Về các nửa nhóm giao hoán hấp thụ cấp hai và ứng dụng

Puczylowski cũng đã chứng minh được rằng, trong một vành giao hoán R thì tính hấp thụ cấp hai và tính hấp thụ cấp hai mạnh của nửa nhóm nhân S R là tương đương   và tương đương với

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Trường ĐẠI HỌC VINH

ĐỖ THỊ DIỄM

VỀ CÁC NỬA NHÓM GIAO HOÁN HẤP THỤ

CẤP HAI VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghê ̣ An – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Trường ĐẠI HỌC VINH

ĐỖ THỊ DIỄM

VỀ CÁC NỬA NHÓM GIAO HOÁN HẤP THỤ

CẤP HAI VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

Người hướng dẫn khoa ho ̣c PGS.TS LÊ QUỐC HÁN

Nghê ̣ An – 2014

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 IĐÊAN VÀ NỬA NHÓM ĐƠN 3

1.1 Iđêan trên nửa nhóm 3

1.2 Iđêan 0 – tối tiểu và nửa nhóm 0 - đơn 4

1.3 Nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn 7

Chương 2 NỬA NHÓM GIAO HOÁN HẤP THỤ CẤP HAI VÀ ỨNG DỤNG 14

2.1 Nửa nhóm giao hoán hấp thụ cấp hai 14

2.2 Tính hấp thụ của nửa nhóm nhân trong vành giao hoán 19

2.3 Về các vành hấp thụ cấp n và hấp thụ cấp n mạnh 24

KẾT LUẬN 27

TÀI LIỆU THAM KHẢO 28

MỞ ĐẦU

Năm 2007, A Badawi đã đưa ra khái niê ̣m vành hấp thu ̣ cấp hai như sau: Vành giao hoán R được gọi là vành hấp thụ cấp hai nếu đối với các phần tử tuỳ ý r1,r2,r3 của R sao cho r r r1 2 3 0 tồn tại i j, 1, 2,3, i j thoả mãn

nhóm với phần tử không thì các điều kiện   và   không tương đương A.Yousefian Darani và E R Puczylowski gọi nửa nhóm thoả mãn điều kiện

  là nửa nhóm hấp thụ cấp hai và nửa nhóm thoả mãn điều kiện   là nửa nhóm hấp thụ cấp hai mạnh A.Yousefian Darani và E R Puczylowski cũng

đã chứng minh được rằng, trong một vành giao hoán R thì tính hấp thụ cấp hai và tính hấp thụ cấp hai mạnh của nửa nhóm nhân S R là tương đương  

và tương đương với tính hấp thụ của vành R

Luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo trên để tìm hiểu các nửa nhóm hấp thụ cấp hai và các ứng dụng của nó trong việc mô tả một số lớp vành Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương

Chương 1 Iđêan và nửa nhóm đơn

Trong chương này, chúng tôi hệ thống các kiến thức về iđêan trong nửa nhóm để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau

Chương 2 Nửa nhóm hấp thụ cấp hai và ứng dụng

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và các tính chất của nửa nhóm hấp thụ cấp hai và nửa nhóm hấp thụ cấp hai mạnh Từ đó tìm hiểu mối liên hệ giữa tính hấp thụ cấp hai và hấp thụ cấp hai mạnh của một vành giao hoán R

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS

Lê Quốc Hán Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy

Tôi xin chân thành cám ơn quý Thầy cô khoa Toán Trường Đại học Vinh đã tận tình giảng dạy truyền đạt những kiến thức khoa học cho tôi trong thời gian học Cao học hai năm qua

Xin cảm ơn Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại học Vinh và Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm Đồng Tháp đã tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Do trình độ và thời gian có hạn, luận văn không thể tránh được những thiếu sót, mong được sự đóng góp ý kiến của Thầy cô và độc giả để bản luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, ngày tháng năm 2014

