Tích chất mở rộng tương đẳng đối với các nửa nhóm iđêan luận văn thạc sỹ toán học

Nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng tương đẳng CEP nếu thoả mãn điều kiện: với mỗi nửa nhóm T của S và mỗi tương đẳng  trên T, tồn tại một tương đẳng  trên S sao cho  TT  

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LẠI THỊ HƯƠNG LAN

TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TƯƠNG ĐẲNG ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHÓM IĐÊAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An 2011

MỤC LỤC

TrangMỤC LỤC

1.1 Tương đẳng và nửa nhóm thương 3

1.3 Băng và nửa dàn Nửa nhóm giao hoán 10

Chương 2 Nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng

LỜI NÓI ĐẦU

Khái niệm nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng đã được đưa

ra bởi A R Stralka năm 1972

Nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng tương đẳng (CEP) nếu thoả mãn điều kiện: với mỗi nửa nhóm T của S và mỗi tương đẳng 

trên T, tồn tại một tương đẳng  trên S sao cho  (TT)   Từ đó đếnnay, rất nhiều lớp nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng đã đượcnghiên cứu: như nửa nhóm xyclic, nửa nhóm giao hoán

Luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo The congruence

extention property for algebraic semigroups của tác giả I J Garcia

đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 43 năm 1991 (xem [7]) để tìmhiểu lớp nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng, đó là lớpnửa nhóm thoả mãn định nghĩa sau:

Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm iđêan nếu với mỗi tương đẳng

 trên S đều tồn tại một iđêan I của S sao cho   (II)  S, trong đó S

là tương đẳng đồng nhất của S: (a,b)  S  ab

Ngoài ra, chúng tôi cũng tìm hiểu lớp nửa nhóm có tính chất mở

rộng iđêan nghĩa là lớp nửa nhóm thoả mãn định nghĩa :

Nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng iđêan (IEP) nếu với mỗi nửa nhóm con T của S và mỗi iđêan I của T tồn tại một iđêan J của S

sao cho I JT

Luận văn được chia làm hai chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản của

lý thuyết nửa nhóm: tương đẳng và nửa nhóm thương, nửa nhóm xyclic,băng và nửa dàn để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau

Chương 2 Nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng và tính chất mở rộng iđêan.

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày các nửa nhómgiao hoán và nửa nhóm giao hoán iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng.Sau đó chúng tôi trình bày các nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộngiđêan

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh,dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này tôi xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Lê Quốc Hán người thầy đã hướng dẫn,chỉ dạy tận tình để tôi hoàn thành luận văn này

Trong quá trình học tập và viết luận văn, tôi cũng nhận được sựgiúp đỡ tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Đại số - KhoaToán - Trường Đại học Vinh và Khoa Đào Tạo Sau đại học Trường Đạihọc Vinh và các bạn lớp cao học 17 chuyên ngành Đại số và lý thuyết số Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục và Đào tạo ThanhHoá, Ban giám hiệu, tổ toán và đồng nghiệp trường THPT Trần Phú, giađình và những người thân đã cùng chia sẻ, giúp đỡ, động viên và tạo mọiđiều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập và luận văn tốtnghiệp cuối khoá

Cuối cùng, do khả năng còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏinhững thiếu sót, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các quýthầy giáo, cô giáo cùng tất cả các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 11 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tương đẳng và nửa nhóm thương

1.1.1 Định nghĩa Giả sử S là nửa nhóm và  là một quan hệ trên S Khi

đó  được gọi là ổn định bên phải (trái) nếu a b (a,bS) kéo theo ac

bc (ca cb), với mọi cS.

Quan hệ  được gọi là tương đẳng phải (trái) nếu  là quan hệ tươngđương và ổn định phải (trái) Quan hệ  được gọi là một tương đẳng trên

S nếu  vừa là tương đẳng phải, vừa là tương đẳng trái

1.1.2 Nửa nhóm thương Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm S.

Khi đó  là quan hệ tương đương trên S, do đó có thể xét tập thương S / ,

tức là tập các lớp tương đương của S theo mod Giả sử A, B là hai phần

tử tuỳ ý của S / Nếu a1,a2 A và b1,b2 B Khi đó từ a1  a2 suy

ra a1b1  a2 b1(vì  ổn định bên phải) Từ b1  b2 suy ra a2b1 (vì  ổn định bên trái) Theo tính chất bắc cầu của  suy ra a1b1  a2b

