỳ ý rằng đẳng cấu là một quan hệ tương đương trờn lớp tất cả cỏc cõy - từtrờn X

1.2.2. Sự hợp thành của cỏc cõy - từ

Giả sử LX là một lỏt cắt chữ nhõ ̣t của cỏc lớp đẳng cấu cỏc cõy – từ trờn

X, nghĩa là một tập hợp cắt ngang mỗi lớp tương đương (trong đú quan hệtương đương là đẳng cấu) theo một phần tử đơn lẻ

Giả sử T, T’ ∈ LX và α ∈ V(T), α’ ∈ V(T’) tựy ý Giả sử γ là một đỉnhcực biờn trong T’ và xột quỹ đạo Π(α’,γ) = (α’=γ0, γ1, …,γn = γ) trong T’ Tồntại δm∈ V(T) sao cho quỹ đạo Π(α,δm) = (α=δ0, δ1,…, δm) trong T đẳng cấu với(α’ = γ0, γ1, …,γm) và m là số nguyờn lớn nhất với tớnh chất đú (m ≤ n)

Chú ý rằng Π(α,δm) là duy nhất vì chúng ta đang khảo sát trong các cây.

Để hợp thành T và T’ ta đồng nhất γi với δI , i =1, 2,…, m Nếu m < nchúng ta buộc chặt đồ thị (γm, γ1+m, …,γn) với đỉnh γm =δm Lặp lại quá trình nàyvới tất cả các đỉnh cực biên trong V(T’), ta được một cây – từ trên X là hợpthành của T và T’ Chúng ta biểu diễn bởi T(α,α’)T’ đại diện của nó trong LX

Nó thuận tiện để đồng nhất các đỉnh của T và T’ với các đỉnh tương ứng củaT(α,α’)T’

Chúng ta ký hiệu tập hợp các cây - từ hai gốc cùng với phép toán trên bởi

B X Một cách trực giác, khi cho hai cây – từ hai gốc ta nhận được tích của

chúng bằng cách đồng nhất gốc “ thứ hai” của cây đầu tiên với gốc “thứ nhất”của cây thứ hai, làm cho tất cả các cạnh chung trùng nhau và buộc chặt các đỉnhchung tất cả các đỉnh khác của cả hai cây, như chúng ta có thể thấy trong hai ví

dụ tiếp theo

1.2.4. Ví dụ Cho các cây – từ hai gốc

x

a ã ắắzđã

y

ã

Cho N là nửa nhóm cộng các số tự nhiên và Zlà nhóm cộng các số

nguyên, khi đó tập con S của N được gọi là nửa nhóm số nếu S là vị nhóm con

của N và S là tập sinh của nhóm cộng Z

Nếu S là một nửa nhóm số, thì N \ S có hữu hạn phần tử Số nguyên lớn

nhất không thuộc S được gọi là số Frobenius của S và được ký hiệu là F(S),

chẳng hạn F( N) = -1 Hơn nữa, S thừa nhận một tập sinh hữu hạn tối tiểu

{n1 < <np} (nghĩa là, S ={å pi 1= a ni i/ a1, , ap∈N} và không một tập con thật

sự nào của {n1, , np} sinh ra S) Khi đó n1 được gọi là bội và p được gọi là

chiều nhúng của S, và được ký hiệu tương ứng bởi m (S) và μ (S) Rõ ràng

m (S) là phần tử khác không nhỏ nhất thuộc S Đối với một tập con A của N cho trước, vị nhóm con của của N được sinh ra bởi A sẽ ký hiệu bởi <A> Rõ

ràng vị nhóm <A> là vị nhóm số nếu và chỉ nếu gcd(A) = 1, trong đó gcd (A) là

ký hiệu của ước chung lớn nhất của các phần tử thuộc A

2.1.1 Định nghĩa Một nửa nhóm số S được gọi là một nửa nhóm số Arf (Arf

numerical semigroup) nếu với bộ ba phần tử x, y, z thuộc S sao cho x ≥ y ≥ zthì x + y – z ∈ S

