Về các nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành

Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi hệ thống các khái niệm nửa nhóm các quan hệ trên một tập, băng và nửa dàn, trường hữu hạn và các tính chất của chúng để làm cơ sở cho việc

NGUYỄN THỊ TRƯỜNG AN

VỀ CÁC NỬA NHÓM THỪA NHẬN CẤU TRÚC VÀNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2013

NGUYỄN THỊ TRƯỜNG AN

VỀ CÁC NỬA NHÓM THỪA NHẬN CẤU TRÚC VÀNH

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN

NGHỆ AN - 2013

Mục lục 1

Mở đầu 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Nửa nhóm các quan hệ trên một tập 4

1.2 Băng và nửa dàn 7

1.3 Một số tính chất của trường hữu hạn 13

Chương 2 Nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành 19

2.1 Nửa nhóm chuỗi phải thừa nhận cấu trúc vành 19

2.2 Nửa nhóm vành với các nửa nhóm con tạo thành một chuỗi 23

2.3 Nửa nhóm khoảng bị chặn trên thừa nhận cấu trúc vành 27

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

đó Thỉnh thoảng nó cũng trở thành bài toán dễ, chẳng hạn đối với các nửa nhóm null (nghĩa là nửa nhóm S thỏa mãn điều kiện xy 0 với mọi ,x yS) thừa nhận cấu trúc vành

Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo On semigroups admitting ring structure của tác giả Ryszard Mazurek đăng trên tạp chí Semigroup Forum năm 2011 để tìm hiểu một số lớp nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi hệ thống các khái niệm nửa nhóm các quan hệ trên một tập, băng và nửa dàn, trường hữu hạn và các tính chất của chúng để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau

Chương 2 Nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành

Đây là nội dung chính của luận văn

Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm nửa nhóm thừa nhận cấu trúc

vành, nửa nhóm null, nửa nhóm chuỗi phải và điều kiện để nửa nhóm chuỗi

phải thừa nhận cấu trúc vành Tiếp đến, chúng tôi trình bày cấu trúc của các

nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành cho lớp các nửa nhóm với các nửa nhóm

con tạo thành chuỗi Phần cuối luận văn xét các nửa nhóm khoảng bị chặn

trên thừa nhận cấu trúc vành

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng

dẫn của Thầy PGS.TS Lê Quốc Hán Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn

sâu sắc đến thầy, Người đã giúp đỡ tận tình, chu đáo, luôn động viên và tạo

mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

để hoàn thành luận văn

Qua đây, tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn đến các quý thầy giáo,

cô giáo trong Bộ môn Đại số & Lý thuyết số, Khoa Toán học, Phòng Đào tạo

sau đại học trường Đại học Vinh đã quan tâm giúp đỡ trong quá trình giảng

dạy Tác giả xin cảm ơn các bạn học viên trong lớp Cao học khóa 19 chuyên

ngành Đại số và Lý thuyết số đã hỗ trợ tác giả trong quá trình học tập

Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những

thiếu sót Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và

các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện tốt hơn

Nghệ An, tháng 8 năm 2013

Tác giả

Chương 1

1.1 Nửa nhóm các quan hệ trên một tập

1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là một tập hợp tùy ý khác rỗng Khi đó một

tập con  của tích Đềcác X X được gọi là một quan hệ trên X x

Nếu ( , )a b , trong đó ,a b là các phần tử của tập X , thì ta sẽ viết

a b và nói rằng “ a nằm trong quan hệ  với b ”

Nếu  và  là các quan hệ trên X , thì cái hợp thành   của chúng

được định nghĩa như sau: ( , )a b   nếu tồn tại phần tử xX sao cho ( , )a x  và ( , )x b  Phép toán hai ngôi ( ) là kết hợp Thật vậy, nếu , ,

( , )a b (  ) và ( , )a b   ( ) tương đương với điều kiện khẳng định rằng tồn tại các phần tử ,x yX sao cho ( , )a x , ( , )x y  và ( , )y b 