2 Do đó, tích AB của các lớp A và B được chứa trong một lớp tương

đương C nào đó Định nghĩa phép nhân () trong S / bằng cách đặt AB

= C Từ tính chất kết hợp trong S suy ra tính kết hợp trong S / , và do đó

S / trở thành nửa nhóm Nửa nhóm S / được gọi là nửa nhóm thương của S theo mod

Nếu S là nửa nhóm giao hoán thì S / cũng là nửa nhóm giao hoán

Nếu S là vị nhóm với đơn vị e thì S / là vị nhóm với đơn vị là e

Ta ký hiệu a (aS) là lớp tương đương theo mod chứa a Điều đã nói

trong định nghĩa trên của phép toán () có nghĩa đơn giản là a b =

(ab) với mọi a,bS.

1.1.3 Đồng cấu Giả sử  : S  S ’ là ánh xạ từ nửa nhóm S vào nửa nhóm

S ’ Khi đó được gọi là đồng cấu nửa nhóm nếu  (ab)   (a)  (b), với

mọi a, bS.

Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm S Khi đó ánh xạ tự nhiên



 từ S lên S / xác định bởi 

 (a) = a là một đồng cấu nửa nhóm, nó

được gọi là đồng cấu tự nhiên (hay chính tắc) từ nửa nhóm S lên nửa nhóm

S /

Như vậy, mỗi nửa nhóm thương của nửa nhóm S là một ảnh đồng cấu

của nó Định lý sau đây chứng tỏ rằng, đảo lại, mỗi ảnh đồng cấu của nửa

nhóm S đẳng cấu với một nửa nhóm thương nào đó của nó Như vậy, nếu ta

không phân biệt các nửa nhóm đẳng cấu với nhau, thì bài toán bên ngoài về

việc tìm tất cả các ảnh đồng cấu của nửa nhóm S đã cho được chuyển về bài toán bên trong tìm tất cả các tương đẳng trên S.

1.1.4 Định lý (Định lý cơ bản về đồng cấu) Giả sử  là một đồng cấu từ nửa nhóm S lên nửa nhóm S ’ và giả sử   1  , nghĩa là a b (a,bS) khi và chỉ khi  (a)   (b) Thế thì  là một tương đẳng trên S và tồn tại đẳng cấu  từ nửa nhóm S / lên S ’ sao cho    



 trong đó  là đồng cấu tự nhiên từ S lên S /

Chứng minh Nếu a b và cS thì  (ac)   (a)  (c)   (b)  (c)   (bc),

từ đó ac bc Tương tự, ca cb Vì  hiển nhiên là một quan hệ tương

đương trên S, nên nó là tương đẳng Đối với mỗi phần tử A thuộc nửa nhóm

Từ đó a b và vì vậy A = B Như vậy là đẳng cấu từ S / lên S’.

Nếu a A  S/  thì  (a ) A

 Thành thử  (a)   (a)   (   (a))      (a)

Vì điều này đúng với mọi aS nên ta kết luận rằng 





   □

1.1.5 Chú ý Giả sử H là một nhóm con của nhóm G, thế thì quan hệ 

trên G, xác định bởi a b (a,bG) khi và chỉ khi ab 1 H, là một tương

đẳng phải trên G, và mọi tương đẳng phải trên G đều thu được bằng cách

đó Các lớp tương đương của  là các tập Ha với aG Quan hệ  là

tương đẳng khi và chỉ khi H là chuẩn tắc trong G Trong trường hợp S là

nửa nhóm tuỳ ý, các tương đẳng nói chung không được xác định bởi mộtlớp nào trong các lớp của nó (hoặc “hạt nhân”) như đối với một nhóm Tuynhiên, có một số loại tương đẳng có thể xác định như vậy Chẳng hạn, mỗitương đẳng  mà S / là một nhóm (hoặc nhóm với phần tử không) được

xác định bởi lớp là phần tử đơn vị của nhóm (hoặc nhóm với phần tửkhông)

1.1.6 Định lý (Định lý về đồng cấu cảm sinh) Giả sử  1 và  2 là các đồng cấu từ nửa nhóm S tương ứng lên các nửa nhóm S1và S2 sao cho

2

1 2

Tính duy nhất của  là hiển nhiên Thật vậy, nếu  thoả mãn hệthức    1   2 thì bắt buộc phải xác định như đã làm ở trên.□

