Dán các nửa nhóm số

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòngcảm ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, cácthầy cô trong bộ môn tổ Đại số cũng như các thầ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòngcảm ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, cácthầy cô trong bộ môn tổ Đại số cũng như các thầy cô giảng dạy đã tậntình truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để tôihoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận.

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo

- ThS Đỗ Văn Kiên, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ và chỉ bảotận tình để tôi có thể hoàn thành khóa luận này

Do còn hạn chế về thời gian, năng lực của bản thân nên khóa luận củatôi không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong nhận đượcnhững ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn

Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh, ủng hộ,động viên tinh thần để tôi hoàn thành khóa luận này!

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Mỹ Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp "Dán các nửa nhóm số" là công trình nghiêncứu của cá nhân tôi dưới sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu cùng với sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo - ThS Đỗ Văn Kiên.

Trong quá trình thực hiện đề tài sử dụng một số tài liệu tham khảođược ghi rõ trong danh mục "Tài liệu tham khảo" Vì vậy tôi xin cam đoankết quả trong khóa luận này là hoàn toàn trung thực và không trùng vớikết quả của tác giả nào khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Mỹ Hạnh

Lời mở đầu 1

1.1 Nửa nhóm số 3

1.2 Tập Apéry 8

1.3 Số Frobenius và số giả Frobenius 10

1.4 Phân loại nửa nhóm số 15

1.4.1 Nửa nhóm số đối xứng 15

1.4.2 Nửa nhóm số giả đối xứng 17

1.4.3 Nửa nhóm số hầu đối xứng 21

2 Dán các nửa nhóm số 24 2.1 Dán của hai nửa nhóm số 24

2.2 Các kết quả chính 32

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Vấn đề dán các nửa nhóm số là vấn đề vô cùng quan trọng trong đại

số giao hoán và hình học đại số Mục đích chính của đề tài là nghiên cứucác tính chất của một loại nửa nhóm số mới thu được bằng cách dáncủa hai nửa nhóm số như tính giao đầy đủ, tính đối xứng và hầu đối xứng

2 Lịch sử nghiên cứu vấn đề

Năm 2009 nửa nhóm số thu được bằng cách dán của các nửa nhóm

số được giới thiệu bởi J.C Rosales và García-Sánchez Các tính chất củadán các nửa nhóm số được rất nhiều tác giả nghiên cứu J.C Rosales,García-Sánchez (2009) đưa ra điều kiện cần và đủ để dán của hai nửanhóm số là đối xứng H Nari (2013) đưa ra một điều kiện cần để dáncủa hai nửa nhóm số là hầu đối xứng Takahiro Numata (2016) đưa ramột đặc trưng cho dán của hai nửa nhóm số là hầu đối xứng

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài đã giúp tôi bước đầu làmquen với công việc nghiên cứu khoa học và có cơ hội tìm hiểu sâu hơn

về đại số, đặc biệt là về một số kiến thức cơ sở về nửa nhóm số, dán củahai nửa nhóm số cùng với các tính chất đối xứng, hầu đối xứng của dáncủa hai nửa nhóm số

4 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu các tài liệu có liên quan đến đề tài Tổng hợp, phân tíchđánh giá, phát triển và giải quyết vấn đề

Nửa nhóm số

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về nửanhóm số và các đặc trưng của nửa nhóm số Hai tài liệu tham khảo chính

Định nghĩa 1.1.1 Cho H là một tập con của N H được gọi là mộtnửa nhóm số nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

Trong trường hợp H = ha1, a2, , ani thì điều kiện iii) trong định nghĩa

Chứng minh

• Điều kiện cần

i=1ciai

∀n ∈ N Do đó tập N\H là vô hạn, điều này là trái với giả thiết

N ⊆ H suy ra N = H Khi đó N\H = ∅ nên |N\H| < ∞

Nếu 1 < a < b Đầu tiên ta chỉ ra với mọi m ∈ Z thì m có biểu diễnduy nhất dạng

m = ax + by, 0 6 y < a

Sự biểu diễn: Vì gcd(a, b) = 1 nên tồn tại các số u, v ∈ Z sao cho

au + bv = 1 Suy ra

m = amu + bmv = amu + b(aq + y) (0 6 y < a)

= amu + abq + by = a(mu + bq) + by = ax + by

với mọi m ∈ Z, m viết được duy nhất dưới dạng

do gcd(d, an) = 1 nên m có biểu diễn duy nhất dạng

mãn

x = ω(i) Thật vậy, ta có thể viết

x = aq + i với 0 6 i 6 a − 1

nên x ≡ ω(i) (mod a) Suy ra x − ω(i) = ap với p ∈ Z Do x > ω(i)