Do đó, tập Bx tất cả các quan hệ hai ngôi trên X là một nửa nhóm với phép

toán ( ) Nửa nhóm Bx được gọi là nửa nhóm các quan hệ trên tập X

1.1.2 Một số quan hệ hai ngôi đặc biệt Giả sử X là một tập hợp tùy ý

Quan hệ iX được gọi là quan hệ bằng nhau ( hay quan hệ đồng nhất hoặc

quan hệ đường chéo ) nếu ( , )

X

a b i khi và chỉ khi a b Rõ ràng iX là đơn vị của nửa nhóm Bx

Quan hệ X được gọi là quan hệ phổ dụng nếu ( , ) a b X với mọi ,

a bX

Giả sử Bx Khi đó quan hệ ngược  1 của  được định nghĩa

Giả sử  , Bx Khi đó   nếu  là tập con của  , nghĩa là

a b kéo theo a b Vì Bx gồm tất cả các tập con của X X nên ta có thể x

thực hiện trong Bx các phép toán Bun (Boole): hợp, giao và phần bù

Giả sử  là một quan hệ trên X Khi đó  được gọi là quan hệ đối

xứng nếu  1   (và do đó  1  ); quan hệ  được gọi là phản xạ nếu

X

i   và được gọi là bắc cầu nếu   

1.1.3 Quan hệ tương đương Một quan hệ  trên X được gọi là tương

đương nếu  phản xạ, đối xứng và bắc cầu Khi đó  là một lũy đẳng nửa nhóm Bx ( nghĩa là 2 )

Giả sử  là một quan hệ tùy ý trên X và aX Khi đó ta sẽ ký hiệu

(i) aa với mọi aX ;

(ii) a b  kéo theo a  b

Như vậy, họ các tập con a, trong đó a X là một phân hoạch của tập X , tức là các tập con đó không giao nhau và hợp của chúng bằng X ; ta

ký hiệu họ đó là X  Ta gọi a là lớp tương đương của tập X theo mod 

chứa a Đảo lại, mọi phân hoạch P của tập X xác định một quan hệ tương

đương  và P = X  Cụ thể a b khi và chỉ khi a và b thuộc cùng một 

tập của phân hoạch P Ta gọi ánh xạ a a là ánh xạ tự nhiên hay ánh

xạ chính tắc từ tập X lên tập X  Rõ ràng ánh xạ đó là toàn ánh

1.1.4 Tương đẳng Giả sử S là một nửa nhóm và  là một quan hệ

trên S Khi đó  được gọi là ổn định phải (trái) nếu a b ( ,a bS) kéo

theo ac bc ( tương ứng ca cb ) với mọi cS

Quan hệ  được gọi là tương đẳng phải (trái) nếu  là quan hệ tương

đương và ổn định phải (trái) Quan hệ tương đương  được gọi là một tương

đẳng trên S nếu  vừa ổn định trái vừa ổn định phải

1.1.5 Nửa nhóm thương Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm S

và S a aS Khi đó tương ứng (a ,b ) ab là một phép toán 

trên S Với phép toán này, S trở thành một nửa nhóm và được gọi là

nửa nhóm thương của S theo mod 

1.1.6 Đồng cấu Giả sử : S T là một ánh xạ từ nửa nhóm S vào nửa

nhóm T Khi đó  được gọi là đồng cấu nửa nhóm nếu ( ab) ( )a ( )b

với mọi ,a bS

Đồng cấu  được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu  là

đơn ánh, toàn ánh hay song ánh

Nếu  là đẳng cấu thì ta nói rằng nửa nhóm S và nửa nhóm T đẳng

cấu với nhau, ký hiệu bởi S T

Giả sử : S T là một đồng cấu nửa nhóm Khi đó quan hệ  cho bởi ( , )a b  nếu và chỉ nếu ( ) a ( )b là một tương đẳng trên S , được gọi

là tương đẳng hạt nhân liên kết với đồng cấu , ký hiệu bởi ker( ) Ta có

( )( )  

ker , trong đó Im( ) : ( )S ( )x xS

1.2 Băng và nửa dàn

1.2.1 Định nghĩa Một quan hệ hai ngôi trên X được gọi là một thứ tự bộ

phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Ta thường dùng ký hiệu ≤ để