1.1.7 Hệ quả Nếu  1và  2 là các tương đẳng trên nửa nhóm S sao cho

1

     TheoĐịnh lý 1.1.6, tồn tại đồng cấu  từ nửa nhóm S1 lên nửa nhóm S2.□

1.1.8 Nguyên tắc ảnh đồng cấu tối đại kiểu đã cho.

Dễ thấy rằng giao của một họ tuỳ ý các tương đẳng trên nửa nhóm

S cũng là tương đẳng trên S Nguyên tắc sau đây do Tamura và Kimura nêu

lên năm 1954

1.1.8.1 Mệnh đề Giả sử c là một tính chất trừu tượng của nửa nhóm, tức là một tính chất sao cho nếu một trong hai nửa nhóm đẳng cấu với nhau có tính chất c thì nửa nhóm kia cũng có tính chất đó Ta nói tương đẳng  trên nửa nhóm S có kiểu c nếu S/  có tính chất c Giả thiết rằng giao  của tất cả các tương đẳng  trên S có kiểu c cũng có kiểu c Thế thì S/ là ảnh đồng cấu tối đại của S có tính chất c và mỗi ảnh đồng cấu của nửa nhóm S có tính chất c là ảnh đồng cấu nửa nhóm S / .

Chứng minh Nếu T là ảnh đồng cấu của nửa nhóm S có tính chất

c , thì theo Định lý cơ bản về đồng cấu nửa nhóm, có T  S/  , với tươngđẳng  nào đó trên S Vì theo giả thiết, c là một tính chất trừu tượng, nên

1.1.8.2 Chú ý Xem như các ví dụ áp dụng nguyên tắc trên, ta hãy chú ý

tới các sự kiện sau:

(1) Mỗi nửa nhóm có ảnh đồng cấu nửa nhóm tối đại

(2) Mỗi nửa nhóm có ảnh đồng cấu giao hoán tối đại

Có thể thay thế trong (2) từ “giao hoán “ bởi từ “luỹ đẳng hoặc

“với luật giản ước” hoặc bởi một tổ hợp tuỳ ý ba tính chất đó Cho đến nayviệc khảo sát thành công nhất là đối với trường hợp “giao hoán và luỹđẳng” Đó là kiểu thứ nhất được Tamura và Kimura xét năm 1954 Tuynhiên, cần lưu ý rằng không phải mọi nửa nhóm đều có ảnh đồng cấunhóm tối đại (Kimura đã chỉ ra điều đó trong một bài báo của mình vàonăm 1958)

1.1.9 Tương đẳng sinh bởi một quan hệ cho trước.

Vì tương đẳng có một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết nửanhóm, do đó người ta thường quan tâm đến việc xây dựng các tương đẳngthoả mãn một số tính chất nào đó Sau đây ta nêu lên cách xây dựng tươngđẳng sinh bởi một quan hệ cho trước

Giả sử  0 là quan hệ tuỳ ý trên nửa nhóm S, khi đó tồn tại ít nhất một tương đẳng trên S chứa  0, đó là quan hệ phổ dụng  SxS Do đó,tồn tại giao  của tất cả các tương đẳng trên S chứa  0, ta gọi  là tương

đẳng sinh bởi quan hệ  0

Ta sẽ mô tả  một cách chi tiết hơn Giả sử 1 0 01i

Đặt a 2b (a,bS) khi và chỉ khi a = xcy, b = xdy và c1d với c, d nào đó thuộc S và x, y nào đó thuộc 1  1



S

S Ta gọi việc chuyển từ a đến b hoặc

ngược lại là  0- bắc cầu sơ cấp Rõ ràng quan hệ  2 là phản xạ, đối xứng

và ổn định, hơn nữa 0 1 2  Cuối cùng, bao đóng bắc cầu t

2

quan hệ  2 là tương đẳng trên S được chứa trong  và do đó bằng 

Như vậy, a b khi và chỉ khi tồn tại các phần tử c 1 , c 2 , , c n  S sao cho

1

2c

a , c1  2c2, , c n2b Ta tóm tắt những điều đã nói vào định lý sau đây

1.1.10 Định lý Giả sử  0là một quan hệ trên nửa nhóm S và  là một tương đẳng trên S, sinh bởi  0 Thế thì a b (a,bS) khi và chỉ khi b có thể thu được từ a bằng một dãy hữu hạn  0- bắc cầu sơ cấp.

1.2 Nửa nhóm xyclic

1.2.1 Định nghĩa Giả sử S là nửa nhóm và a là một phần tử tuỳ ý của S.

