Bai tap ve phan thuc dai so

Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên Đáp án Thực hiện phép tính... T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh:..[r]

BÀI TẬP VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Bài 1 : Thực hiện phép tính

1

A

(x y)(x z) (y z)(y x) (z x)(z y)

B

(x y)(x z) (y z)(y x) (z x)(z y)

Bài 2 : Cho x + y + z = 0 và x, y, z khác 0 Tính :

A

2  2 2 2 2 2 2 2 2 2

B

Bài 3 : Cho      

S

y z z x x y

Bài 4 : Cho







x y A







y z B







z x C

z x

Chứng minh rằng : (1 + A)(1 + B)(1 + C) = (1 – A)(1 – B)(1 – C)

Bài 5 : Cho







x y A

1 xy ;







y z B

1 yz ;







z x C

1 zx

Chứng minh rằng : A + B + C = A B C

Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất của phân thức :  2 

5 A

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức :





2

8 B

Bài 8 : Cho x, y, z khác 0 và

Tính :

      

Bài 9 : Cho biểu thức

2

1 Rút gọn P 2 Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

Đáp án Bài 1 : Thực hiện phép tính

1.

A

(x y)(x z) (y z)(y x) (z x)(z y)

=

x y y z x z

=

x y y z x z

x y y z x z



x y y z x z



x y y z x z



0

B

(x y)(x z) (y z)(y x) (z x)(z y)

x y y z z x



x y y z z x



x y y z z x



x y y z z x



x y zx zy xy z

x y y z z x



      1

x y y z z x

x y y z z x

Bài 2 : Cho x + y + z = 0 và x, y, z khác 0 Tính :

A

Từ x + y + z = 0  ) x   y z    ) x2  y2  z2  2 yz

Nên x2  y2  z2  2 yz

Tương tự : y2  z2  x2  2 xz ; z2  x2  y2  2 xy

Suy ra :         

A

(1) Mặt khác : Từ x + y + z = 0  ) x   y z    ) x3      y z    3

      ) x3  y3  z3  3 yz y z     3 yz   x   3 xyz

(2)

Thay (2) vào (1) Ta có : A =

xyz xyz 

2  2 2 2 2 2 2 2 2 2

B

Tương tự: x2  y2  z2  2 xy ; y2  z2  x2  2 yz; x2  z2 y2  2 xz (*)

Thay (*) vào B Ta có :

0

x y z B

xy yz xz xyz

  

Bài 3 : Cho      

1

S

y z z x x y

Từ      

1

y z z x x y Nhân 2 vế cho x + y + z Ta có :

 x y z  x  x y z  y  x y z  z x y z



x y z



y z  z x  x y    

0

S

Bài 4 : Cho







x y A







y z B







z x C

z x

Chứng minh rằng : (1 + A)(1 + B)(1 + C) = (1 – A)(1 – B)(1 – C)

Từ







x y

A

x y

2

1 A 1 x y x

x y x y



2

x y

 



Tương tự :

2

y z

 ;

2

z x



Nên (1 + A)(1 + B)(1 + C)            

2 2 x y 2 z 8 xyz

x y y z z x x y y z z x

 

Chứng minh tương tự:

1 A y ;1 B z ;1 C x

Nên (1 – A)(1 – B)(1 – C)            

2 y 2 2 z x 8 xyz

x y y z z x x y y z z x

 

Vậy (1 + A)(1 + B)(1 + C) = (1 – A)(1 – B)(1 – C)

Bài 5 : Cho







x y A

1 xy ;







y z B

1 yz ;







z x C

1 zx

Chứng minh rằng : A + B + C = A B C

Bài 5 : Cho







x y A

1 xy ;







y z B

1 yz ;







z x C

1 zx

Chứng minh rằng : A + B + C = A B C

Ta có : A + B + C = 1 1 1

=

=

=

       



     

1  1  1 

x y z x y z



Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất của phân thức :  2 

5 A

 2

A

Suy ra : Max 2

5

6 10

5

M

x   khi x - 3 = 0  x  3

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức :





2

8 B

2

khi x - 1 = 0  x  1

Bài 8 : Cho x, y, z khác 0 và

Tính :

      

2

2

x y z

 

 

Suy ra : x y   2 ; z y z   2 ; x x z   2 y

Ta có:

A

Bài 9 : Cho biểu thức

2

1 Rút gọn P

2 Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

1

2

:

2

:

x

2

3 :

x





2

3 3

:

x x







2 2

2

1

P

thỡ x  3 U 6      1; 2; 3; 6

 2;1;0; 3;4;5;6;9 

x

Vậy P  Z thỡ x   2;1;0; 3;4;5;6;9  

BÀI TẬP VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Bài 1: a) Cho 3 số x,y,z Thỏa mãn x.y.z = 1 Tính biểu thức

M = 1

1+x +xy+

1

1+ y+yz+

1

1+ z+zx

b) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng: 1

1

1

c+a −b

1

a+

1

1

c

a) Vì xyz = 1 nên x 0, y 0, z 0

1+x +xy=

z

z

z +xz +1

1+ y +yz=

xz (1+ y+yz)xz=

xz

xz +1+z

xz

xz +1+z+

1

1+z +xz=1

b) a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0

1

4

x+ y với x,y > 0 Ta có:

1

1

4

2 b=

2

1

1

2

1

1

2

a

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cho 3 ta đợc điều phải chứng minh

Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c

b  c - a  c  a - b  a  b - c Rút gọn biểu thức A, biết a + b + c = 0

Ta có: a + b + c = 0  b + c = - a

Bình phơng hai vế ta có : (b + c)2 = a2

 b2 + 2bc + c2 = a2  b2 + c2 - a2 = -2bc Tơng tự, ta có: c2 + a2 - b2 = -2ca

 A =

2bc 2ca 2ab 2abc (vì a + b + c = 0)

Vậy A= 0

Bài 3:

a Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x2

+x +1

x2

+x+2+

x2

+x +2

x2

+x +3=

7 6

2 2

Suy ra : x = 0 ; x = -1

b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = x2

1+x4 với x  0

Giải: Vì B> 0 nên nếu B đạt giá trị lớn nhất thì

1

B đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có :

4

2

x



B

khi

2 2

1

1

x

Vậy Max B =

1

2 khi

2 2

1

1

x

Bài 4: Cho a,b, c, là các số dơng Tìm giá trị nhỏ nhất của

P= (a+ b+ c) ( 1

a+

1

1

Ta có: P = 1 + a

b+

a

c+

b

b

c+

c

c

b+1=3+(a b+

b

a)+(a c+

c

a)+(b c+

c

b)

Mặt khác x

y

x ≥ 2 với mọi x, y dơng  P  3+2+2+2 =9

Vậy P min = 9 khi a=b=c

Bài 5: Cho hai số x, y thoã mãn điều kiện 3x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3x2 + y2

Ta có: 3x + y = 1 y 1 3x

A = 3x2 + (1-3x)2 = 12(x-

1

4)2 +

1

4  A ≥

1 4

Vậy Amin =

1

4 khi x =

1

4 ; y =

1 4

Bài 6 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

2

2

27 12

9

27 12

x A

x

x A









A đạt giá trị nhỏ nhất là -1  x 62 0

hay x = 6

A =

27 12

x



A đạt GTLN là 4 khi 2 32 0 3

2