chỉ quan hệ thứ tự bộ phận trên X Nếu ab và a b thì ta sẽ viết ab

Quan hệ thứ tự bộ phận ≤ trên X được gọi là quan hệ thứ tự toàn

phần nếu với mọi , a bX , có ab hoặc b a Tập hợp X được gọi là

chuỗi nếu trên X đã xác định được một quan hệ thứ tự toàn phần

1.2.2 Định nghĩa Giả sử ≤ là một quan hệ thứ tự trên X và Y là một tập con của X

i) Phần tử bX được gọi là cận trên của Y nếu y b với mọi yY

ii) Cận trên b của Y được gọi là cận trên bé nhất hay hợp của Y , nếu với mọi cận trên c của Y đều có bc

Nếu Y có một hợp trong X thì rõ ràng hợp ấy là duy nhất

iii) Phần tử aX được gọi là cận dưới của Y nếu a  y với mọi yY

iv) Cận dưới a của Y được gọi là cận dưới lớn nhất hay giao của Y , nếu d a với mọi cận dưới d của Y

Nếu Y có một giao trong X thì rõ ràng giao đó cũng là duy nhất

1.2.3 Định nghĩa (i) Tập sắp thứ tự bộ phận ( , )X  được gọi là nửa dàn

trên (hay nửa dàn dưới) nếu mỗi tập con gồm hai phần tử  a b của X có ,

hợp (tương ứng giao) trong X ; trong trường hợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp (tương ứng giao) trong X

(ii) Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn

trên và nửa dàn dưới

(iii) Dàn X được gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con của X có một hợp

và một giao

1.2.4 Ví dụ 1) Giả sử X là tập hợp tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm

S bổ sung thêm tập rỗng Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ

bao hàm theo lý thuyết tập hợp Vì giao của một họ tùy ý các nửa nhóm con

của S hoặc là rỗng, hoặc là nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ Giao của một tập con Y của X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm con thuộc Y , trong lúc đó hợp của Y là nửa nhóm sinh bởi hợp theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm con thuộc Y Tất cả các lý luận trên vẫn có hiệu lực nếu ta thay thế cụm từ “ nửa nhóm con hay tập rỗng của S ” bởi cụm từ “ tương đẳng trên nửa nhóm S ”

2) Giả sử S là một nửa nhóm và A là một tập con khác rỗng của S Khi đó A được gọi là iđêan trái (phải) của S nếu SA A ( tương ứng,

AS  A ) A được gọi là iđêan của S nếu A vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của S

Tập hợp tất cả các iđêan trái ( phải, hai phía) của nửa nhóm S bổ

sung thêm tập rỗng, đóng đối với phép hợp cũng như phép giao nên là một

dàn con đầy đủ của đại số Bun (Boole) tất cả các tập con của S

1.2.5 Định nghĩa và ký hiệu Giả sử S là một nửa nhóm Phần tử eS

được gọi là một lũy đẳng nếu 2

1.2.6 Mệnh đề: Giả sử E là tập hợp tất cả các lũy đẳng của nửa nhóm S

Khi đó quan hệ ≤ xác định trên E bởi: e ≤ f ( e, f  E ) nếu ef = fe = e

1.2.7 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là một băng (band) nếu mọi phần

tử của S đều lũy đẳng

Giả sử S là một băng Khi đó S  E và S được sắp thứ tự bộ phận tự

nhiên ( ab ( ,a bS) nếu và chỉ nếu abbaa )

1.2.8 Mệnh đề Một băng giao hoán là một nửa dàn dưới đối với thứ tự bộ

phận tự nhiên trên S Giao ab của hai phần tử a và b của S trùng với tích ab của chúng Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với phép giao