Tác giả

Chương 1 IĐÊAN VÀ CÁC NỬA NHÓM ĐƠN

1.1 Iđêan trên nửa nhóm

1.1.1 Định nghĩa Giả sử S là một tập con khác rỗng của nửa nhóm Khi đó

(i) I được gọi là một iđêan trái (tương ứng, phải) của S nếu SI I

1.1.2 Mệnh đề Giao của họ các iđêan của nửa nhóm S , nếu khác rỗng, là

một iđêan của nửa nhóm S

Chú ý rằng nếu S chứa phần tử không 0 thì giao đó luôn luôn khác

rỗng, vì nó chứa 0

1.1.3 Định nghĩa Giả sử X là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S Khi

đó giao của tất cả các iđêan của S chứa X là một iđêan của S Đó là iđêan nhỏ nhất của S chứa X và được gọi là iđêan sinh bởi X Ký hiệu X

Nếu X chỉ chứa một phần tử aS thì iđêan sinh bởi X được gọi là iđêan chính sinh bởi a và được ký hiệu bởi a

1.1.4 Định nghĩa và ký hiệu Giả sử I là một iđêan của S Ta định nghĩa

một quan hệ I trên S xác định bởi I   I I id s (nghĩa là xI y nếu và chỉ nếu ,x yI hoặc x y) Khi đó I là một tương đẳng trên S và được gọi là tương đẳng Rees trên S xác định bởi iđêan I

Nửa nhóm thương

I

S

 sẽ được ký hiệu bởi S I , và được gọi là

thương Rees của S theo modulo I Rõ ràng S

I có một phần tử là I và các

phần tử khác  x , với xS I\ Để đơn giản ký hiệu, chúng ta đồng nhất phần tử  x x với phẩn tử xS I\ Tích các phần tử trong thương Rees

như sau: x y xy  với x , y  I và Ix I xI với mọi xS Do đó I là

phần tử không của nhóm của nửa nhóm thương S

I

1.1.5 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Ta định nghĩa các quan hệ L ,

R, J sau đây trên S :

S a , 1

aS , 1 1

S aS tương ứng là các iđêan chính trái, iđêan chính phải

và iđêan chính của S sinh bởi a Khi đó ta chứng minh được RL = LR Đặt D

= L R (=R L ) và H = L R Thế thì L, R, J, D và H là các quan hệ tương

đương trên S Chúng được gọi là các quan hệ Green trên nửa nhóm S

Với mỗi aS, ký hiệu L - lớp tương đương bởi La Cũng như vậy, các

R - lớp, J - lớp, D - lớp hay H - lớp chứa a được ký hiệu bởi R a, Ja và Da

hay Ha

1.2 Iđêan 0 – tối tiểu và nửa nhóm 0 – đơn

1.2.1 Định nghĩa Giả sử S là nửa nhóm với phần tử không 0 Khi đó:

(i) Một iđêan hai phía (trái, phải) M của nửa nhóm S được gọi là iđêan hai phía (trái, phải) 0 – tối tiểu nếu M  0và 0 là iđêan hai phía (trái,

phải) duy nhất của S thật sự chứa trong M

(ii) S được gọi là nửa nhóm 0 – đơn (0 – đơn trái, 0 – đơn phải) nếu

2

0

S  và 0 là iđêan hai phía (trái, phải) thực sự duy nhất của S

Ta nhắc lại rằng nửa nhóm S với phần tử không 0 được gọi là nửa nhóm với phép nhân không nếu tích của hai phần tử tuỳ ý của nó bằng 0 Từ

đó nếu M là iđêan 0 – tối tiểu của S thì 2

M M hoặc M là nửa nhóm với phép nhân không Hơn nữa, giao của hai iđêan 0 – đơn tối tiểu bất kỳ của nửa

nhóm S bằng 0

Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm đơn (đơn trái, đơn phải) nếu S không

chứa iđêan thực sự hai phía (trái, phải) Định lý sau đây chứng tỏ rằng mỗi nửa nhóm 0 – đơn phải thu được từ nửa nhóm 0 – đơn phải bằng cách ghép thêm phần tử không