Khi đó nửa nhóm con a  của S gồm tất cả các luỹ thừa nguyên dương

a Với mỗi aS chỉ có hai khả năng xảy ra

i) Hoặc mỗi luỹ thừa của a đều khác nhau, khi đó a có cấp vô hạn

(đếm được)

ii) Hoặc tồn tại các số nguyên r và s với r < s sao cho a  r a s.Khi

đó a có cấp hữu hạn

Giả sử s là số nguyên dương bé nhất sao cho a S là luỹ thừa của

phần tử a bằng một luỹ thừa bé hơn nào đó của phần tử đó Thế thì a  r a s,

với r nào đó bé hơn s (r là số nguyên dương duy nhất có tính chất này).

Đặt m = s - r, khi đó a r a mr

 Trong trường hợp này m được gọi

là chu kỳ, r là chỉ số của phần tử a hay của nửa nhóm xyclic hữu hạn



a .

1.2.2 Mệnh đề Giả sử a là một phần tử của nửa nhóm S và a  là

nửa nhóm con xyclic sinh bởi a Nếu a  là nửa nhóm xyclic vô hạn

thì mọi luỹ thừa của phần tử a đều khác nhau Nếu a  là nửa nhóm

xyclic hữu hạn với chỉ số r và chu kỳ m thì a mr a r và a = {a, a 2 , ,

a m+r+1 } Khi đó cấp của nửa nhóm con a  bằng m + r - 1.

Tập K a = { a r , a r + 1 , , a r + m - 1 } là nhóm con xyclic cấp m của nửa nhóm S.

Chứng minh Với a = { a, a2, a3, }

+) a  là nửa nhóm xyclic vô hạn, từ định nghĩa suy ra sốphần tử của nửa nhóm a  là vô hạn Vì vậy mọi luỹ thừa của a đềukhác nhau

+) a  là nửa nhóm xyclic hữu hạn với chu kỳ m, chỉ số r.

Theo định nghĩa, tồn tại hai số nguyên dương r và s sao cho a  r a s

Do m là chu kỳ nên m = s - r, khi đó a r a mr ; và vì các phần tử a,

1

2 , ,a s

a khác nhau nên suy ra

a = { a, a2, , a s - 1 } = { a, a2, , a r , a r + 1 , a r + m - 1 } Vậy a  có cấp bằng r + m - 1.

+) Tập K a = { a r , a r + 1 , , a r + m - 1 } là nửa nhóm con xyclic cấp m của nửa nhóm S Thật vậy, hiển nhiên K a là nửa nhóm con của nửa nhóm

S Ta đặt a nK a(rnrm 1 ) Xét ánh xạ a n m n

 ) ( : 

 , trong đó (m) + n

là lớp thặng dư các số nguyên theo mod m chứa n Rõ ràng  là một đẳngcấu từ K a lên nhóm cộng /(m)tất cả các lớp thặng dư theo mod m Từ

đó suy ra K a là nhóm con xyclic cấp m của nửa nhóm S.□

1.2.3 Mệnh đề Giả sử S =a  là nửa nhóm xyclic hữu hạn với chu

kỳ m và chỉ số r; n là số tự nhiên thoả mãn rnmr và n  o (mod m) Khi đó a n là đơn vị của nhóm con tối đại K a = { a r , a r + 1 , , a r + m - 1 }

Chứng minh Xét ánh xạ  :K  a Z m

a h h

Khi đó  là một đẳng cấu nhóm và

0 0

) (

) (mod

h 

 với 0 hmr.□

1.3 Băng và nửa dàn Nửa nhóm giao hoán

Trước hết ta nhắc lại rằng một quan hệ thứ tự  trên một tập X được gọi là một thứ tự bộ phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng, và bắc cầu.