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.2.6, quan hệ ≤ xác định bởi ab nếu và

chỉ nếu ab ba a là một thứ tự bộ phận trên S  E Ta chứng minh tích

của hai phần tử ab (= ba) của hai phần tử , a bS trùng với cận dưới lớn

Mệnh đề đảo là hiển nhiên □

1.2.9 Chú ý. Giả sử S là một băng giao hoán Khi đó nếu đặt a b khi và

chỉ khi ab (ba)b thì ( ,S ) là nửa dàn trên Tuy nhiên, để cho thống

nhất, ta giữ định nghĩa như đã nêu trong Mệnh đề 1.2.8 Về sau, ta sẽ dùng từ

nửa dàn đồng nghĩa với từ băng giao hoán Như vậy, ta thỏa thuận rằng từ nửa

dàn được dùng với nghĩa là nửa dàn dưới, nếu không nói thêm gì

Phần cuối của tiết này trình bày một băng nói chung không giao hoán:

băng chữ nhật Để thực hiện được mục đích này, ta cần đưa vào một số khái

niệm và kiến thức chuẩn bị

Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý, S X Y X là tích Đềcác của

X và Y Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt

x1, y1x2, y2  x1, y2 với x x1 , 2X , y y1, 2Y Tính kết hợp và lũy đẳng

của phép toán đó là hiển nhiên

Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập X Y X Lý do của tên gọi đó như

sau: Ta tưởng tượng X Y X là một bảng chữ nhật gồm các điểm, trong đó

Giả sử S là một nửa nhóm tùy ý Khi đó có thể nhúng S vào nửa nhóm

0

S chứa phần tử không trong đó 0

S được xác định bởi

Trong trường hợp thứ hai, 0 là một ký hiệu không thuộc S và phép toán

trên S là mở rộng phép toán trên S bằng cách đặt 0 0

S

1.2.12 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm Thế thì các điều kiện sau đây

bb ac b Từ đó ac(aba cbc)( ) a bacb c( )  abc

(ii) (iii) Chọn một phần tử cố định cS Giả sử LSc, trong

đó Sc ac aS; R cS , trong đó cScb bS Thế thì bằng cách

sử dụng (ii), ta thấy rằng đối với tất cả xzc và y tc trong L,

2

xy zctc zc zc x và do đó L là nửa nhóm zero trái Tương tự, R là

nửa nhóm zero phải

Xác định ánh xạ : S  L R X cho bởi ( ) ( x  xc cx, ), xS Thế thì  là đơn ánh, vì nếu ( ) x ( )y thì (xc cx, )(yc cy, ) Do đó xc yc,

cxcy Từ đó x x2 xcx (do(ii))  ycx ycy  y2 y

Hơn nữa,  là toàn ánh vì đối với phần tử (ac cb, )L R X tùy ý, có

thể sử dụng điều kiện (ii) để thấy rằng ( ac cb, )(abc cab, )(ab)

Cuối cùng,  là đồng cấu vì với mọi ,x yS,

( xy)(xyc cxy, )(xc cy, )(xcyc cxcy , )

( xc cx yc cy, )( , ) ( ) ( )x y

Vậy φ là đẳng cấu và do đó S L R X

(iii) (iv) Giả thiết rằng SL R trong đó L là nửa nhóm zero X

trái và R là nửa nhóm zero phải Thế thì ( , ), ( , )a b c d S có ( , )( , ) (a b c d  ac bd, ) ( , ) a d Như vậy chỉ cần lấy AL và BR

(iv) (i) Giả sử SA B X với phép nhân a b1, 1a b2, 2  a b1, 2 Thế thì đối với a( , )x y và b( , )z t thuộc S, aba( , )( , )( , )x y z t x y ( , )( , )x t x y

( , )x y a

  □

Thuật ngữ “ băng chữ nhật ” được giải thích từ tính chất (iv) của Định

lý 1.2.12

1.3 Một số tính chất của trường hữu hạn

Trường F được gọi là trường hữu hạn nếu F có hữu hạn phần tử

Kết quả sau đây khá quen thuộc

1.3.1 Mệnh đề Giả sử n là vành các số nguyên mod n, n 1 Khi

đó n là một trường nếu và chỉ nếu n là số nguyên tố

1.3.2 Định nghĩa Giả sử F là một trường với đơn vị là e Nếu với mọi số

nguyên m0 đều có me0 thì ta nói rằng trường F có đặc số 0 Nếu tồn tại một số nguyên khác không m sao cho me0 thì ta nói rằng trường F có