1.2.2 Định lý Nếu S là một nửa nhóm 0 – đơn phải (trái) thì \ 0 S là một nửa nhóm con đơn phải (trái) của S

Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng S \ 0 là một nửa nhóm con của

S , nghĩa là S không chứa các ước thực sự của không Giả thiết trái lại rằng

, \ 0

a bS nhưng a b 0 Tập tất cả các xS mà a x0 là một iđêan phải

của S chứa tập con  0,b  0, do đó phải trùng với S , nhưng khi đó  0, a là

một iđêan phải khác không của S , do đó  0, a S Thế thì 2

0

S  , trái với

giả thiết S là nửa nhóm 0 – đơn phải

Ta chứng tỏ nửa nhóm S\ 0 đơn phải Giả sử R là một iđêan đơn phải của

\ 0

S Vì R  nên R   0  0 Do đó R 0 S, nghĩa là RS\ 0 □

Kết quả sau đây chứng tỏ rằng giữa các nửa nhóm 0 – đơn và các nửa nhóm đơn ghép thêm phần tử 0 có những khác biệt sâu sắc

1.2.3 Định lý Giả sử S là nửa nhóm với phần tử 0 sao cho S  0 Khi đó

S là nửa nhóm 0 – đơn khi và chỉ khi SaS S đối với a0thuộc S

Chứng minh Giả thiết rằng S nửa nhóm 0 – đơn Giả sử B là tập tất cả các

phần tử bS sao cho SbS0 Khi đó B là một iđêan của S , do đó BS

hoặc B0 Trường hợp thứ nhất B S không xảy ra vì khi đó 3

0

S  , trong khi đó 2

S S nên 3 2

S S S Do đó B0, nghĩa là SaS0 với mỗi 0

a thuộc S

Đảo lại , giả thiết rằng SaS S đối mỗi a0 thuộc S Giả sử A là

một iđêan khác không của S và giả sử a là một phần tử khác không của A

Khi đó S SaS SAS A , nghĩa là A S Vì S 0 theo giả thiết nên S

chứa phần tử a0 Từ quan hệ bao hàm ASaSS2 suy ra S2 0 và do

đó S là nửa nhóm 0 – đơn.□

Bây giờ ta trình bày một số kết quả liên quan đến các iđêan 0 – tối tiểu

và nửa nhóm 0 – đơn

1.2.4 Định lý Giả sử M là iđêan (hai phía) 0 – tối tiểu của một nửa nhóm

S với phần tử 0 Khi đó hoặc M2 0 hoặc M là nửa nhóm con 0 – đơn của

M M MS aS M MaM M Từ đó MaM M và nửa nhóm M

là nửa nhóm 0 – đơn theo Định lý 1.2.2.□

Chú ý rằng nếu A và B là các iđêan hai phía của một nửa nhóm S thì

ABBvà ABA , từ đó S không chứa quá một iđêan tối tiểu hai phía Nếu

S có một iđêan tối tiểu hai phía K thì K được gọi là hạt nhân của S Vì K

được chứa trong mọi iđêan hai phía của S nên K là giao của mọi iđêan hai

phía của S Nếu giao đó rỗng thì S không có hạt nhân, trường hợp đó xảy ra

chẳng hạn đối với nửa nhóm xyclic vô hạn Hơn nữa mọi nửa nhóm hữu hạn đều có hạt nhân Từ Định lý 1.2.4 trực tiếp suy ra

1.2.5 Hệ quả Nếu nửa nhóm S chứa hạt nhân K thì K là nửa nhóm con đơn

của S

1.2.6 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử 0 và M là một iđêan tối tiểu của nó chứa ít nhất một iđêan trái 0 – tối tiểu của S Khi đó M là hợp của tất cả các iđêan trái 0 – tối tiểu của S chứa trong M □

Chứng minh Giả sử A là hợp của tất cả các iđêan trái 0 – tối tiểu của S chứa

trong M Ta chứng tỏ rằng AM Rõ ràng A là một iđêan trái của S Để

chứng minh A là một iđêan phải của S , ta giả sử aA c, S Theo định nghĩa của A , aL trong đó L là một iđêan trái 0 – tối tiểu của S chứa trong