Suy ra x = ω(i) Vậy

Ap(H, a) ⊆ {0 = ω(0), ω(1), , ω(a − 1)}

• Tiếp theo chúng ta sẽ chỉ ra bao hàm ngược lại

{0 = ω(0), ω(1), , ω(a − 1)} ⊆ Ap(H, a)

có ω(i) − a ≡ i (mod a) Vì ω(i) là phần tử bé nhất thuộc H nênω(i) 6 ω(i) − a Suy ra a 6 0, điều này là mâu thuẫn vì a ∈ H\{0}

Ta nhận được

Ap(H, a) = {0 = ω(0), ω(1), , ω(a − 1)}

Bổ đề 1.2.1 Cho H là nửa nhóm số và 0 6= a ∈ H Khi đó với mọi

α ∈ H, tồn tại duy nhất một cặp (k, w) ∈ N × Ap(H, a) sao cho

α = ka + w

Chứng minh

• Sự tồn tại

tại n ∈ N sao cho ω = i + na ∈ H Vì ω ∈ Ap(H, a) nên với mọi

α ∈ H thì α > ω Do a ∈ H\{0} nên ka ∈ H với k ∈ N Suy ra

ka + ω ∈ H

α = ka + w với k ∈ N, w ∈ Ap(H, a).

Suy ra H ⊆ hAp(H, a) ∪ {a}i Do đó H = hAp(H, a) ∪ {a}i Vì vậy

ha1, a2, , ani Chú ý rằng theo Mệnh đề 1.1.1 ta có gcd(a1, a2, , an) =1.

Định nghĩa 1.3.1

• g(H) = |N\H| được gọi là khoảng của H

• emb(H) := n được gọi là chiều nhúng của H

một trường k được gọi là vành nửa nhóm số của H

Ví dụ 1 Cho H = h4, 5, 7, 13i là một nửa nhóm số Khi đó

m(H) = 4, g(H) = 4, emb(H) = 4

Định nghĩa 1.3.2 Cho H là một nửa nhóm số

1 Số Frobenius của H là số nguyên lớn nhất không thuộc H, kí hiệu

là F(H), tức là F(H) = max(Z\H)

2 Tập các số giả Frobenius của H được định nghĩa là tập

Mỗi phần từ của tập này được gọi là một số giả Frobenius

3 Số t(H) := | PF(H)| được gọi là kiểu của H

Nhận xét

• F(H) ∈ PF(H) Thật vậy, giả sử ngược lại F (H) /∈ PF(H) Khi

điều này là mâu thuẫn vì y ∈ Z\H Suy ra y − x = 0 hay y = x.

1 Chứng minh F(H) = max Ap(H, a) − a

Vì max Ap(H, a) ∈ Ap(H, a) nên

F(H) + a > max Ap(H, a)

Nếu F(H) + a > max Ap(H, a) thì khi đó a > 0, F(H) + a ∈ H.

với định nghĩa max Ap(H, a) Vậy F(H) + a = max Ap(H, a) hayF(H) = max Ap(H, a) − a

• Đầu tiên ta đi chứng minh

do đó x + a ∈ Ap(H, a) Đặt ω = x + a ∈ Ap(H, a) Giả sử tồn tại

• Ta chứng minh bao hàm ngược lại

Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ đưa ra định nghĩa và một số tính chất

cơ sở của nửa nhóm số đối xứng, nửa nhóm số giả đối xứng và nửa nhóm

Nửa nhóm số đối xứng còn được đặc trưng bởi các điều kiện sau

Mệnh đề 1.4.1 Cho H là nửa nhóm số, 0 6= a ∈ H Đặt Ap(H, a) =

F(H) − x ∈ H Vậy H là đối xứng.

• (1) ⇒ (4): Với mọi x ∈ PF(H) cần chứng minh x = F(H) Vì H

x ∈ PF(H) nên x + (F(H) − x) ∈ H Suy ra F(H) ∈ H, điều này

là mâu thuẫn Do đó F(H) − x = 0 hay F(H) = x

• (4) ⇒ (1): Với mọi x ∈ Z\H, ta cần chỉ ra F(H) − x ∈ H Tồn tại

• (1) ⇔ (5): H đối xứng ⇔ Với mọi x ∈ N\H thì F(H) − x ∈ H.