Ta sẽ dùng ký hiệu a < b để chỉ a  b và a  b

1.3.1 Bổ đề Giả sử E là tập hợp tất cả các tương đẳng của nửa nhóm S.

Khi đó quan hệ  xác định trên E bởi :

) ,

e ef fg e

i, Phần tử b  X được gọi là cận trên của Y nếu y  bvới mọi y  Y ;

ii, Cận trên b của Y được gọi là cận trên bé nhất hay hợp của tập Y,

nếu b  c với mọi cận trên c của Y (Nếu Y có một hợp trong X, thì rõ ràng

hợp đó là duy nhất);

iii, Phần tử a X được gọi là cận dưới của Y nếu a  y với mọi

Y

iv, Cận dưới a của Y được gọi là cận dưới lớn nhất hay giao của Y

nếu d  a với mọi cận dưới d của Y (Nếu Y có một giao trong X,

thì rõ ràng giao đó cũng là duy nhất);

v, Tập sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên (hay dưới), nếu mỗi tập con gồm hai phần tử {a, b} của X có hợp (hay giao) trong X; trong trường hợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp (hay giao) trong

X Hợp (giao) của {a, b} sẽ được ký hiệu là a  b (hay a  b);

vi, Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn

trên và nửa dàn dưới;

vii, Dàn X được gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con X có một hợp và

một giao

1.3.4 Ví dụ 1, Giả sử X là tập tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S

bổ sung thêm tập rỗng Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của lý thuyết tập hợp Vì giao của một tuỳ ý các nhóm con của S hoặc

là rỗng, hoặc là một nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ Giao của một tập con Y của X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y, trong lúc đó hợp của Y là nửa nhóm cảm sinh bởi hợp theo

lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y Tất cả các lý luận trên vẫn có hiệu lực, nếu ta thay thế từ “nửa nhóm con hay tập rỗng của S” bởi từ

“tương đẳng trên S”.

2, Tập tất cả các iđêan trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S bổ

sung thêm tập rỗng, đóng đối với phép hợp cũng như giao, nên là một dàn

con con đầy đủ của đại số Boole tất cả các tập con của S.

1.3.5 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là một băng nếu mọi phần tử của

S đều là luỹ đẳng.

Giả sử S là một băng Khi đó, S = E và S được sắp thứ tự bộ phận

tự nhiên (ab(a,bS) nếu và chỉ nếu ab = ba = a).

1.3.6 Mệnh đề Một băng giao hoán là một nửa dàn dưới đối với thứ tự

bộ phận tự nhiên trên S Giao a  b của hai phần tử a và b của S trùng với

tích ab của chúng Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với phép giao.

Chứng minh Theo Bổ đề 1.3.1, quan hệ  là một thứ tự bộ phận

trên S ( = E) Ta chứng tỏ rằng tích ab ( = ba) của hai phần tử a, bS trùngvới cận dưới lớn nhất của {a, b}

Từ (ab)a = a(ab) = aab =a2b = ab và a(ab) = (aa)b = a2b = ab

suy ra ab a Tương tự ab b nên ab là cận trên của {a, b} Giả sử ca

và c b Thế thì (ab)c = a(bc) = ac = c, và tương tự, c(ab) = c, từ đó c

ab Do đó ab là cận dưới lớn nhất của {a, b} Từ đó S là nửa dàn dưới.

Mệnh đề đảo là hiển nhiên.□

1.3.7 Chú ý Giả sử S là một băng gíao hoán Khi đó nếu đặt ab

khi và chỉ khi ab ( = ba) = b thì (S, ) là nửa dàn trên Tuy nhiên, để chothống nhất, ta giữ định nghĩa nêu trong 1.3.5 Từ đây về sau, ta sẽ dùng nửadàn như đồng nghĩa với từ băng giao hoán Hơn nữa, từ nửa dàn sẽ được

ngầm hiểu là nửa dàn dưới, nếu không nói thêm gì.

1.3.8 Ví dụ Giả sử X và Y là hai tập hợp tuỳ ý S = XY là tích Decartes

của X và Y Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt (x1,y1)

(x2,y2) = (x1,y2) với x1, x2X; y1, y2Y Tính kết hợp và luỹ đẳng của phép

toán đó là hiển nhiên

Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập XY Lý do của tên gọi đó như sau:

Ta hãy tưởng tượng XY là một bảng chữ nhật gồm các điểm, trong

đó điểm (x,y) nằm ở dòng x cột y của bảng Thế thì a1= (x1,y1) và a2=(x2,y2)

là hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật, mà hai đỉnh kia là a1a2 = (x1,y2) và

a2a1= (x2,y1) Các băng chữ nhật trên XY và X/Y/ đẳng cấu với nhau nếu

và chỉ nếu X  X/ và Y  Y/

Nếu X  1, Y  1 thì băng chữ nhật trên XY đẳng cấu với nửa

nhóm các phần tử không bên phải

1.3.9 Định nghĩa Nếu nửa nhóm S được phân chia thành hợp của các nửa

nhóm con rời nhau S,  I (I là tập hợp các chỉ số nào đó ) thì ta nói rằng

S phân tích được thành các nửa nhóm con S,  I

Chú ý rằng sự phân tích trên chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con



S thuộc vào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn S.