M Thế thì Lc0 hoặc Lc là iđêan 0 – tối tiểu của S Hơn nữa

LcMcM và bởi vậy LcA Do đó acA A; 0 vì M chứa ít nhất một

iđêan trái 0 – tối tiểu của S Từ đó A là iđêan hai phía khác không của A

chứa trong M nên AM do tính 0 – tối tiểu của M

1.2.7 Định lý Giả sử M là một iđêan trái 0 – tối tiểu của nửa nhóm S với phần tử 0 sao cho 2

0

M  Giả thiết rằng M chứa ít nhất một iđêan trái 0 – tối tiểu của S Khi đó mỗi iđêan trái của M cũng là iđêan trái của S

Chứng minh Giả sử L là một iđêan trái khác không của M và aL\ 0 Khi

đó Ma0 Thực vậy, nửa nhóm M là 0 – đơn theo Định lý 1.2.6, vì vậy

MaM M theo Định lý 1.2.3

Theo Định lý 1.2.6, tồn tại một iđêan trái 0 – tối tiểu L của S sao cho 0

0

a L M Vì Ma là một iđêan trái khác không của S chứa trong L nên 0

ta kết luận rằng MaL0 và đặc biệt aMa Do đó L Ma a\ L

Nhưng hợp của các iđêan trái của S cũng là một iđêan trái của S □

1.3 Nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn

1.1.3 Định nghĩa Một quan hệ hai ngôi  trên một tập X được gọi là một

quan hệ thứ tự nếu thoả mãn các điều kiện:

i)  phản xạ, nghĩa là aa với mọi aX ;

ii/  phản đối xứng, nghĩa là ab và ba kéo theo ab;

iii)  bắc cầu, nghĩa là ab và bc kéo theo ac

1.3.2 Ví dụ Giả sử E là tập hợp tất cả các luỹ đẳng của nửa nhóm S Khi đó

quan hệ  cho bởi e f nếu và chỉ nếu ef  fee là một quan hệ thứ tự trên E Thật vậy, vì e2 e nên ee , do đó  phản xạ Giả sử e f và

f e Khi đó f=fe=ee và feef=f nên e=f , vậy  phản đối xứng Cuối

1.3.3 Định nghĩa

(i) Giả sử S là một nửa nhóm và  là thứ tự tự nhiên trên E, tập các

luỹ đẳng của S Nếu S chứa phần tử 0 thì 0e với mỗi eE Luỹ đẳng f được gọi là luỹ đẳng nguyên thuỷ nếu f 0 và nếu e f kéo theo e0 hoặc

e f

(ii) Nửa nhóm S với phần tử 0 được gọi là nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn nếu S là nửa nhóm 0 – đơn và chứa luỹ đẳng nguyên thuỷ

1.3.4 Ví dụ Nếu S là nửa nhóm 0 – đơn hữu hạn thì S là nửa nhóm

0 – đơn hoàn toàn Thật vậy, vì S là hữu hạn nên S chứa luỹ đẳng khác

không Thật vậy, nếu trái lại, E0 nên mỗi phần tử của S là phần tử luỹ linh (nghĩa là với mọi aS, tồn tại một số nguyên dương n sao cho n 0

a  ) Vì

S hữu hạn nên S luỹ linh (nghĩa là tồn tại số nguyên dương m sao cho

0

m

a  ), trái với giả thuyết 2

S S và S0(vì S là nửa nhóm 0 – đơn) Khi

đó tập hữu hạn sắp thứ tự \ 0E chứa một phần tử tối tiểu chính là luỹ đẳng nguyên thuỷ

1.3.5 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm 0 – đơn Khi dó S là một nửa

nhóm 0 – đơn hoàn toàn khi và chỉ khi S chứa ít nhất một iđêan trái 0 – tối tiểu và một iđêan phải 0 – tối tiểu