đặc số hữu hạn Khi đó số nguyên dương nhỏ nhất p thỏa mãn pe=0 được gọi

là đặc số của trường F

1.3.3 Mệnh đề. (i) Đặc số của một trường F tùy ý hoặc bằng không, hoặc

là số nguyên tố

(ii) Đặc số của trường p là p (trong đó p là số nguyên tố)

Chứng minh (i) Giả sử F có đặc số khác không và p là số nguyên dương

nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện p e0 Vì e0 nên p1

Nếu p không phải là số nguyên tố thì pm n với m, n là các số

nguyên dương thỏa mãn 1 m p, 1 n p

1.3.4 Mệnh đề Mọi trường đều có trường con nhỏ nhất ( theo quan hệ bao

hàm ) đẳng cấu hoặc với trường các số hữu tỷ hoặc với trường p trong

ker Nếu F có đặc số không thì ker( )  0 nên F chứa

vành con Im( )  Nhớ rằng trường các thương của là và trường các thương của Im( ) là trường con của F, nên trong trường hợp này F chứa trường con đẳng cấu với trường

Nếu F có đặc số nguyên tố thì ker( )  p nên F chứa trường con

Im p Các trường con đó thật sự là trường con bé nhất theo

thứ tự bao hàm □

1.3.5 Chú ý Một trường được gọi là trường nguyên tố nếu nó không chứa

trường con thật sự Như vậy và p là các trường nguyên tố Từ Mệnh

đề 1.3.4 suy ra mọi trường F đều chứa một trường con nguyên tố hoặc đẳng

cấu với hoặc đẳng cấu với p tùy theo đặc số của F bằng 0 hoặc bằng p

1.3.6 Mệnh đề i) Nếu A là một miền nguyên hữu hạn thì A là một trường

ii) Nếu F là trường hữu hạn thì F có đặc số khác không

iii) Giả sử F là một trường hữu hạn và p là đặc số của trường F Khi

đó F có p n phần tử, với n là số nguyên dương

Chứng minh i) Giả sử A là một miền nguyên hữu hạn gồm n phần tử,

 1, 2, , n

A a a a , trong đó chẳng hạn a10 và a2e là phần tử đơn vị

Xét tập con B a2, ,a n, với mỗi j2,3, , n ta có a a j 2, ,a a j n

là n1 phần tử khác nhau và khác không của A ( vì A là miền nguyên),

do đó Ba a j 2, ,a a j n Suy ra tồn tại chỉ số i, 2 i n sao cho

2

j i

a a a e Vậy a là nghịch đảo của i a j Từ đó A là một trường

ii) Giả sử đặc số của F bằng 0 Khi đó F chứa vô hạn phần tử me,

1, 2,

m mâu thuẫn với giả thiết F hữu hạn Vậy đặc số của F là khác

không

iii) Theo Mệnh đề 1.3.3, đặc số của F là một số nguyên tố p Giả sử F

có q phần tử Theo Mệnh đề 1.3.4, F chứa một trường con đẳng cấu với p

Có thể xem p là một trường con của F Khi đó có thể xem F là không gian vectơ trên trường p và dim của F hữu hạn Giả sử d i m F n Nếu

u u1, 2, ,u n là một cơ sở của F trên trường p thì mọi phần tử của F có

Nếu K F:  hữu hạn thì ta nói rằng K là mở rộng bậc hữu hạn của F

1.3.8 Định lý. Với mọi số nguyên tố p và với mọi số nguyên dương n, tồn tại một và chỉ một trường (sai khác đẳng cấu) có số phần tử bằng p n

Chứng minh: a/ Tính duy nhất Giả sử K là một trường với p n phần tử Khi

đó K là một mở rộng bậc n của F  p Nhóm nhân K* K\ 0  có cấp bằng p n1 Vì thế theo Định lý Lagrăng, t p n1 e với mọi tK\ 0 , trong

đó e là đơn vị của trường K Nói cách khác, tất cả các phần tử của K đều là