Giả sử S  S,  I là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho với

mọi cặp  ,  I tồn tại  Iđể cho S S  S Ta định nghĩa một phép toán

đại số trong I bằng cách đặt     nếu S S  S, khi đó I trở thành một băng đối với phép toán đó.Ta nói rằng S là hợp băng I các nửa nhóm S .

Ánh xạ  :S  I xác định bởi (a)   nếu a S là một toàn cấu

và các nửa nhóm con S là các lớp của tương đẳng hạt nhân Ker Đảolại, nếu  là một toàn cấu từ một nửa nhóm S lên một băng I thì ảnh ngược

S của mỗi phần tử  I là một nửa nhóm con của S và S là hợp

của nửa dàn I các nửa nhóm S,  I

Ta nhắc lại rằng một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm giao

hoán, nếu phép toán trên S thoả mãn abba, a,bS

1.3.10 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán Khi đó S được

gọi là nửa nhóm Acsimet nếu a,bS , tồn tại các số nguyên dương m và

n sao cho a m = bx và b n = ay với x, y nào đó thuộc S.

1.3.11 Định nghĩa Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm S Khi đó

 được gọi là luỹ đẳng nếu S/  là một băng

1.3.12 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán tuỳ ý Ta xây

dựng quan hệ  trên S như sau: ab (a, b S) nếu và chỉ nếu tồn tại các

số nguyên dương m, n và các phần tử x, y  S sao cho a m = b.x, b n = a.y.

1.3.13 Định lý Quan hệ  trên một nửa nhóm giao hoán S là một tương đẳng trên S và S/  là ảnh đồng cấu của nửa nhóm tối đại S.

Chứng minh Rõ ràng quan hệ  là phản xạ và đối xứng Để chứngminh  bắc cầu, giả sử ab và bc (a, b, c  S) Khi đó b m = a.x và c n =

b.y với m, n là các số nguyên dương và x, y S Vì S giao hoán nên c n.m =

(by) m = b m y m = axy m hay a \ c nm Tương tự, c chia hết một luỹ thừa nào đó của a và do đó a c Để chứng minh  ổn định, giả sử a, b, c S và ab

Khi đó từ a \ b m ta có ac \ b m c và rõ ràng b m c \ (bc) m nên ac \ (bc) m Tương

tự, bc chia hết một luỹ thừa nào đó của ac và ta kết luận acbc Vì S giao

hoán nên cacb Vậy  là tương đẳng trên S.

Rõ ràng aa2 với mọi a S nên S/  là luỹ đẳng và do S giao

hoán nên S/  giao hoán Vậy S/  là nửa dàn

Chứng minh sẽ kết thúc nếu chúng ta chứng tỏ được rằng  đượcchứa trong một luỹ đẳng  bất kỳ trên S Giả sử a b (a, b S) Thế thì

tồn tại các số nguyên m, n và các phần tử x, y thuộc S sao cho ax = b m , by =

a n Vì  là luỹ đẳng nên a a2, b b2 Do đó (ax) b và (by) a Suy ra a

 (by) (b2y) (ba) (a2x) (ax) b Như vậy a b và ta kết luận   .□

1.3.14 Định lý Một nửa nhóm giao hoán S biểu diễn được một cách duy

nhất thành nửa dàn Y các nửa nhóm Acsimet S,  Y Nửa dàn Y đẳng cấu với ảnh đồng cấu của nửa dàn tối đại S/  của S, và các S,  Y là các lớp tương đương của S theo modul 

Chứng minh Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán và  là quan

hệ trên S được xác định như trong Định nghĩa 1.3.12 Theo Định lý 1.3.13,

và ax = b m , by = a n với x, y nào đó thuộc S và m, n là các số nguyên dương nào đó Thế thì a(bx) = b m+1 và b(ay)= a n+1 Từ đó, bx \ b m+1 và b \ bx Suy ra

bx b nên bx A Tương tự, ay A Như vậy a \ b m+1 và b \ a m+1 đối với A, nghĩa là A là Acsimet