Vì nếu S là một nửa nhóm số, thì N \ S là hữu hạn, nên có một số hữu

hạn nhóm số chứa S Đối với A ⊆ N với gcd (A) = l, nếu T là một nửa nhóm số

chứa A thì T phải chứa S = <A> Một đề xuất đối với nửa nhóm số Arf nhỏnhất (theo quan hệ bao hàm) chứa A là giao của tất cả các nửa nhóm số Arfchứa S, dựa trên kết quả sau: giao của một họ hữu hạn của nửa nhóm số Arf làmột nửa nhóm số Arf

2.1.2 Mệnh đề Nếu S 1 , , S n là nửa nhóm số Arf, thì S = S 1 ∩ S 2 ∩ ∩ S n

cũng là nửa nhóm số Arf.

sử x, y, z ∈ S sao cho x ≥ y ≥ z Khi đó x, y, z ∈ Si , ∀i=1,2, ,n vì Si là nửanhóm số Arf với mọi i Suy ra x + y – z ∈ S1 ∩ S2 ∩ ∩ Sn = S, nên S là nửanhóm số Arf

2.1.3 Chú ý Kết quả trên cho phép chúng ta định nghĩa nửa nhóm số Arf sinh

bởi A (gcd (A) =1) như giao của tất cả các nửa nhóm số Arf có chứa A (và nhưvậy chứa <A>), và được ký hiệu bởi Arf (A) Rõ ràng theo Mệnh đề 2.1.2,Arf(A) là nửa nhóm số Arf nhỏ nhất chứa A Cũng chú ý rằng nếu S là mộtnửa nhóm số Arf, thì rõ ràng Arf (S) = S

2.1.4 Định nghĩa Giả sử S = Arf (A) Khi đó ta nói rằng A là một hệ Arf các

phần tử sinh của S, và sẽ nói rằng A là hệ sinh Arf tối tiểu nếu không có một tập

con thực sự nào của A là một hệ Arf các phần tử sinh của S Đối với một nửa

nhóm số S, Arf (S) được gọi là bao đóng Arf (Arf closure) của S.

Mục đích chính của tiết này là trình bày tính duy nhất của hệ sinh Arf tốitiểu của nửa nhóm số Arf Trước hết, chúng tôi trình bày một mô tả của Arf(A).

Rõ ràng nếu cho trước tập con A ⊆ N với gcd (A) = l thì Arf (A) phải chứa tất

cả các phần tử dạng x + y - z với x, y, z ∈ <A> và x ≥ y ≥ z

2.1.5 Mệnh đề Giả sử S là một vị nhóm con của N Thế thì S’ = {x + y - z |

x, y, z ∈ S, x ≥ y ≥ z} là một vị nhóm con của N và S ⊆ S’.

theo định nghĩa của S’ Giả sử a, b ∈ S’ Khi đó tồn tại x1, x2, y1, y2, z1, z2 ∈ S,thỏa xi ≥ yi ≥ zi, i ∈{l, 2} và a = x1 + y1 - z1, b = x2 + y2 – z2 Khi đó a + b = (x1

+ x2) + (y1 + y2) - (z1 + z2) Vì S là một vị nhóm con của N nên x1 + x2, y1 + y2,

z1 + z2 ∈ S và x1 + x2 ≥ y1 + y2 ≥ z1 + z2 Từ đó a + b ∈ S’ và do đó S’ là vị

nhóm con của N (Chú ý 0 ∈ S và S ⊆ S’ nên 0 ∈ S’) ✷

2.1.6 Ký hiệu Giả sử S là một vị nhóm con của N và n ∈ N Ký hiệu :

• S0 = S,

• Sn+1 = (Sn )’

2.1.7 Mệnh đề Giả sử S là một nửa nhóm số Thế thì tồn tại k ∈ N sao cho Sk

= Arf (S).

mọi n ∈ N Theo Mệnh đề 2.1.5, Sn ⊆ Sn+1 và S ⊆ Sn với mọi n ∈ N Như đã

chú ý ở trên, số các nửa nhóm số chứa S là hữu hạn, từ đó Sk = Sk+1 với k ∈ N