⇔ Trong tập {0, 1, , F(H)} có đúng một nửa số thuộc H và mộtnửa số không thuộc H

Định nghĩa 1.4.2 Cho H là một nửa nhóm số Ta nói H là giả đối

Mệnh đề 1.4.2 Cho H là một nửa nhóm số, F(H) chẵn và 0 6= a ∈ H.Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

j = a − i − 2

Tập Ap(H, a) là một hệ thặng dư đầy đủ môđun a, do đó tồn tại

ω = x + ka Vì ω 6= x nên k 6= 0 Hơn nữa k > 0 vì nếu k 6 0 thì

x = ω + (−ka) ∈ H, điều này là mâu thuẫn

Ta xét hai trường hợp:

2



Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi trong hai phần tử x và F(H) − x

có một phần tử thuộc H và một phần tử không thuộc H với mọi

g(H) = 2 Khi đó H là giả đối xứng

Định nghĩa 1.4.3 Cho H là nửa nhóm số Ta nói H là hầu đối xứng nếuvới mọi x ∈ Z\H sao cho F(H) − x ∈ Z\H thì x và F(H) − x ∈ PF(H).Nhận xét: Nếu H là đối xứng hoặc giả đối xứng thì H là hầu đối xứng

Mệnh đề 1.4.3 (xem [2]) Cho H là một nửa nhóm số Khi đó cácmệnh đề sau tương đương:

1} Do H là hầu đối xứng nên ta có

suy ra αm − αi ∈ Ap(H, a) Nếu tồn tại j ∈ {1, 2, , t − 1} để

định nghĩa tập Apéry là tập các phần tử nhỏ nhất đồng dư với

Vậy H là hầu đối xứng

Ví dụ 5 Cho H là một nửa nhóm số và H = h4, 5, 6, 7i

Ta có PF(H) = {1, 2, 3}, F(H) = 3 Khi đó H là hầu đối xứng

Dán các nửa nhóm số

Ở chương này chúng tôi đi tìm hiểu một số tính chất của một loạinửa nhóm số mới thu được bằng cách dán của hai nửa nhóm số như tínhgiao đầy đủ, tính đối xứng và hầu đối xứng Nội dung của chương này

Vậy điều giả sử ban đầu là sai.

Chứng minh

• Đầu tiên ta đi chứng minh

t ∈ H2 suy ra d1s + d2t ∈ d1H1 + d2H2 ⊆ H Gọi ω là số dư của

Ta chứng minh f là đơn ánh Thật vậy, giả sử f ((s, t)) = f ((u, v))

2.2 Các kết quả chính

với mọi 1 6 i 6 d2 − 1, 1 6 j 6 d1 − 1 Suy ra

Trước khi chứng minh định lí này ta cần dùng tới các ký hiệu và một

Suy ra F (H) ∈ hd1H1, d2H2i = H (mâu thuẫn).

PF(H) = {659, 673, 771} Do 659 + 673 6= 771 nên H không là hầu đốixứng

Định lý 2.2.3 Cho H và S có dạng như trong Nhận xét (H không nhất

+) Đầu tiên ta chứng minh

+) Tiếp theo ta đi chứng minh bao hàm ngược lại

cho α ≤H α0 Vì α0 ∈ Ap(H, an) nên α0 = dβ0 với β0 ∈ Ap(S, an).

nên ω = dλ với λ ∈ max≤S Ap(S, an) Ta có

Chứng minh

Giả sử H là nửa nhóm số hầu đối xứng và không đối xứng Đặt

(3) Phân loại nửa nhóm số.

(4) Các tính chất của một loại nửa nhóm số mới thu được bằng cáchdán của hai nửa nhóm số như tính giao đầy đủ, tính đối xứng vàhầu đối xứng

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do thời gian và kiến thức của bản thâncòn hạn chế nên khóa luận của tôi không thể tránh khỏi những thiếusót Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ thầy cô

và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn

Một lần nữa tôi xin được cảm ơn sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình củathầy giáo - Thạc sĩ Đỗ Văn Kiên, các thầy cô trong khoa Toán, cácbạn sinh viên đã giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Mỹ Hạnh

[1] R Fr¨oberg, C Gottlieb, R H¨aggkvist, On numerical semigroups,Semigroup Forum 35 (1987), 63–83.

[2] H Nari, Symmetries on almost symmetric numerical semi-groups,Semigroup Forum, 86 (2013), 140-154

[3] T Numata, A variation of gluing of numerical semigroups, group Forum 93 (2016), 152–160

Semi-[4] J.C.Rosales, P.A.García - Sánchez, Numerical Semigroups, ments in mathematics, vol 20 (2009), Springer, New York