Về tính duy nhất, giả sử S là một nửa dàn Y các nửa nhóm con

Acsimet S,  Y Chứng minh kết thúc nếu chứng tỏ được rằng S là các

lớp tương đương S modul , vì Y  S/  được suy ra một cách trực tiếp

Giả sử a, b S Ta chứng tỏ rằng ab khi và chỉ khi a và b cùng

thuộc S Nếu a và b cùng thuộc Sthì mỗi phần tử chia hết một luỹ thừacủa phần tử kia vì S là Acsimet, và do đó ta có ab và giả sử a S ,



S



b Vì ab nên ta có ax = b m , by = a n với x, y nào đó thuộc S và m, n là

các số nguyên dương nào đó Giả sử x  S, khi đó ax  S và b m S

 Thếthì S S   và do đó    Như vậy    trong nửa dàn Y Do đối

xứng,    nên   .□

Ta chuyển sang tính tách được của các nửa nhóm

1.3.15 Định nghĩa i) Nửa nhóm giao hoán S được gọi là tách được, nếu

từ hệ thức ab = a 2 = b 2 (a,b  S) kéo theo a = b.

ii) Tương đẳng  trên nửa nhóm S được gọi là tách được, nếu nửa nhóm thương S/ tách được, nghĩa là nếu ab a 2 , b 2 kéo theo a b.

Rõ ràng, giao của một họ các tương đẳng tách được trên S là tách được, suy ra S có một đồng cấu tách được tối đại.

1.3.16 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán Ta định nghĩa

một quan hệ  trên S như sau: a b (a, b  S) khi và chỉ khi tồn tại

số nguyên dương n sao cho ab n = b n+1 và ba n = a n+1

1.3.17 Chú ý Nếu tồn tại các số nguyên dương m và n sao cho ab m = b m+1

và ba n = a n+1 thì a b Thật vậy, nếu chẳng hạn m < n thì ta có thể nhân hai

vế ab m = b m+1 với b n-m để được ab n = b n+1

1.3.18 Định lý Quan hệ  được định nghĩa trong 1.3.16 là một tương

đẳng trên S và S/ là ảnh đồng cấu tách được tối đại của S.

Chứng minh Quan hệ  rõ ràng là phản xạ và đối xứng Đểchứng minh  bắc cầu, giả sử a b và b c (a, b, c) Khi đó tồn tại các

số nguyên dương m và n sao cho

ab n = b n+1, ba n = a n+1, bc m = c m+1, cb m = b m+1 Giả sử k = ( n + 1)( m + 1) - 1 = n ( m + 1) + m, thế thì

1 ) 1 )(

1 ( )

1 ( 1 ) 1 ( )

1

) ( )

Để chứng minh  ổn định, giả sử a b, nghĩa là ab n = b n+1 , ba n = a n+1 với

số nguyên dương n nào đó, và giả sử c S Thế thì:(ac)(bc) n = ab n c n+1 =

b n+1 c n+1 = (bc) n+1 và tương tự, (bc)(ac n)n = (ac) n+1

Như vậy, (ac) (bc) và vì S giao hoán nên (ca) (cb) Suy ra  làmột tương đẳng

Cuối cùng, ta chứng minh  tách được Giả sử a và b là các phần

tử thuộc S sao cho ab a2, ab b2 Thế thì tồn tại các số nguyên dương m

và n sao cho (ab)(a2)m

(ab k-1) 2

) (ab k 1 = (ab k-2 )(ab k) (ab k-2 )b k+1 = (ab k-1 )b k,

(ab k-1 )b k = (ab k )b k-1b k+1 b k-1 = 2

) ( k

1.3.19 Hệ quả Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán tách được Nếu

a và b là các phần tử thuộc S sao cho ab m = b m+1 , ba n = a n+1 với các số nguyên dương nào đó, thì a= b.

Chứng minh Dựa theo Chú ý 1.3.17 ta có a b Vì S tách được nên

quan hệ đồng nhất i s trên S là tách được

Theo Định lý 1.3.9, có  i s nên a = b.□

1.3.20 Định lý Một nửa nhóm giao hoán là tách được khi và chỉ khi các

thành phần Acsimet của nó là giản ước được

Chứng minh Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán tách được, và

giả sử Slà một thành phần Acsimet của S Rõ ràng S cũng tách được Tachứng minh S giản ước được Giả sử a, b, c là các phần tử thuộc S sao

cho ac = bc Vì S là Acsimet nên tồn tại các phần tử x, y  S  và các số

nguyên dương m, n sao cho cx = a m và cy = b n Thế thì:

a m+1 = acx = bcx = ba m , b n+1 = bcy = acy = ab n

Theo Hệ quả 1.3.19, có a = b.