Chứng minh Nếu S là nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn thì nó chứa luỹ đẳng nguyên thuỷ e Hơn nữa LSe và ReS tương ứng là các iđêan trái và

iđêan phải 0 – tối tiểu của S

Đảo lại, giả sử S chứa ít nhất một iđêan trái 0 – tối tiểu và ít nhất một iđêan phải 0 – tối tiểu của S Giả sử L là một iđêan trái 0 – tối tiểu của S

Thế thì tồn tại một iđêan phải 0 – tối tiểu R của S sao cho R L 0, theo [1;

Bổ đề 2.47] Khi đó theo [1; Bổ đề 2.46], S chứa luỹ đẳng nguyên thuỷ và vì vậy S là nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn □

Từ Định lý 1.2.5 và Định lý 1.2.4 trực tiếp suy ra

1.3.6 Hệ quả Một nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn là hợp của các iđêan trái

(phải) 0 – tối tiểu của nó

1.3.7 Hệ quả Giả sử M là một iđêan 0 – tối tiểu của một nửa nhóm S sao cho 2

0

M  Ngoài ra, giả thiết rằng M chứa ít nhất một iđêan trái 0 – tối tiểu của S và chứa ít nhất một iđêan 0 – tối tiểu của S Khi đó M là một nửa nhóm con 0 – đơn hoàn toàn của S

Chứng minh Theo Định lý 1.2.4, M là một nửa nhóm 0 – đơn của S Theo Định lý 1.2.6, mỗi iđêan trái (phải) 0 – tối tiểu của S chứa trong M cũng là một iđêan trái (phải) 0 – tối tiểu của M . Khi đó theo Định lý 1.3.5, M là nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn.□

iii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quy nếu mọi phần tử của

S đều là phần tử chính quy (nghĩa là với mọi aS , tồn tại xS sao cho

nào đó của S Thế thì L Sa và R bS Hơn nữa La L \0 và Rb R \0 ,

trong đó Lavà Rb là các L - lớ p chứa a và R - lớp chứa b tương ứng Vì

aL và bR nên baSa RL Vì S là nửa nhóm 0 – đơn và nên

SaS S và SbS S Do đó 2

SS SbSSaS S bSa S  nên bSa0 Vì

RbLachứa tâ ̣p con khác rỗng bSa\ 0 nên ta kết luận a Db Vâ ̣y S là nửa

nhóm 0 – song đơn

Theo định nghĩa của nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn , D - lớp \ 0S chứ a lũy đẳng nguyên thủy Hơn nữa mỗi phần tử thuô ̣c \ 0S đều là phần tử chính quy Vì 0 cũng là phần tử chính quy nên S là nửa nhóm chính quy.□

1.3.10 Đi ̣nh nghi ̃a Nửa nhóm bicyclic CCp q,  là nửa nhóm với đơn vị , sinh bởi hai ký hiê ̣u ,p q và cho bởi hệ thứ c xác đi ̣nh pq1

1.3.11 Định nghĩa

i) Hai phần tử a và b của nửa nhóm S được gọi là ngược nhau nếu

,

abaa babb

ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm ngược nếu mỗi phần tử thuộc S

có một phần tử ngược duy nhất

1.3.12 Định lý Nửa nhóm bicyclic C Cp q,  là một nửa nhóm ngược song đơn chứa đơn vi ̣ Các lũy đẳng của nó là các phần tử n n

n

e q p n0,1,2  Chúng thỏa mãn các bất đẳng thức 1   e0 e1 e n e n1  vì vậy C không chứa lũy đẳng nguyên thủy

Chứng minh Ta biết rằng tích hai phần tử k l

Chú ý rằng i k Do đó i k nếu i j

q p thuộc iđêan chính phải  k l

R q p sinh

bởi phần tử k l

q p Đảo lại , nếu ik thì i j  k l

q p R q p chỉ cần lấy ,

Từ đó suy ra rằng Rlớp chứ a k l

q p trùng với dòng thứ q p Tương k l

tự L - lớp chứa k l

q p trùng với cột thứ l1 Vậy các R - lớp của nửa nhóm C

là các dòng, còn các L - lớp là các cột của bảng Do đó H - lớp các của nửa

nhóm C là các tập gồm một phần tử Vì mỗi R - lớp đều giao với mỗi H -

lớp nên D - lớp duy nhất của C chính là C , vì vậy C là nửa nhóm song đơn

Bây giờ giả thiết rằng m n

Vì C chứa lũy đẳng và chỉ gồm D - lớp nên C là nửa nhóm chính quy

Hơn nữa với e e m n  e n e e n m nên các lũy đẳng của C giao hoán với nhau , và

do đó C là nửa nhóm ngược □

Đi ̣nh lý sau đây chứng tỏ rằng mô ̣t nửa nhóm 0 – đơn (nhưng không phải là nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn) chứa lũy đẳng có thể hình dung như mô ̣t lưới các nửa nhóm bicyclic

1.3.13 Đi ̣nh lý Nếu e là một lũy đẳng khác 0 tùy ý của một nửa nhóm 0 –

đơn hoàn toàn S không phải là 0 – đơn hoàn toàn, thì S chứa một nửa nhóm con bicyclic trong đo ́ e là đơn vị

Chứng minh Lũy đẳng e không nguyên thủy vì trái la ̣i thì S là nửa nhóm 0 –

đơn hoàn toà n Do đó tồn ta ̣i lũy đẳng khác không f S sao cho e f ,

nghĩa là ef  fe f và e f Vì f 0 và S là nửa nhóm 0 – đơn nên SeS S, do đó tồn ta ̣i ,x y S sao cho x ey  e Đặt xex f và y fy e ta được

exxf x , fy ye y , và xye

Giả sử g  yx Khi đó

2

=yex=yx=g

g  yxyx ,

fg  fyx=yx=g, gf  yxf=yx=g

Vâ ̣y g f Vì f e nên ge

Vì e là đơn vị hai phía đối với x và y nên theo Bổ đề 1.31[1], , x y là nửa nhóm con bicyclic của S với đơn vi ̣ là e □

1.3.14 Đi ̣nh lý Một nửa nhóm 0 – đơn S là 0 – đơn hoàn toàn khi và chỉ khi

một lũy thừa nào đó của mỗi phần tư ̉ thuộc S nằm trong nhóm con của S Chứng minh Nếu S là nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn thì theo Đi ̣nh lý 2.5.2 (i) [1], bình phương của mỗi phần tử thuộc S nằm trong mô ̣t nhóm con của S

Đảo la ̣i, giả sử một lũy thừa nào đó của mỗi phần tử thuô ̣c S nằm trong

mô ̣t nhóm con của S Trước hết ta chứng tỏ rằng trong S không tồn ta ̣i phần

tử không lũy linh Giả sử a0 và aS Khi đó , a SaS , vì vậy a xay

với ,x y nào đó thuộc S Nhân bên tra ́i với x và bên phải với y một số lần ta

được n n

a x ay vớ i mỗi số nguyên dương n Vì a0 nên n 0

x  vớ i mỗi n , nên x không lũy linh

Nửa nhóm S phải chứa lũy đẳng khác không Thâ ̣t vâ ̣y, nếu x là phần tử không lũy linh thuô ̣c S thì (theo giả thiết), n

x thuô ̣c mô ̣t nhóm con G của

S vơ ́ i n là số nguyên dương nào đó và đơn vị của G khác 0

Giả sử e là lũy đẳng khác không của S Nếu S là nửa nhóm 0 – đơn

không phải là 0 – đơn hoàn toàn thì theo Đi ̣nh lý 1.3.13, S chứa nửa nhóm

con bicyclic p q, với đơn vi ̣ e , trong đó pq e và qpe

Ta chứng tỏ điều này không thể xảy ra

Theo giả thiết, phần tử n

p thuô ̣c mô ̣t nhóm con G nào đó của S với n thích hợp Giả sử f là đơn vị của nhóm con đó , còn r là phần tử nghịch đảo của