Đảo lại, giả sử S là một nửa nhóm giao hoán sao cho mỗi thành phần

Acsimet S của S là giản ước được Giả sử a và b là các thành phần thuộc

S sao cho a2 = b2 = ab Nếu chẳng hạn b S  , b S  ( ,  Y)thì a2

CHƯƠNG 2 NỬA NHÓM IĐÊAN VỚI TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TƯƠNG ĐẲNG

VÀ MỞ RỘNG IĐÊAN

2.1 Nửa nhóm giao hoán với tính chất mở rộng iđêan

Trong tiết này chúng tôi hệ thống lại một số khái niệm và tính chất

cơ bản của các nửa nhóm với (CEP) và (IEP).

2.1.1 Định nghĩa i) Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng

iđêan (IEP) nếu với mỗi nửa nhóm con T của S và mỗi iđêan I của T tồn

tại một iđêan J của S sao cho I = J T.

ii) Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm iđêan nếu mỗi tương đẳng trên

S đều là tương đẳng Rees, nghĩa là với mỗi tương đẳng  trên S tồn tại một iđêan I của S sao cho   (II)  S, trong đó S là tương đẳng đườngchéo: (a,b)  S  ab.

2.1.2 Chú ý Trước hết xin nhắc lại rằng một nửa nhóm S được gọi là nửa

nhóm Acsimet nếu S là nửa nhóm giao hoán và mỗi phần tử của S là ước

của một luỹ thừa nào đó của phần tử khác

Nếu S là một nửa nhóm giao hoán tuần hoàn (nghĩa là mỗi phần tử của S đều có cấp hữu hạn) thì S là nửa dàn các nửa nhóm Acsimet tuần

hoàn mà mỗi nửa nhóm Acsimet ấy chứa duy nhất một luỹ đẳng Nóichung, mỗi nửa nhóm giao hoán (không nhất thiết tuần hoàn) có thể biểudiễn duy nhất dưới dạng một dàn các nửa nhóm Acsimet (và chúng được

gọi là các thành phần Acsimet của nhóm đã cho Ký hiệu E S là tập hợp các

luỹ đẳng của S, C(e) là thành phần Acsimet chứa luỹ đẳng e và 

là hợprời Thế thì nửa nhóm giao hoán tuần hoàn biểu diễn duy nhất dưới dạng

Chú ý rằng nếu S có tính chất mở rộng iđêan thì mỗi thành phần C(e) có

tính chất mở rộng iđêan, nhưng điều ngược lại có thể không đúng

2.1.3 Chú ý Giả sử S là nửa nhóm Acsimet tuần hoàn có tính chất mở

rộng iđêan Thế thì S là mở rộng iđêan của nhóm Aben (xoắn) G bởi một nửa nhóm Acsimet N với zero, nghĩa là N S / G ( thương Rees của nửa nhóm S theo iđêan G) Thực ra, G = M(S) trong đó M (S) là iđêan tối tiểu của S Chúng ta sẽ xét S như hợp rời

S = G 

N \  0

trong đó các phần tử thuộc N đồng nhất với phần tử thuộc S \ G.

Như vậy nửa nhóm giao hoán tuần hoàn S được biểu diễn dưới dạng

S = 

C(e)

e E S

trong đó e ES, C(e) là một mở rộng iđêan của nhóm Aben (xoắn) G e =

M(C(e)) bởi một nửa nhóm Acsimet N e với phần tử zero.

2.1.4 Hệ quả Giả sử S là nửa nhóm giao hoán tuần hoàn và E S là tập hợp các luỹ đẳng của S Trên E S xác định thứ tự bộ phận tự nhiên:

ef(e,f E s ) nếu và chỉ nếu ef  e

Thế thì: 1/ Nếu ef(e, f E s ) thì C(f )(M(C(e)) M(C(e)).

2/ x nM(C(e)) G e với mọi n 3.

3/ ab= b nếu và chỉ nếu b = 0.

Kết quả sau đây thuộc về K.D.Aucoin năm 1999

2.1.5 Mệnh đề Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán Thế thì S có tính

chất mở rộng iđêan nếu và chỉ nếu

S = 

C(e)

e E S

trong đó:

1) Với mỗi e E S , C(e) có tính chất mở rộng iđêan

2) Nếu e, f là hai luỹ đẳng phân biệt, xC(e) và yC(f) thế thì